椭圆模型在共点力动态分析中的应用

2020-05-25 07:33曹盼

物理教师 2020年4期

曹盼

(延安市安塞区高级中学，陕西延安 717400)

共点力的动态分析是高考的一个热点,通常有函数和图解两种方法．函数法最常规,不过有时推导过程和单调性分析比较复杂;图解法比较流行,具有快速直观获得结果的优点,其巧妙性往往给人以耳目一新的感觉．力的矢量合成图解构型从直角三角形、相似三角形到圆,近几年椭圆又频频出现,几何在物理中的应用越来越广泛．本文以3道高考真题和一道东北联考题为例,先引入椭圆的一条光学性质,然后利用椭圆及其辅助圆求解共点力的动态分析问题．

1 椭圆的一条光学性质及其证明

图1

文献[1]直接用到了椭圆的一条光学性质:过椭圆任意一点作切线,其法线一定平分该切点与两焦点连线的夹角．结合光的反射定律,可知从一个焦点发出的光线经椭圆的内表面反射必过另一个焦点．考虑到物理的溯源传统和证明方法的启发性,这里给出该性质的一种证明．如图1,在椭圆中将F1P延长PF2的长度到Q,则F1Q=2a．以F1为圆心、2a为半径做一个辅助圆．连接F2Q交椭圆的切线PK于K点,为了证明Q是F2关于切线的像点,只要证明F2Q⊥PK结合PF2=PQ就能得到△PF2K≌△PQK．

kk′=-1.

(1)

根据P的坐标可知

代入(1)式有

两边平方结合c2=a2-b2得

b2x02+a2y02=a2b2,

图2

2 椭圆在共点力动态分析问题中的应用举例

图3

例1.(2018年浙江省高考题)如图3所示,一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处,A、B两点水平距离为16 m,竖直距离为2 m,A、B间绳长为20 m．质量为10 kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处．以A点所在水平面为参考平面,猴子在滑行过程中重力势能最小值约为(绳处于拉直状态)

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

图4

解析:忽略滑环受到的摩擦,小猴子在下落过程中只有动能和重力势能相互转化,其机械能守恒．当重力势能最小时,猴子的动能最大,此时猴子受到绳两端的拉力在水平切线PK上合力为0,记AP和BK的延长线交于Q．由于绳子两端拉力(张力)相等,因此合力方向平分∠BPA并垂直于切线,由平行线关系易得∠PQK=∠PBK,如图4,容易证明△PQK≌△PBK．

图5

思考:解析中利用能量转化的模糊说法说明机械能守恒,能否从做功的角度做出判断?小猴子到A、B两点之间的距离等于绳长,其运动轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆,如图5．由于绳两端的拉力相等,其合力必定在∠BPA的平分线上,根据前文椭圆的光学性质,沿BP的光线反射后一定沿PA方向,其法线与椭圆的切线垂直,因此绳两端拉力的合力与切线(速度方向)始终垂直(不限于最低点),绳子的拉力对小猴子不做功,小猴子的机械能守恒,是一个动态不平衡的过程．

例1.(多选)(2018年东北三省四市名校联考)如图6所示,两根轻绳一端系于结点O,另一端分别系于固定圆环上的A、B两点,O点下面悬挂一质量为m的物体,绳OA水平,拉力大小为F1,绳OB与OA夹角α=120°,绳OB拉力大小为F2,将两绳同时缓慢顺时针转过75°,并保持两绳之间的夹角α始终不变且物体始终保持静止．则在旋转过程中,下列说法中正确的是

图6

(A)F1逐渐增大.

(B)F1先增大后减小.

(C)F2逐渐减小.

(D)F2先增大后减小.

解析:本题是动态平衡问题,设OA与水平方向(向左为正)的夹角为θ,随着θ的增大,两绳拉力的大小和方向都在变化,可用函数的方法求解,这里尝试利用图解法．注意到两绳夹角等于120°,如果两力大小相等,其合力大小必等于这个相等的值F、方向平分∠AOB．这样就可以把两绳拉力的合力等效成沿平分线上的F和多出来的部分ΔF,从而转化成一个F、ΔF和重力G的3力平衡问题,力的矢量合成三角形如图7(a).

图7

当θ<30°时,由图7(a)知F2>F1且F2=F1+ΔF．随着θ的增大,F和 ΔF的夹角不变,其对边mg大小不变;夹角不变很容易使人想到圆的一条弦对应的圆周角不变,F2为两边之和又使人想到椭圆模型,综合考虑,前文椭圆的辅助圆是一个尝试的方向．将F延长ΔF的长度,刚好得到F2(F+ΔF),如图7(b)．利用易化物理软件[2-3]作出力的动态矢量三角形,如图8(a)．

当30°<θ<75°时,由图8(b)知F2