多重随机六角链的广义Zagreb指标

薛淑婷， 边 红， 于海征

（1.新疆师范大学数学科学学院，乌鲁木齐 830017；2.新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830046）

1 预备知识

令G是一个简单连通图，顶点集为V( G )，边集为E( G ). 在图G中，令d（v或dG(v)）表示顶点的度. 一个六角系统是一个没有割点的有限连通平面图，其中所有的内部面都是边长为1的正六边形，使得图中任意两个六边形或者不相交，或者恰好有一条公共边，并且没有三个六边形共享一条公共边［1］. 如果一个六角系统中的每个六边形最多和两个六边形相邻，则称这个六角系统为六角链. 显然，在六角链中，除了首末两端的六边形外，每个六边形都恰有两个相邻的六边形. 六角链是理论化学的重要研究结构，因为它是苯类化合物的碳原子骨架图的自然图映射，同时化学数学中的许多研究也都与六角链（苯类化合物）有关［2］.

通过对线性六角链Ln的m个拷贝依次进行融合，就可以形成一个m层的多重随机六角链. 一个多重随机六角链是一种平面蜂窝晶格结构，它是通过两种可能的融合方式，在一个线性六角链Ln的底部依次融合它的拷贝而形成的［3］，它也可以看作是在这两类融合方式上通过伯努利分布而得到的. 一个双六角链H2,n是由Ln的两个拷贝融合而成的，有两种方式的融合：一个称作α-型融合，另一个称作β-型融合. 一个m层的多重随机六角链，用Hm,n=θ1θ2…θm-1来表示，其中θi∈{α ,β} ，i=1,2,…,m-1. 任海珍等［3］研究了多重随机六角链上的dimer覆盖的一些性质.

1972年Gutman I和Trinajstić N在研究碳原子分子结构中电子能量的独立性时，提出了第一、第二Zagreb指标［4-5］. 图G的第一Zagreb指标和第二Zagreb 指标分别用M1( G )和M2( G )表示，定义如下：

一般Zagreb指标的概念最早是由Li和Zheng［6］提出的，定义为

Ranjini等［7］在2013年给出了修正的Zagreb指标，定义

在2011年，Azari等在文献［8］中以G的点度为基础，提出了连通图G上的广义Zagreb指标.

定义1［8］令G 是一个图，顶点集为V( G )，边集为E( G )，对于任意非负整数r 和s，图G 的广义Zagreb 指标定义如下：

推论1［8-9］令G是一个图，顶点集为V(G )，边集为E( G ). 则图G的广义Zagreb指标满足如下性质：

Sarkar 等［10］研究了碳的三类同素异形体（石墨烯、碳石墨和碳的晶体立方结构）的广义Zagreb 指标.2015 年，Farahani 等［12］研究了v-苯基纳米管和Nanotori 的结构，并计算了它们的广义Zagreb 指标. 2017 年，Farahani等［13］计算了树状纳米星D3[ ]n 的广义Zagreb指标. 2018年，Sarkar等［14］又研究了一些规则的树状大分子的广义Zagreb指标，从而得到了一些基于顶点度的拓扑指标.

本文主要研究多重随机六角链的广义Zagreb指标和多重随机六角链的广义Zagreb指标的期望值.

图1 C中的两个点u和v的Para-位Fig.1 Para-position of two vertices u and v in C

2 多重随机六角链的广义Zagreb指标

首先考虑一个六边形C，如果C 中的两个点u 和v 在C 中的距离为2，就称为是Para-位的. 图1 给出了C 中两个点是Para-位的例子. 如果一个六角链的每个六边形是按Para-位拼接的，则被称作Para-链（也叫线性六角链）［11］（如图2所示）.