基于全微分法的Buck 变换器建模及控制策略

申高帅，李林凯，董梦雪，闵 闰

（1.华中科技大学 光学与电子信息学院，湖北 武汉 430074；2.上海空间电源研究所，上海 200245）

0 引言

DC-DC 变换器是一种实现电平变换的非线性系统，被广泛应用于LED 驱动、混合动力汽车等工业领域[1-3]。它的建模问题是分析和提升变换器稳定性的基础，因而实现其精确建模具有重要意义[4-6]。对于基于脉冲宽度调制（Pulse Width Modulation，PWM）的变换器，状态空间平均法被广泛用于模拟其开关动作。该方法通过对开关导通和开关关断两种状态进行平均化处理，得到每个开关周期的电压电流平均值，进而获得等效电路模型或小信号模型[7-8]。然而，传统的建模方法精度有限，这是由于在建模过程中忽略了寄生参数对电感电流的作用。

为了提升建模精度，本文采用状态空间平均和全微分法对Buck 型DC-DC 变换器进行精确建模。建模过程中考虑寄生参数对电感电流上升斜率、下降斜率的影响，得到了改进的电感电流表达式。通过对输出电压、输入电压、占空比和负载进行全微分，最终得到了改进的小信号模型。频谱分析表明，改进模型在中低频段具有更高的精度。分别基于SSM 和ISSM 模型设计PID 控制器，仿真结果表明，基于ISSM 模型设计的控制器能够消除输出电压过冲，同时改善78%的动态响应速度。

1 Buck 型DC-DC 变换器的小信号模型

Buck 型DC-DC 变换器是一种能实现降压的电路，基本结构如图1 所示。通过脉冲宽度调制（Pulse Width Modulation，PWM）信号控制开关S 的导通和关断，即可调整输出电压v。控制环路将输出电压v与参考电压vref相减得到电压误差信号ev，进而通过比例-微分-积分（Proportion Integra-tion Differentiation，PID）得到控制信号，并进行PWM 调制控制开关的相关操作。

图1 Buck 型DC-DC 变换器的基本结构

当S 导通时，二极管处于关断状态，电感L 左侧电压等于输入电压vg。当S 关断时，由于电感电流必须保持连续，所以二极管被导通，L 左侧电压等于0。因为在PWM 调制下S 的导通时间为占空比d，关断时间为1-d，所以L 左侧的平均电压为dvg，而其右侧电压为v。又因为稳定状态下的电感电流恒定，所以电感两端平均电压相等，进而可得：

可见，在稳态，Buck 型DC-DC 变换器可实现降压，其输出电压与d和vg成正比。然而，式（1）仅适合稳态下的变换器，因为在非稳态条件下电感电流是动态变化的。因此，需要研究变换器的小信号模型，建立正确的传输函数，用于模拟变换器的动态特性。

1.1 基本小信号模型

电感电流在动态调整过程中是非恒定的，是由电感两端电压平均值的积分决定的，而输出电压是由电容C 的充放电电流决定的。由于电感电流为电容C 的充电电流，v/R为电容C 的放电电流，所以可得：

式（2）描述了非稳态过程中v和i的变化规律。考虑i、v、vg、d、R的小信号分量，对式（1）作全微分，可得：

消除中间变量i，可得vg、d、R、v的小信号关系：

式（4）为v的全微分方程，其中考虑了vg、d和R的影响。由式（4）可得变换器的传输函数：

其中，Gvd为d到v的传输函数，Gvg为vg到v的传输函数，Gvl是R到v的传输函数。可见，Buck 变换器的小信号模型具有3 个输入：d、vg和R，它们共同决定了输出电压v。

1.2 改进的小信号模型

在变换器的SSM 模型中没有考虑寄生参数的影响，大大降低了模型的可靠性。为了解决该问题，在建模中考虑寄生参数对电感电流的影响，进而得到变换器的ISSM 模型。如图2 所示，电路中主要的寄生参数包括电感等效串联电阻RL、二极管导通电阻RF、二极管正向导通电压vF和开关电阻Rds。

图2 考虑寄生参数的Buck 型DC-DC 变换器结构

考虑寄生参数的效应，电感两端电压在S 导通期间为vg-v-i(Rds+RL)，在S 关断期间为-v-i(RL+RF)-vF，因而在一个开关周期内，其两端电压平均值为dvg-vi(dRds+RL+d'RF)-d'vF。可见，寄生参数改变了电感电流的变化规律：

式（6）是在考虑寄生参数的条件下，描述了非稳态过程中v和i的变化规律。为了得到小信号模型，对其作全微分可得：

其中，Req=dRds+RL+d'RF为等效电阻。进一步，约去变量i，可得vg、d、R、v的小信号关系：

最后，得到改进的传输函数：

由于在改进的小信号模型中考虑了寄生参数的影响，所以得到了更高的精度。对比式（5）和式（9）可发现，它们具有不同的增益和零极点。特别地，在SSM 模型中，Gvl(s)具有一个位于原点的零点，这是一个微分系数，表明输出电压的稳态值与负载变化无关；而在ISSM 模型中，该零点变化为-Req/L，表明输出电压的稳态值会受到负载的影响。以上分析将会在仿真中得到验证。

2 控制参数整定

变换器环路通过PID 进行控制。针对参考电压阶跃扰动整定控制参数，设闭环传输函数被调整为一阶的目标函数，即：

其中，ωn为目标函数的自然频率。ωn越大，系统响应速度越快。

对于给定的ωn，可得基于SSM 模型的控制器传输函数为：

考虑寄生参数的影响，则系统传输函数变为Gvd'(s)。设闭环传输函数被调整为同样的目标函数，即：

则可得基于ISSM 模型的控制器传输函数为：

可见，基于SSM 和ISSM 模型设计的控制器将具有不同的传输函数，从而获得不同的比例、微分和积分系数。由于寄生参数必然存在于Buck 变换器中，所以基于SSM模型设计的控制器会受寄生参数效应影响，从而降低控制性能。而基于ISSM 模型设计的控制器将具有更高的精度，可以更好地将闭环传输函数调整为目标函数。

3 仿真结果

为了验证模型的精度，基于Matlab-simulink 搭建了Buck 变换器的SSM、ISSM 和电路模型。这里电路模型是基于开关等元器件建立的模型，并且其中包含了各类寄生参数，因而具有最高的精度。将电路模型作为参考模型，通过对比即可验证SSM 和ISSM 模型的精度。

3.1 模型验证

根据表1 参数建立模型，分别加入输入电压、占空比和负载的阶跃扰动，可得输出电压响应。分别对占空比扰动、输入电压扰动和负载扰动时的输出电压响应作频谱分析，仿真结果如图3 所示。

对于占空比和输入电压的扰动，当ω＜1e4 rad/s时，3 种模型具有相同的增益和相位特性；当1e4 ＜ω＜3e4 rad/s 时，ISSM 与电路模型具有相同的频率响应，而SSM 模型存在偏差；当ω＞3e4 rad/s 时，ISSM 与SSM 模型具有相同的频率响应，两者均逐渐偏离电路模型。对于负载电阻扰动，当ω＜3e4 rad/s 时，ISSM与电路模型具有相同的频率响应，而SSM 模型存在较大误差；当ω＞3e4 rad/s 时，ISSM 和SSM 模型均能较好地模拟电路模型，因而都具有较高的精度。

表1 Buck 变换器主要电路参数

图3 输出电压的频谱分析

3.2 控制效果对比

由于寄生参数效应，基于SSM 和ISSM 模型设计的控制器参数将有所不同。设置ωn=0.3/T，则根据式（11）得出的控制器参数为P=0.02、I=2 000、D=5e-6，而根据式（13）可得控制器参数P=0.048、I=2 026、D=4.78e-6。为了验证模型差异对控制效果的影响，分别基于这两组控制参数进行电路级仿真。通过引入参考电压阶跃，得到的仿真结果如图4 所示。

仿真结果表明：基于SSM 模型设计的控制器参数，输出电压具有10%的过冲，并在700 μs 后达到稳定；基于ISSM 模型设计的控制器参数，输出电压不存在过冲，在150 μs 内即可达到稳定。因此，基于ISSM 模型的设计可以消除输出电压过冲，同时可提升78%的输出电压动态响应速度。

4 结论

本文基于状态平均和全微分法，建立了一种适用于CCM 模式Buck 变换器的改进小信号模型。在建模过程中考虑了寄生参数的影响，提高了其在中低频段的精度。针对参考电压的阶跃，分别基于SSM 模型和ISSM 模型设计了PID 控制器。仿真结果表明，相比基于SSM 模型的控制器，基于ISSM 模型的控制器能够消除输出电压的过冲，同时能够缩短78%的响应时间。综上所述，所提出的ISSM 模型对于变换器的分析和控制器设计具有重要的指导意义。

图4 参考电压阶跃响应时输出电压