浅谈确界原理的教学体会

【摘要】确界原理是实数完备性的理论基础。确界原理简单明了、构造性强的特点使其在证明与实数相关的命题中有广泛的应用。本文结合实例分析，归纳总结了确界原理在数学分析中的部分应用。

【关键词】确界原理 实数完备性 有界

确界原理是实数完备性的六个等价定理之一，与单调有界定理、柯西收敛准则、区间套定理、有限覆盖定理和聚点定理构成了实数完备性的基本理论框架。华东师范大学版的《数学分析（第四版）》就是在确界原理的基础上建立实数完备性及数学分析的理论体系。确界原理简单易懂、构造性强的特点使其在证明与实数及与实数相关的集合相关的命题方面有着广泛的应用。

一、主要教学内容简述

设S是R中的一个数集，若存在实数η满足：（i）对一切x∈S，有x≤η（即η是S的上界）;（ii）对       ，存在x0∈S，使得x0>η-ε（即η是S的最小的上界），则称实数η为数集S的上确界，记作η=supS。同理，可定义S的下确界infS。

确界原理是给出确界的存在性的条件。

定理1（确界原理）：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界;若S有下界，则S必有下确界。

为了方便归纳确界原理的应用，特别是处理不等式相关的应用，我们先列出确界的两个简单的性质，其详细证明见文献。

性质1.设A，B为非空数集，满足：对一切x∈A和y∈B有x≤y，则数集A有上确界，数集B有下确界，且supA≤infB。

性质2.设A，B为非空有界数集，定义A+B={z│z=x+y，x∈A，y∈}，则suo（A+B）=supA+supB，inf（A+B）=infA+infB。

二、确界原理的应用

在证明与实数相关的命题中，确界原理有广泛的应用，例如证明闭区间上连续函数的最大值和最小值定理、介值性定理、一致连续性定理等。对于闭区间上连续函数整体性质的证明，可以采用不同的思路与方法。通常选择方法的出发点是简单易懂、利于推广。基于此原则，通常用确界原理证明最大（小）值存在性定理，用有限覆盖定理或致密性定理证明有界性定理和一致连续性定理，用区间套定理证明介值性定理。也可以用确界原理证明。

例1：用确界原理证明：若函数f在闭区间上连续，则f在[α，b]上有界。

分析：設S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由连续函数的局部有界性得f在点α局部有界，从而S是非空数集，且点b为其上界。由确界原理，supS存在。只需证明b=supS，且b∈S，从而S=[α，b]，即F在[α，b]上有界。

证明：设S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由分析可知，集合S为非空有上界的数集。由确界原理得，存在η=supS。现用反证法证明η=b。

若η0使得f（x）在区间[η-δ，η+δ]上有界，即存在x0∈S，使x0>η，与η的取法矛盾，故η=b。

再证函数f在[α，b]上有界。因为f在点b连续，则存在ε>0，函数f在[b-δ，b]上有界，从而f在[α，b]上有界。

在定义数列的上（下）极限、实数指数幂等方面确界原理都有应用。在初等数学中只给出了有理数指数乘幂。借助确界原理定义无理指数幂，得到实指数乘幂，并利用确界的性质证明实数指数幂的性质等等。确界原理的应用非常广泛。本文结合实例分析，总结确界原理的部分应用。

下面用确界原理证明连续归纳法为例说明其应用。数学归纳法反映了自然数集的基本性质，而连续归纳法则反映了实数集的基本性质—-实数连续性。设I为一个有限或无限区间，若对每个x∈I命题Px都为真，则称P在I上为真，如存在x0∈I，使Px0不真，则称P在I上不真。连续归纳法是指：设对任意实数X对应命题Px。如果（i）存在x0∈I，使对I上一切x0，使Px对一切xx0，从而集合A非空有下界，由确界原理知A有下确界infA，从而存在实数y0，使得infA=y0≥x。由下确界定义，P在（-∞，y0）∩A上为真，由连续归纳条件（ii），必存在εy>0，使P在（-∞，y0+εy）∩A上为真，这与y0=infA矛盾，故A必为空集，即连续归纳法成立。

确界原理在初等数学中也有独特的应用。初等数学中有一些问题，特别是不等式相关的问题，用初等数学知识去解决比较复杂，通过灵巧地应用确界原理，对处理不等式问题能起到事半功倍的作用。下面我们就用实例来展示其应用。

例2：对任意α∈（3，5）与b∈（0，1）满足<4α/3-2b，求x的最值。

解：由α∈（3，5），b∈（0，1）得inf（4α/3）=4，inf（-2b）=-2，。由性质2得，inf（4α/3-2b）=inf（4α/3）+inf（-2b）=2。再由性质1可得x≤2，即x的最大值为2。

三、教学总结与反思

统计类专业、大数据相关的专业，数学分析都是必修课程，课时却比较少。比如我校统计类与大数据类专业，数学分析只开设一学年。在如此短的时间内要上完数学分析的课程，就需要教师抓住数学分析的基本知识点和理论框架。让学生对数学分析有一个基本的知识结构。确界原理是实数完备性的基石之一。确界原理简单易懂的特点使很多数学分析的教材都选其作为公理来建立实数的完备性理论和数学分析的理论基础。教师在讲授数学分析课程时如能重点突出确界原理的基础性作用，并结合不同的知识点讲授其应用，将会起到事半功倍的作用。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第4版）[M].高等教育出版社，北京，2010.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第2版）[M].高等教育出版社，2006.116-120.

[3]刘念.闭区间上连续函数性质的探讨[J].职业技术，2007，（72）：161-162.

作者简介：黄木根（1979-），男，江西新余人，博士研究生，讲师，研究方向为应用数学。