整体单元教学设计的研究——以《方差和标准差》的教学为例

张志华

桐庐县分水初中教育集团，浙江杭州 311519

混淆公式或概念、知识的迁移能力弱是当前数学教育“四基”落实中存在的问题。让学生经历概念的形成，主动概括出概念是解决此类问题积极有效的方法。如何有效率地建构概念，并用概念间的联系来培养数学思维呢？笔者以《方差和标准差》为例，尝试用整体单元的视角来说明如何教学设计，具体汇报如下：

1 理解教材对整体单元教学设计的意义

课程标准要求在数学教学中，注重发展学生的数据分析观念、模型思想。方差和标准差是让学生养成数据分析观念的重要载体，也是学生树立模型思想的重要载体。

1.1 明确课时内容的承前启后

教材编排的进度是：先组织学习统计表、统计图、频数直方图，让学生对数据的变化趋势、数据间的差异有直观的感受。在此基础上组织学习平均数、众数、中位数，让学生理解这些都是对数据集中趋势的定量分析。对于数据离散分布的描述，频数直方图中的极差概念描述地过于笼统。基于这一现实，有必要引入新概念（即方差和标准差）来反映数据离散程度。这为用样本估计总体提供了参照标准，为后续用频率估计概率作知识储备。明确课时内容的承前启后，能让学生明确学习新概念的必要性。

1.2 明确课时内容的教育担当

方差和标准差承载了培养学生数据分析观念的教育期盼，所以让学生用已学的统计量来分析数据是课堂引入必须要采用的内容。感受原有的统计量不能解决数据离散程度的比较，让学生充分思考怎样的统计量能解决这个问题、如何去设计一个算法（即新的统计概念）来实现这样的比较。在教学中让学生去经历算法的探求过程，能实现渗透数学模型思想的培养目标。采用学历案模式教学，设计时可以制定以下学习目标：1.通过实际情境，合作交流经历概念的产生过程，建构方差和标准差的概念；2.掌握一组数据的方差和标准差的计算，体会方差和标准差能反映数据的“离散程度”；3.结合实际情境，体会借助方差量化数据波动程度，积累统计经验并提高数学的应用意识。其中学习的重点是方差和标准差的概念和计算；难点是方差和标准差的必要性和合理性。

1.3 突出课时内容的地位作用

《方差和标准差》在本章的地位是非常重要的，因为它是衡量数据稳定性的唯一指标。对于平均数、众数、中位数等统计量而言，方差和标准差的计算量大，概念的形成步骤繁琐，概念形成过程中的考量繁多，故它又是本章的难点。方差和标准差的概念也是公式，它的学习遵循公式教学的一般思路：发现公式→推导公式→理解公式→辨析公式→应用公式。在推导公式的过程中让学生理解每一步骤，并及时的巩固概念就可以了。

2 理解学生对整体单元教学设计的要求

学生是学习的主体，方差和标准差概念的形成是一个从无到有的过程。教师如何引导学生发现问题，如何激发学生去探究问题，如何鼓励学生去解决问题是教师在教学设计时必须要考虑的问题。教师可以从学生的学习、生活经验来发问：如浙教版八下教材从甲乙两人的射击成绩发问，学生发现两者平均数、中位数都相同。从折线统计图看甲稳定，乙较不稳定，但有最好发挥。问题起点低，能引发学生思考。选择哪位选手，问题具有开放性，能激发学生主动参与学习。要求说明选择的理由，能引发选择甲的学生对数据离散程度度量的思考。考虑引导学生回溯众数的概念，又让学生意识到必须用计算去刻画数据特征，设计时可对甲、乙增设数据：甲6，8，10，乙7，8，9。增设数据后，甲乙的众数、极差也相同，并且通过统计图不易明显比较出数据波动幅度的大小。学生会试图用每一个数据与平均数作差、汇总来刻画这组数据对于平均数的离散程度。为消除正负抵消的影响，学生会再尝试将所得的差加上绝对值、求和（即离差）来刻画数据的离散程度。此时教师可以点评：求值时会出现什么情况（去绝对值时需对每一个差的正负作出判断）？有没有其它消除以上正负抵消的影响的方法？学生根据已习得的经验，自然会尝试将所得的差平方再求和（即方差）的方法。这是教师从学生思维的最近发展区着手。

3 理解教学在整体单元教学设计的体现

3.1 扶放有度的教学节奏

基于本课时的难点是方差和标准差的必要性和合理性，在推导公式的过程中务必要让学生去参与计算、经历失败、尝试改进、体验成功。教师适时地给予鼓励、提出质疑或给出改进的建议就可以了。比如，当学生已得出的统计方法后，教师给出情境：为避免某等因素对甲乙发挥的影响，再行测试。甲的成绩分别为7，8，8，7，8，9，6，9，10，7，7，10。乙的部分成绩为8，8，6，9，9，7，7，10，6，9，10另一部分成绩因故已遗失。以上统计方法对不同个数的数据适用吗？怎么改进？学生自然会想到将平方和再平均的方法。这让学生主动建构了方差的概念，达成目标1。

3.2 讲解、展示、练习教学链

计算甲、乙射击成绩的方差，明确方差大小与数据波动程度、稳定性的对应关系。教师可以及时指出：方差的单位是什么？怎么设计一个统计量令它具有实际意义。这样顺势就得到了标准差的概念，并指出标准差也是反映数据的离散程度的。紧接着给出练习：

①样本的方差是

3.3 支持迁移、应用的诊断

《方差和标准差》的学习是支持数据分析初步的学习的，所以本课时的教学设计除了要让学生深度理解公式概念外，还要求把公式概念迁移到不同情境、不同数据中去应用。实现学习广度的延伸，以达成学习目标3。

4 评估整体单元教学设计的目标的达成

整体单元教学设计的目的是让单元知识系统整合。落实好本课时“四基”，能厘清整体单元概念间的关系。通过概括和整合，学生明确方差和标准差跟平均数一样是数学工具，不同的是它是用来刻画数据的离散程度。本章的教学重点是各统计量的概念和算法。建构概念，对数据分析能力的提升也是有要求的。教师可以整合教材资源组织学生对方差的两个补充定理进行探究，比如：请解决以下问题：已知a1，a2，a3，…an的平均数为X，方差为Y，标准差为Z。①a1+3，a2+ 3，…an+3的平均数为_方差为_标准差为_。 ②3a1，3a2，3a3，…3an的平均数为_方差为_标准差为_。 ③2a1-3，2a2-3，2a3-3 ，…2an-3的平均数为_方差为 _标准差为_。提升方差概念的理解，达到数据处理能力提升的目的。本课时的教学重点是方差和标准差的概念和计算，以上两个补充定理的探究是去解决这个重点问题的。课标要求，为不同的人在数学上得到不同的发展。以上问题也是有模型的，在此处无需提出数学模型的概念，让学生自我感悟就可以了。