生产规模不经济下考虑参考价格效应的三周期供应链定价决策

隋 壮，孙 浩

(青岛大学 商学院，山东 青岛 266071)

0 引言

随着科学技术的迅猛发展，市场中出现了许多短生命周期产品，这些产品的需求具有高度不确定性，而且容易被更新上市的产品取代，厂商没有太多生产、补货和定价的机会，该情形下的企业最优决策通常采用单周期报童模型进行分析。然而，现实中也存在某些可进行重复生产和销售的不易过时的功能型产品和少量短生命周期产品，允许企业通过跨期调整运营策略来应对需求变化，这在食品杂货行业、纺织业、时装业和手机行业均有明显的体现，因此如何从多周期视角优化企业的定价、生产和库存决策引起了学者们的广泛关注。围绕各周期保持恒定价格或逐期动态调价两种策略，Stokey[1]和Besanko等[2]分别在均一化和差异化定价模式下得到了垄断厂商的最优定价轨迹；Sato等[3]在双寡头结构下探讨了某一厂商采取均一化定价时，其竞争厂商应如何动态调价来实现收益最大化；Bhattacharjee等[4]分别针对功能型产品和易逝品构建了多周期定价决策模型。近期相关研究包括Adeinat等[5]、Chakraborty等[6]和Tantiwattanakul等[7]。

以上动态定价文献假定市场需求仅依赖当期价格，忽视了价格跨期调整对消费者心理认知的影响。实际上，消费者在产品购买过程中通常将当前价格与历史定价进行对比，然后决定购买决策，学界称这种现象为“参考价格效应”[8]。大量实证研究验证了参考价格效应的存在，使其成为心理学领域关注的热点议题[8-9]而被逐渐引入运营管理领域。根据决策结构的不同，该领域的定量研究主要分为垄断厂商的集成化决策与上下游企业纵向博弈的分散式决策。前者通过建立和求解连续时间上的最优控制模型或离散时间上的动态规划模型得到最优定价轨迹[10-12]。例如Kopalle等[10]研究了单一零售商经营多种替代品时的最优定价策略，结果表明在参考价格效应作用下应采用高低交替的价格策略或天天低价策略；Ahn等[11]构建了需求依赖以往多周期价格时的动态定价与生产联合优化模型；Shams-Shoaaee等[12]设计Benders分解与启发式算法，有效解决了具有参考价格效应的多周期定价优化问题。其他研究包括考虑损失规避消费者(Popescu等[13]、Nasiry等[14])、消费者策略行为(Wu等[15]、Zhao等[16])、广告决策(Zhang等[17]、Lu等[18])、随机需求下的动态定价与库存联合决策(Chen等[19])，以及非对称参考效应导致的非光滑优化问题及其算法(Fibich等[20]、Chen等[21])等。后者则是通过建立和求解连续时间上的微分对策模型或离散时间上的动态博弈模型得到动态定价均衡。在连续时间框架下，Zhang等[22]、Lin[23]和楼高翔等[24]分别建立了微分对策模型，分析了参考价格效应对供应链合作广告、价格促销和碳减排策略的影响。在离散时间框架下，Zhang等[25]和Chen等[26]分别运用动态博弈理论探讨了制造商快速响应能力和消费者策略行为对具有参考价格效应的两周期供应链运营绩效的影响；孙浩等[27]研究了考虑参考价格效应的两周期闭环供应链回收模式选择问题；Marti等[28]根据产品类型区分制造商采取的均一化或差异化批发价以及零售商不同的价格应对策略，在考虑参考价格效应基础上比较了4种模式下两周期供应链的博弈均衡解与成员利润。

本研究隶属于离散时间动态环境下的分散式决策，因此文献[25-28]具有很好的借鉴意义，但在以下3方面有待进一步拓展：

(1)包括文献[25-28]在内的多周期供应链博弈均采用线性生产成本函数，未考虑厂商生产规模不经济的现象，而在实践中，因存在生产线过长、生产批量无法达到最优规模和缺乏运营协调机制等原因，厂商的平均成本反而可能随批量的增加而提高[29-30]。该现象存在于多种不同行业[31-32]，如上述提及的食品杂货行业[33-35]、纺织服装业[36]、时尚品行业[37]、建筑业[38]、手机业[39]和计算机行业[40]等。在运营管理领域，Ha等[41]在生产规模不经济情形下分析了信息共享机制对两条竞争型供应链运营绩效的影响，其他相关文献有赵海霞等[42-43]、王先甲等[44]和石纯来等[45]，文献[41-45]局限于单周期静态博弈环境，目前尚未发现有关生产规模不经济对具有参考价格效应的供应链动态博弈影响的研究。

(2)在探讨参考价格效应影响离散规划期的供应链动态博弈方面，文献[25-28]均局限于两期环境，然而近年来三周期及以上的供应链纵向博弈逐渐引起学者们的重视。例如，Nielsen等[46]在分析战略性库存(Strategic Inventory, SI)的益处时指出，以往研究仅表明SI适用于两期采购和库存决策，其优越性应从更多周期视角进行考察，基于此建立博弈模型验证了SI在四周期集成采购计划中的有效性；De Giovanni等[47]通过建立两期闭环供应链博弈模型比较了制造商回收外包与自营的优劣，在其研究展望中明确指出应进一步检验所得结论在更多周期模型中的适用性；Wang等[48]探究了两周期闭环供应链中奖惩机制的作用，并将模型推广至三～六周期环境。遗憾的是，目前尚未有学者将参考价格效应影响的研究延伸至三周期及以上的供应链博弈中。为此，本文将围绕三期模型进行探讨，第1章还将结合模型假设进一步阐明选择三期模型的原因。

(3)当前部分研究(如文献[28]等)假定产品的初始参考价格为外生常量，忽视了其产生过程。与之不同，本文并不引入初始参考价格，而是将首期零售商定价作为后续周期的参考价格(此时其为内生决策变量)，从而完整地刻画出参考价格从无到有的产生过程。

综上所述，本文拟引入动态环境下制造商的两种批发价模式(均一化或差异化)以及零售商的不同应对策略[1-3,28]，在考虑生产规模不经济和内生参考价格基础上构建和求解三周期博弈模型，以揭示参考价格效应和规模不经济对4种决策模式下成员定价均衡与利润的影响，进而给出相应的管理学启示。

1 模型假设与参变量说明

本文考虑垄断制造商生产单一品种的产品，并通过唯一的零售商进行销售。与文献[28]初始参考价格外生的两期模型不同，本文选取三周期模型动态描述参考价格的产生与作用过程。具体地，第一期为产品的市场导入期，此时消费者不具有前期购买经历，故仅根据当期价格做出购买决策[25-27]；在第二期或第三期，消费者将同时基于前一期历史价格与当期价格决定是否购买。三期中的各期分别具备不同特点：第一期无参考价格效应，但决策者需考虑该期定价对后续两周期的影响；第二期和第三期均具有参考价格效应，二者差别在于第二期决策者定价时会兼顾对第三期的影响，而第三期作为最后一期，其决策并无后效性。经比较可知，两期模型对应三期模型中的首末两期，无法体现中间期(即第二期)，即三期模型是同时包含首末两期和中间期的最典型和最简单的情形，其既避免了四期及以上模型过于复杂的数理推导，又比两期模型能更充分地揭示参考价格的影响和作用机理。

制造商根据产品特性可能采取两种批发价策略：①在三周期内保持均一化的批发价w，该策略在功能型产品定价中的应用比较普遍，如食品、杂货和建材类产品等；②在三周期内制定差异化的批发价w1,w2,w3，该策略适用于平板电脑、智能手机等高科技创新型产品，这类产品更新和升级频繁，且市场需求具有高度的不可预知性，厂商往往采取差异化批发价以应对市场的动态变化，例如三星、摩托罗拉等智能手机公司和惠普、联想、戴尔等计算机行业巨头在不同时期提供给零售商的批发价不同[28]。在差异化批发价策略中，根据批发价发布的不同时期，又分为预先发布(pre-announced)定价和响应性(responsive)定价两种类型，预先发布定价指制造商在第一期即宣布全部三期批发价，响应性定价指制造商逐期宣布批发价。基于制造商不同的批发价策略与发布时间，零售商也可选择在第一期同时决定三期零售价p1,p2,p3或逐期确定零售价[28]。综上所述，双方博弈可分为如图1所示的4种决策模式，具体在第2章模型构建部分详细说明。

无论在何种决策模式下，第一期需求函数均为d1(p1)=α-p1，其中α表示该产品的潜在市场需求量，假定该参数在各期间保持恒定[28]；在第二期和第三期，受参考价格效应的影响，市场需求dt(pt-1,pt)=α-pt+γ(pt-1-pt),t=2,3，其中隐含的等式关系为本期消费者参考价格rt=pt-1，即本期参考价格等同于上一期零售价，不再追溯两期及以前价格在本期参考价格形成过程中的滞后效应(carryover effects)，Krishnamurthi等[49]的研究即采用该参考价格形式。上述需求函数表明：当ptpt-1时，消费者的亏损心理将使市场需求比无参考效应时少。γ表示参考价格因子，满足0≤γ<1，意味着参考价格效应对当期市场需求的影响小于当期价格本身产生的影响。

其他相关假设包括：①在4种决策模式中，制造商均为Stackelberg主从博弈领导者，零售商为跟随者；②为保证模型的可行性，应满足pt>wt(t=1,2,3)。

以下将分别围绕4种决策模式展开建模分析，其中决策变量或利润函数的上标i表示相应的决策模式(i∈Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)，下标t表示第t期的决策变量，下标j,t表示相应利益主体j的第t期利润(j∈m,r;t∈1,2,3)。

2 模型的建立与求解

本章在阐明4种模式决策机理的基础上，建模分析其均衡解和成员利润，然后结合参考价格效应和生产规模的不经济程度对不同模式进行比较。

2.1 决策模式Ⅰ

在决策模式Ⅰ中，制造商于第一期初确定批发价格w，并在三周期内保持恒定；基于制造商的批发价格，零售商在第一期初即确定三期的零售价p1,p2,p3；消费者确定各期的购买选择。这种预先发布定价模式在功能型产品销售中比较普遍，例如现实中零售商事先宣布在某段时期内对某产品采取削价销售或溢价销售。制造商和零售商的决策目标均是使各自三期的总利润最大化。双方的利润函数如下：

相应的均衡解如命题1所示。

命题1在决策模式Ⅰ中，制造商均衡批发价、零售商均衡零售价及双方利润分别为：

p1(w)=

根据该批发价均衡解，相应的零售价、成员利润和系统总利润可分别采用最优反应函数和利润表达式计算得到。证毕。

2.2 决策模式Ⅱ

在决策模式Ⅱ中，制造商仍于第一期初确定均一化的批发价w；零售商根据制造商的批发价，分别在各期确定当期的零售价；消费者确定各期的购买选择。制造商的决策目标是使三周期的总利润最大，零售商则分别优化其各期利润。零售商的这种定价行为称为响应性动态定价策略，普遍应用于季节性时尚品、航空公司的机票定价、酒店房间定价，以及跨境电商平台亚马逊网站的产品定价等领域[28,50]。此时，各周期可被视为相互独立的销售季节或产品换代中的某一代，每个周期可能持续一个季度、半年或一年，故此时零售商通常依次优化其各期利润，而非三期利润总和。

命题2在决策模式Ⅱ下，制造商均衡批发价、零售商均衡零售价及双方利润分别为：

2.3 决策模式Ⅲ

在决策模式Ⅲ中，制造商于第一期预先发布差异化的三期批发价w1,w2,w3，零售商也于第一期预先发布三期零售价p1,p2,p3，双方目标均是使己方三期总利润最大。双方的利润函数如下：

命题3在决策模式Ⅲ下，制造商均衡批发价、零售商均衡零售价和双方利润分别为：

2.4 决策模式Ⅳ

在决策模式Ⅳ中，制造商采用响应性定价策略，其根据市场反应和可用产能逐期宣布批发价格w1,w2,w3，零售商也采用响应性定价策略逐期宣布零售价p1,p2,p3，这类产品常见于高科技电子类产品(智能手机和平板电脑)和数字化产品(计算机应用软件)等，双方的利润函数与模式Ⅲ完全相同。具体博弈顺序为：第一期，制造商发布批发价w1，然后零售商确定零售价p1；第二期，制造商发布批发价w2，随后零售商确定零售价p2；第三期，制造商宣布批发价w3，而后零售商确定零售价p3。与模式Ⅱ类似的是，每一期均对应独立的销售季节或多代产品的某一特定阶段，与模式Ⅱ不同的是，模式Ⅳ中制造商不再以三期总利润为目标，而是依次追求各期利润最大化，此时双方各期决策时均不考虑当期价格对后续周期的影响，因此模型求解采用从第一期至第三期顺序处理的方式，在每期内仍先求零售价关于批发价的反应函数，然后优化制造商利润得到均衡批发价。

命题4在决策模式Ⅳ下，制造商均衡批发价、零售商均衡零售价和双方利润分别为：

需要说明的是，决策模式Ⅳ可被推广至更多周期的动态定价模型。例如在n周期(n≥3)博弈环境中，第i期的需求函数为di(pi-1,pi)=α-pi+γ(pi-1-pi),i=2,3，…，n。双方利润函数如下：

根据三期模型的求解算法，n周期环境下的零售商均衡销售价和制造商均衡批发价分别为：

3 性质分析与比较

本章首先给出4种决策模式下的变量均衡解和利润随参考价格因子的变化趋势(如表1)，然后对不同模式进行分析比较，具体由命题5～命题9给出，其中加上划线的参变量表示其三周期的均值。

表1 参考价格因子对4种模式均衡解与利润的影响

命题54种模式下各期批发价的数量关系为：

其他未能明确给出的数量关系依赖于γ和c的取值。

证明略。命题5(1)表明，模式Ⅲ与模式Ⅳ的各期批发价呈现相反的演变趋势，原因在于两种模式下制造商抑制零售商利用参考价格效应形成更高销量的策略不同。模式Ⅲ中制造商和零售商均在第一期即宣布三期批发价和零售价，此时制造商采取递增的批发价迫使零售商在后续两期制定较高的零售价，从而有效避免其大幅降价形成的高价差；而在模式Ⅳ中，双方均于各期参与决策并以当期利润为优化目标，制造商能够实时针对零售商的调价行为做出有效反应，此时其不采用递增批发价的方式，而是在后两期依次制定递减的批发价，并注重缩减两期间的批发价差，将零售商后两期的零售价差控制在一定范围内，使零售商无法从参考效应中充分获益。模式Ⅳ的批发价策略在现实中得到了印证，例如在高科技产品的市场导入期，批发价取决于产品生产成本和参考价格效应等多方面因素，随着产品成熟度和市场饱和度的逐渐提高，在产品生命周期的中后阶段制造商往往采取逐期递减的批发价策略。

为进一步验证命题5(1)的结论，并发掘出更多的管理启示，下面结合算例展开分析。令α=60，为探究生产规模不经济程度的影响，分别取c=2,20，考察在参考价格因子γ从0～1(间隔0.05)增长的过程中，4种决策模式下的批发价均值与各期批发价的变化趋势，结果如图2所示。图3所示为模式Ⅲ和模式Ⅳ相邻周期间的批发价差随参考价格因子变化的趋势。

图3清晰地揭示了模式Ⅲ和模式Ⅳ中制造商批发价策略的差异，即模式Ⅲ相邻两期间的批发价差随参考价格因子的增加而递增且明显高于模式Ⅳ，模式Ⅳ的第三期批发价低于第二期且随参考价格因子的增加而递减，从而验证了命题5(1)的正确性。模式Ⅲ与模式Ⅳ中的批发价策略将直接影响零售商的零售价决策，后续命题将就此进一步展开分析。

表1与命题5(2)表明，4种模式下的批发价均值均随参考价格因子的增加而提高，这意味着当零售商可更大程度地利用参考价格效应(通过各期间的灵活调价)获取利润时，作为主导方的制造商必然提高平均批发价以压缩零售商的运作空间。进一步分析可知，无论规模不经济系数如何取值，模式Ⅱ～模式Ⅳ批发价的相对数量关系保持不变，模式Ⅱ的批发价均值最高，其次为模式Ⅳ，模式Ⅲ的批发价均值始终处于最低位置；另外，如图2a①和图2b①所示，与其他3种模式相比，模式Ⅰ的批发价均值受参考价格因子的影响最显著，起初其仅高于模式Ⅲ，随着参考价格因子的增加，其将超过模式Ⅳ，甚至当参考价格因子达到0.994 6时，将超过模式Ⅱ而在4种模式中最高。

如上排序主要归因于各种模式的决策特点。在模式Ⅰ中，双方均直接在第一期优化三周期总利润，制造商采用“一口价”模式，零售商也于第一期事先宣布三期零售价。但正因制造商仅有一个批发价格，其灵活性较差，随着参考价格因子的提高，制造商只能通过急剧提升批发价来应对零售商各期间的调价行为。在模式Ⅲ中，虽然双方亦在第一期就事先宣布批发价和零售价并追求各自三期总利润最优，但是与模式Ⅰ相比，制造商具有与零售价决策一一对应的3个批发价决策变量，由此对零售商形成的控制力最强，此时制造商无需制定高批发价均值，只要基于零售商的定价反应采取递增批发价的策略即可，因此模式Ⅲ的批发价均值在4种模式中最低，而且不难发现，模式Ⅰ是模式Ⅲ的一种特例。

模式Ⅱ与模式Ⅰ的相同之处在于，制造商第一期即优化三期总利润，并同样采用“一口价”策略，二者的不同之处在于模式Ⅱ中零售商依次决定零售价，即在第二期和第三期分别通过用第一期和第二期价格确定本期价格来优化本期利润。虽然该模式中零售商未以三期总利润为优化目标，但是相比模式Ⅰ中的一次性定价，其基于参考价格效应的逐期定价行为对制造商构成的威胁更严重，该模式中制造商对零售商的控制力最弱。因此模式Ⅱ的批发价均值在绝大多数情况下在4种模式中最高。

在模式Ⅳ中，双方依次决定三期批发价和零售价来优化其各期利润，与模式Ⅱ类似的是，零售商同样可在第二期和第三期根据第一期和第二期的定价选择本期定价，不同的是制造商和零售商的定价决策一一对应，正如命题5(1)给出的，制造商能够在第二期和第三期采用递减批发价并缩小价差的方式制约零售商利用参考价格效应的调价行为，因此该模式中制造商无需制定最高的批发价均值来保证收益，其批发价均值介于模式Ⅱ和模式Ⅲ的批发价均值之间。

表1和命题5(3)表明，仅模式Ⅲ的第一期批发价随参考价格因子的增加而降低，且一直处于4种模式的最低，如前所述，这是该模式下制造商意图减弱零售商在第二期和第三期利用参考价格效应的一种手段，即第一期较低的批发价可使零售价相对较低，从而尽可能缩减其与后续两周期的价差；模式Ⅳ的批发价与参考价格因子无关，其值仅高于模式Ⅲ；另外两种模式的第一期批发价均随参考价格因子的增加而提高。其中模式Ⅱ的第一期批发价在绝大部分情况下高于模式Ⅰ，只有在参考价格因子接近1时，模式Ⅰ的第一期批发价才反超模式Ⅱ。图2a②和图2b②验证了以上结论。

表1和命题5(4)表明，4种模式下的第二期批发价均随参考价格因子的增加而提高，在模式Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中仍然是模式Ⅲ最低，但模式Ⅱ与模式Ⅳ第二期批发价的数量关系取决于规模不经济系数c：当c=2时，如图2a③所示，制造商在模式Ⅱ中制定较高的第二期批发价；当c=20时，如图2b③所示，制造商在模式Ⅳ中制定较高的第二期批发价。其原因在于当规模不经济程度较低时，制造商和零售商从事经济活动的积极性较高，相应的生产量和销售量较大，为零售商借助参考价格效应赚取收益创造了便利条件。由于模式Ⅱ中的制造商仅有一次决策权，其必然制定相对较高的批发价，而模式Ⅳ的制造商能够在各周期调价过程中控制相邻期零售价的价差，故其第二期的批发价低于模式Ⅱ；当规模不经济程度较高时，制造商生产规模扩张的难度增加，相应的生产量和销售量均较低，此时模式Ⅳ中的制造商转而通过提高批发价来实现较高的边际利润，故其第二期批发价高于模式Ⅱ的均一化批发价。从上述分析可知，对于制造商而言，模式Ⅳ比模式Ⅱ具有更好的决策弹性。

与命题5(2)批发价均值的结论类似，模式Ⅰ的第二期批发价受参考价格因子的影响最显著，其开始在4种决策模式中最低，随着参考价格因子的增加，将先超过模式Ⅲ，然后依次超过模式Ⅳ和模式Ⅱ(或模式Ⅱ和模式Ⅳ)，具体解释可参照命题5(2)。

表1和命题5(5)表明，4种模式下的第三期批发价均随参考价格因子的增加而提高，模式Ⅰ、模式Ⅱ和模式Ⅳ第三期批发价的相对数量关系以及参考价格因子和规模不经济系数所产生的影响与第二期类似，因此不再讨论。第三期模式Ⅲ的批发价与前两期存在显著差异，无论参考价格因子和规模不经济系数如何，该模式的批发价在所有4种模式中最高，这仍可归因于制造商为防止零售商在该期采取低价而从参考价格效应中获益的应对手段(即高批发价迫使零售商不能过度降价，否则会使其边际收益严重受损)。图2a④和图2b④的结果验证了该命题。

命题6同种模式下的三期零售价、不同模式间的零售价均值和各期零售价比较如下：

其他未能明确给出的数量关系则依赖γ和c的取值。

证明从略。命题6(1)表明，4种模式下的产品零售价均逐期递减，这显然是符合逻辑的，即零售商通过逐期降低零售价来利用参考价格效应增加销量。另外在实践中，随着周期的推移，产品依次进入成熟期和衰退期，市场将饱和并出现仿制品和替代品，零售商必须通过降价来维持销量。采用命题5算例中的参数值验证两种规模不经济系数下参考价格因子对4种决策模式下零售价均值和各期零售价的影响，结果如图4所示。

表1和命题6(2)表明，在4种模式下，仅模式Ⅳ的三期零售价均值随参考价格因子降低，原因是该模式中主导方制造商的决策目标和批发定价方式与其他3种模式明显不同：在其他3种模式下，制造商均以三期总利润为目标，第一期即宣布均一化批发价或依次递增的差异化批发价；而在模式Ⅳ中，制造商逐期优化利润和宣布批发价，由图2a①和图2b①可知，随着参考价格因子的增加，该模式的各期批发价增幅相对平缓，更为重要的是，根据命题5(1)，从第二期到第三期制造商批发价将递减，故相应的零售商零售价均值亦随参考价格因子的增加而减少。模式Ⅰ和模式Ⅲ的零售价均值均随参考价格因子的增加而增加，原因是这两种模式下的制造商批发价均值随参考价格因子的增加增长迅速(如图2a①和图2b①)，在这两种零售商预先发布零售价的模式中，为保持边际收益，零售商只能相应地提高零售价均值。产品零售价均值可能随参考价格因子产生非单一变化趋势的是模式Ⅱ，具体为参考价格因子增加时，该模式零售价均值的增减取决于规模不经济系数c，当c=2时先减后增，当c=20时单调递增。产生该现象的原因仍为模式Ⅱ与模式Ⅰ、模式Ⅲ零售商的定价方式不同，虽然图2a①显示在c=2时模式Ⅱ的制造商批发价最高且随参考价格因子的增加增长迅速，但是由于规模不经济程度较低，制造商的生产批量相对较大，因此在参考价格因子达到某阈值之前、批发价尚可接受的情况下，零售商仍有余地采用降价方式并依靠参考价格效应形成相对较高的销量，以谋求更多的利益。在参考价格因子超出该阈值的情况下，制造商批发价太高或规模不经济程度过高(c=20)导致产量过低和批发价过高，零售商只能通过提高零售价来维持一定的边际利润。

就4种模式的零售价均值而言，模式Ⅳ的零售价均值在4种模式中始终最低，这可以从上述该模式制造商的批发价策略推知；模式Ⅰ的零售价均值在4种模式中始终最高，原因是制造商采取的“一口价”批发价策略以及零售商无法逐期确定零售价。模式Ⅱ和模式Ⅲ零售价均值的大小取决于规模不经济系数c，c=2时模式Ⅲ的零售价均值高于模式Ⅱ，c=20时模式Ⅱ的零售价均值高于模式Ⅲ。图4a①和4b①验证了以上结论。

表1和命题6(3)表明，在4种模式下，仅模式Ⅳ的第一期零售价与参考价格因子无关(从表达式可知)，其他模式的第一期零售价均随参考价格因子的增加而增加；模式Ⅳ和模式Ⅰ的第一期零售价在4种模式中分别为最低和最高，模式Ⅱ和模式Ⅲ的第一期零售价比较依赖规模不经济系数c，c=2时模式Ⅲ的第一期零售价高于模式Ⅱ，c=20时模式Ⅱ的第一期零售价高于模式Ⅲ。以上排序关系与命题6(2)给出的零售价均值关系完全一致。图4a②和4b②验证了以上结论。

表1和命题6(4)表明，对于4种模式下的第二期零售价，模式Ⅰ和模式Ⅲ均随参考价格因子的增加而提高，模式Ⅳ随参考价格因子的增加而下降，模式Ⅱ随参考价格因子的增加先减后增。模式Ⅰ的第二期零售价在4种模式中最高，当c=2时，模式Ⅳ的第二期零售价在4种模式中最低，模式Ⅲ高于模式Ⅱ；当c=20时，除模式Ⅱ外其他模式间的第二期零售价排序与c=2时相同，模式Ⅱ的第二期零售价在参考价格因子较低时是4种模式中最低的，但是随着参考价格因子的增加，其将依次超过模式Ⅳ和模式Ⅲ。以上各模式的第二期零售价随参考价格因子的变化趋势和排序关系亦与命题6(2)类似，不再赘述。图4a③和4b③验证了以上结论。

表1和命题6(5)表明，4种模式下的第三期零售价随参考价格因子变化的趋势与前两期存在较明显的差异。结合图4a④和图4b④可知，类似于第二期，模式Ⅳ的第三期零售价仍随参考价格因子的增加而递减，模式Ⅰ和模式Ⅲ的第三期零售价均随参考价格因子的增加先减后增；当规模不经济程度较低(c=2)时，模式Ⅱ的第三期零售价随参考价格因子的增加而递减；当规模不经济程度较高(c=20)时，其随参考价格因子的增加先减后增。以上结论可解释如下：在除模式Ⅳ的其他3种模式中，零售商在决策周期的最后一期均意图降低零售价，以利用参考价格效应增加销量，但是制造商的批发价也会随参考价格因子和规模不经济程度的增加而提高，当批发价低于阈值时，零售商可持续降低零售价；当批发价超过阈值后，为使边际利润不至于太低，零售商只能转而提高零售价。如前所述，由于固有的决策特点，模式Ⅳ的第三期零售价依旧随参考价格因子的增加而递减。

基于如上变化趋势，4种模式下第三期零售价的排序关系为：无论参考价格因子和规模不经济系数如何取值，模式Ⅱ和模式Ⅳ的第三期零售价均严格低于模式Ⅲ。随着参考价格因子的增加，模式Ⅰ第三期零售价的波动幅度最大，其开始处于4种模式的最低，然后随着参考价格因子的增加先减后增并依次超过其他3种模式。模式Ⅱ和模式Ⅳ的第三期零售价情况与参考价格因子和规模不经济系数同时相关，当c=2时，模式Ⅱ的第三期零售价严格高于模式Ⅳ；当c=20时，模式Ⅱ的第三期零售价在参考价格因子低于阈值时低于模式Ⅳ，在参考价格效应高于该阈值时将反超模式Ⅳ。图5所示为参考价格因子对4种模式相邻周期零售价差产生的影响，结果如图5所示。

图5表明，随着参考价格因子的增加，各种模式相邻两期间的零售价差均增加，该现象可以通过参考价格效应的含义来解释。另外，总体而言，在制造商仅采取“一口价”策略的模式Ⅰ和模式Ⅱ中，零售商更容易拉开相邻两期间的价格差，从而更多地通过参考价格效应增加销量；无论参考价格因子和规模不经济程度如何，模式Ⅰ相邻两期间的零售价差均居4种模式之首；除c=2时第二期和第三期间的零售价差外，模式Ⅱ的相邻两期零售价差位居第二；模式Ⅳ中的制造商每期均制定批发价，以防零售商通过较高价差进一步增加销量，因此在绝大多数情况下该模式的相邻两期零售价差最小。

虽然模式Ⅰ中零售商利用参考价格效应获得了最多的需求增量，但是并不意味着该模式的需求量最高。命题7给出了各种模式需求量的相关结论。

命题7同种模式下的三期需求量、不同模式间的需求量均值与各期需求量比较如下：

其他未能明确给出的比较取决于γ和c的取值。

证明略。命题7(1)表明，4种模式下的产品需求量均逐期递增，该结论易从命题6(1)的价格逐期递减以及参考价格效应作用中推得。

采用命题5算例中的参数值验证两种规模不经济系数下参考价格因子对4种决策模式需求量均值和各期需求量的影响，如图6所示。

表1和命题7(2)表明，模式Ⅰ的三期需求量均值不但随参考价格因子下降，而且在4种模式中最低。该结论与图5模式Ⅰ的零售商借助参考价格效应获取最多需求增量的结论形成了明显的反差；模式Ⅲ和模式Ⅳ的需求量均值随参考价格因子的增加而提高，特别是模式Ⅳ的需求量均值处于4种模式之首，然而图5显示该模式零售商凭借参考价格效应获取的需求增量最少。导致模式Ⅰ和模式Ⅳ中参考效应引发的需求增量与最终需求量相悖的主要原因仍为制造商批发价策略。图6a①和6b①表明，模式Ⅱ的需求量均值随参考价格因子变化的趋势与规模不经济系数相关，当该系数较低(c=2)时，其随参考价格因子的增加而增加；当该系数较高(c=20)时，其随参考价格因子的增加先增后减。另外，模式Ⅱ和模式Ⅲ需求量均值的数量关系同时取决于参考价格因子和规模不经济系数c，当c=2时，模式Ⅱ的需求量均值高于模式Ⅲ；当c=20时，模式Ⅱ的需求量均值在参考价格因子低于阈值时高于模式Ⅲ，高于该阈值时低于模式Ⅲ。图6a①和6b①验证了以上结论。

表1和命题7(3)表明，对于第一期需求量，除模式Ⅳ与参考价格因子无关外，其他3种模式的第一期需求量均随参考价格因子的增加而降低，这是零售商为了后续两周期形成价格参考效应而有意调高第一期零售价的结果。与需求量均值的情况类似，模式Ⅳ和模式Ⅰ的第一期需求量分别为最高和最低，模式Ⅱ和模式Ⅲ第一期需求量的大小取决于规模不经济系数c，c=2时模式Ⅱ的该期需求量大于模式Ⅲ，c=20时模式Ⅲ的第一期需求量大于模式Ⅱ。图6a②和6b②验证了以上结论。

表1和命题7(4)表明，4种模式下的第二期需求量均随参考价格因子的增加而增加。具体地，当c=2时，模式Ⅲ和模式Ⅰ的第二期需求量最低，当参考价格因子低于阈值时，模式Ⅳ的该期需求量高于模式Ⅱ；当参考价格因子高于阈值时，模式Ⅱ的该期需求量更高。当c=20时，模式Ⅲ的第二期需求量仍然在4种模式中最低，模式Ⅰ的第二期需求量起初低于模式Ⅳ，在参考价格因子超过阈值后高于模式Ⅳ。图6a③和6b③的结果验证了以上结论。

表1和命题7(5)表明，无论规模不经济系数如何取值，模式Ⅱ、模式Ⅲ和模式Ⅳ的第三期需求量均随参考价格因子的增加而增加。对模式Ⅰ而言，当c=2时，第三期需求量随参考价格因子的增加而增加；当c=20时，第三期需求量先随参考价格因子的增加而增加，到达阈值后随参考价格因子的增加而降低。在4种模式中，模式Ⅰ和模式Ⅲ的第三期需求量分别为最高和最低，模式Ⅱ和模式Ⅳ的第三期需求量在c=2和c=20时呈现为相反的数量关系。图6a④和6b④验证了以上结论。

命题84种模式下制造商利润、零售商利润与系统总利润的数量关系为：

(3)πⅣ*>max{πⅡ*,πⅢ*}>min{πⅡ*,πⅢ*}>πI*。

其他未能明确给出的比较取决于γ和c的取值。

证明略。采用命题5算例中的参数值验证两种规模不经济系数下参考价格因子对4种模式的制造商利润、零售商利润和系统总利润的影响，如图7所示。

表1和命题8(1)表明，模式Ⅲ和模式Ⅳ的制造商利润随参考价格因子的增加而提高，模式Ⅰ的制造商利润随参考价格因子的增加而降低，模式Ⅱ的制造商利润与参考价格因子的增减关系取决于规模不经济系数，c=2时随参考价格因子的增加而提高，c=20时随参考价格因子的增加先增后减，如图7a①和7b①所示。从4种模式下的制造商利润数量关系分析，无论规模不经济系数如何变化，模式Ⅰ的制造商利润始终在4种模式中最低；模式Ⅳ始终优于模式Ⅲ;模式Ⅱ的制造商利润排位与规模不经济系数相关c，当c=2时，模式Ⅱ的制造商利润在4种模式中最高；当c=20时，若参考价格因子低于阈值，则制造商利润在模式Ⅳ和模式Ⅲ之间，若参考价格因子高于阈值，则制造商利润低于模式Ⅲ。

表1和命题8(2)表明，4种模式下的零售商利润均随参考价格因子的增加而降低，说明虽然零售商意图利用参考价格效应对各期进行调价来获取更多利润，但是作为渠道主导方的制造商同样可以通过调整其批发价策略来应对零售商，最终使零售商利润低于无参考价格效应时。4种模式下零售商利润的排序在两种规模不经济系数下完全相同，即模式Ⅲ和模式Ⅱ的零售商利润分别为最高和最低。当参考价格因子非特别高时，模式Ⅰ优于模式Ⅳ；当参考价格因子特别高时，模式Ⅳ优于模式Ⅰ。图7a②和7b②验证了以上结论。

根据上述结果展开分析，首先模式Ⅲ下的制造商利润和零售商利润均优于模式Ⅰ，因此模式Ⅲ实现了对模式Ⅰ的Pareto改进。不难发现模式Ⅰ是模式Ⅲ的特例，从模式Ⅰ的均一化定价到模式Ⅲ的差异化定价，制造商在优化自身利润的同时改善了零售商的利润，实现了“双赢”。模式Ⅰ也是制造商在所有模式中的最劣选择;制造商的最优选择是模式Ⅱ和模式Ⅳ，即零售商分别以各期利润为优化目标时的利润最优，具体为当规模不经济系数较低时，模式Ⅱ的制造商利润最优；当规模不经济系数较高时，模式Ⅳ的制造商利润最优。

零售商利润最优和最劣的模式选择均不受参考价格因子和规模不经济系数的影响，分别为模式Ⅲ与模式Ⅱ。如前所述，模式Ⅱ中的制造商仅有一次批发价决策权，而零售商可在三期分别确定零售价，出于对零售商利用参考价格效应获益的顾虑，制造商在该模式中制定最高批发价均值会严重伤害零售商利益。综合该结论与上述制造商的利润排序可知，在规模不经济系数较高情形下，模式Ⅳ的制造商利润和零售商利润同时优于模式Ⅱ，即模式Ⅳ实现了对模式Ⅱ的Pareto改进。最后，通过比较模式Ⅳ与模式Ⅰ下的零售商利润表明，只要参考价格因子非特别高，模式Ⅰ中的零售商利润就优于模式Ⅳ。因此，在绝大部分情况下，零售商以其三期总利润为目标(模式Ⅰ和模式Ⅲ)比逐期优化(模式Ⅱ和模式Ⅳ)的收益更高。

表1和命题8(3)表明，模式Ⅲ和模式Ⅳ的系统总利润随参考价格因子的增加而提高，模式Ⅰ的系统总利润随参考价格因子的增加而降低，模式Ⅱ随参考价格因子的增减关系取决于规模不经济系数c，c=2时随参考价格因子的增加而提高，c=20时随参考价格因子的增加先增后减，如图7a③和7b③所示。从数量关系上分析，模式Ⅳ和模式Ⅰ的系统总利润分别在4种模式为最高和最低，该排序不受参考价格因子和规模不经济系数的影响，即在双方均逐期决策并以各期利润而非总利润为优化目标时，反而能够产出最高的系统总利润。模式Ⅰ因双方两败俱伤而使系统总利润最低；模式Ⅱ和模式Ⅲ的情况与规模不经济系数相关c，c=2时模式Ⅱ优于模式Ⅲ，c=20时模式Ⅲ更优。

4结束语

本文针对多周期环境下制造商制定产品批发价及零售商决定零售价可能采取的4种模式建立动态博弈模型，探讨了生产规模不经济情形下基于参考价格效应的三周期供应链定价决策，推导并比较了不同模式下的定价均衡解和成员利润，通过理论分析与数值算例揭示了参考价格效应和规模不经济系数对均衡解与利润的影响，得到如下主要结论：

(1)4种模式下制造商应对零售商利用参考价格效应的策略存在差异，主要体现在其采取差异化定价的模式Ⅲ和模式Ⅳ，制造商在模式Ⅲ中采取递增批发价策略，在模式Ⅳ中采用降低批发价和缩减价差的策略。

(2)模式Ⅰ受参考价格因子的影响最显著，表现在其批发价和零售价随参考价格因子的增加迅速增长；模式Ⅱ受规模不经济程度的影响最显著，表现为不同规模不经济系数下其决策变量和利润随参考价格因子呈现复杂的增减关系，而且在4种模式中的排序可能发生明显改变，其他模式受规模不经济系数程度的影响相对较小。

(3)零售商利润在模式Ⅲ中最优，在模式Ⅱ中最劣，绝大部分情况下零售商以其三期总利润为目标比逐期优化的收益更高。与直觉相悖的是，制造商利润的最优模式并不依赖自身决策目标而是零售商的决策目标，在零售商逐期决策且优化各期利润的模式Ⅱ或Ⅳ中，其利润可能最优，而在模式Ⅰ中最劣。就系统总利润而言，双方均逐期决策且以各期利润最大化的模式Ⅳ能够产出最高的系统总利润。

未来的研究方向是将本模型拓展至随机需求环境，或考虑其他渠道领导权结构；另外，本文假定消费者仅基于前一期零售价形成参考价格，未来可考虑更复杂的参考价格形成过程。