基于辐射传输方程的低损耗介质微波介电常数反演

王志明，杨莹，吴世红，许刚，李静

交通运输部 天津水运工程科学研究所，天津 300456

0 引言

在过去10年中，随着各种星载微波传感器的推出，微波遥感能够在全球范围内精确监测地球系统的许多要素[1]。其中，微波可以穿透大气、云和雨[2]，同时，微波遥感不需要太阳作为光源，对植被特征、土壤含水量和积雪特征的变化相当敏感，因此，微波遥感被广泛用于监测和反演全球表面参数，如雪和植被等[1]。微波传感器接收的信号是被测物体介电常数的函数，这使得研究物体的介电常数成为微波技术应用的基础工作，并成为提取微波图像信息的关键[3]。

微波介电常数是分析和研究电磁波与介质物理特性之间相互作用的重要参数[2]。目前，已经有许多测量介质微波介电常数的方法。Courtney用谐振技术测量了非磁性材料的复介电常数[4]；Roberts和Von Hippel开发了仅需要弱振荡器和少量材料的“空心管”方法，来估算介质的介电常数[5]；Staebell采用开放式同轴线探针实验技术来测量微波频率下材料的介电常数[6]；张金标和邵方武改进了Roberts算法的相位评估，明显提高了介质介电常数的测量准确性[7]；Zhao et al.采用波导终端短路法，测量具有不同介电损耗介质的复介电常数[8]；陈定一等使用相同的方法，测量湿土的介电常数，并构建了半经验介电模型以评估不同体积含水量土壤的介电常数[9]；陈秉钧等改进了介质介电常数反演模型中的拟合系数，采用开放式波导方法直接接触被测介质[10]；Hallikainen et al.通过使用波导技术和自由空间天线技术，研究了正常和负温度条件下砂壤土和粉质黏土的介电常数[11]；张俊荣等用自由空间法，提供了典型物体微波介电常数的原位测量技术[12]；李丽英等使用Agilent微波网络分析仪和同轴探针法，分析在0.2～20.0 GHz频率范围内具有不同体积含水量的土壤的介电常数[13]；吴昌英等提供了一种测量介质复介电常数的新器件，通过增加器件上下板之间的短路来提高其精度，从而阻止辐射损耗。

然而，这些方法仅适用于具有强损耗正切的介质，不适用于低损耗介质。这些装置和测量方法对强损耗介质介电常数实部的测量结果较为精确[14]。目前，很少有方法以可靠的精度评估介电常数的虚部，特别是对于低损耗介质，例如干砂和土壤。如何有效地获得低损耗介质的介电常数成为当前微波遥感应用的基本问题之一。

在微波遥感领域，低损耗介质的观测亮温受到温度分布、介电常数、表面粗糙度和厚度等参数的严重影响，其中包括实部和虚部，介电常数是亮温的决定性因素[2]。因此，笔者引入并改进了被动微波辐射传输方程，以构建低损耗介质的物理参数与观测亮温之间的关系；通过严格控制实验条件，包括物理温度、厚度和表面粗糙度，观察亮温将直接介质的介电常数相对应；利用测量的微波亮温，可以使用被动微波辐射传输模拟来评估介质的反射率和吸收系数；最后，通过数值解来评估低损耗介质介电常数的实部和虚部。本研究的目的是提供一种新的有效方法来估算低损耗介质的微波介电常数。

1 改进的辐射传输方程

辐射传输模拟是将观测亮温与介质的物理参数相关联的有效工具，包括介电常数的实部和虚部。

1.1 两层介质的辐射传输模拟

对于双层介质(图1)，基于二流近似原理[2, 15]，微波辐射计以角度θ0观测的微波亮温TB包括来自介质1的辐射TB1和来自介质2的辐射TB2。TB1还包括其上行辐射T1up和下行辐射T1dn。其表达式为：

TB=TB1+TB2=T1up+T1dn+T2up

(1)

图1 双层介质模型的微波辐射模拟Fig.1 Radiation transfer simulation in two-layer medium

其中：

(2a)

(2b)

(2c)

式中：参数d是介质1的厚度；θ1和θ2分别是介质1和介质2中的入射角；p=h，v，其对应于水平和垂直极化；T(z)是介质的温度分布；rp1是空气--介质1界面的有效反射率；rp2是介质1和2界面的有效反射率。

ka1(z)、ka2(z)分别是介质1、2在深度z中的吸收系数，它们分别是介质1和介质2介电常数ε1(z)、ε2(z)的函数。对于低耗损介质，该参数可以表示为[16--17]：

ka1(z)=2k″(z)

(3)

其中：

(4)

式中：f是微波辐射计的频率；μ1是磁导率；εa是真空的介电常数；ε1(z)是介质的相对介电常数，又可表示为ε1(z) =ε1′(z) +iε1″(z)；ε1′(z)是相对介电常数的实部；ε1″(z) 是相对介电常数的虚部。

(5a)

(5b)

式(2)中，L的表达式如下：

(6)

表达式1 /(1-L)表示界面1和2之间的多次反射。

1.2 改进的辐射传输方程

公式(2)至(6)表明微波辐射计观察到的亮温受温度分布T(z)、介电常数分布ε1(z)、介质1的表面粗糙度和厚度d等参数的影响。然而，观测条件是可以严格控制的，如，入射角θ1和θ2设定为0°，表面布置尽可能平滑(表面RMS高度远小于观察波长)，温度分布T(z)和介电常数分布ε1(z)设置为均匀介质，即设置为常数T0和ε1，不随深度变化。此外，极低温材料如液氮可以用于介质2，产生的效果是：介质2没有微波热辐射。

那么公式(2)可以改进为：

=(1-rp1)T0(1-e-ka1d)/(1-L(d))

(7a)

=(1-rp1)rp1T0e-ka1·2d(eka1d-1)/(1-L(d))

(7b)

对式(7)进行数学积分，结果为：

(8)

观测到的亮温与介质1的物理参数之间的关系就可以用等式(3)、(4)、(5)、(6)和(8)直接构造。

2 介电常数的反演模型

在公式(8)中，TB(d)是由微波辐射计的测量亮温。物理参数T0和d可以在微波辐射计观测时测量得到。亮温和介电常数之间的关系由公式(8)直接构成。然而，在等式(8)中存在两个未知参数rp1和ka1。因此，介质1的介电常数的反演将对非线性方程的求解，可能导致所谓的“病态”问题[1,2,18]，即:相同的亮温对应于不同的rp1和ka组合，因此公式(8)的解是不确定的。

为了避免这个问题对求解微波辐射传输方程的影响，需要至少两次观测。本研究中，进行了3次观测。因此，每次观测对应的模拟结果都可以表示为：

(9a)

(9b)

(9c)

式中：TB(di) (i=1, 2, 3)为厚度为di时的观测亮温。

因为未知参数ka1以指数形式出现，且rp1也是待求解量，因此公式(9)没有解析解。为了解决这一问题，引入Gauss--Seidel算法，通过多次迭代以得到解析解，最终，基于公式(9)估计介质的吸收系数ka1和表面反射率rp1。

由公式(3)和(5)推导出本研究给定条件下的公式(10)和(11)，用基于上述计算得到的rp1和ka1，计算得到介质1的介电常数的实部ε1′和虚部ε1″。

(10)

(11)

式中：ε1′可以由公式(10)来计算，通过公式(11)可以求解ε1″。这样介质1的介电常数反演模型就构造完成。

3 实验验证

在本研究中，根据需求设计了测量低损耗介质介电常数的装置。

3.1 实验装置

1.微波辐射计；2.电源线；3. 聚四氟乙烯板；4.不锈钢板；5.泡沫板；6.吸波材料；7.液氮； 8.泡沫板；9.不锈钢板；10.泡沫板；11.数据线。图2 实验装置示意图Fig.2 Schematic diagram of experimental device

实验装置包括微波辐射计、观测介质微波发射的辅助设备和容器(图2)。微波辐射计有L、S、K和Ka 4个波段(由中国科学院东北地理与农业生态研究所赵凯研究员提供)。观测角度为0°，辐射灵敏度约为0.5 K。辅助设备主要由不锈钢板、泡沫板和聚四氟乙烯板组成。不锈钢板用于保证微波辐射计观测到的辐射只来自介质，泡沫板应足够厚以保持介质的体积温度，聚四氟乙烯板用于阻止温度极低的底层液氮对介质温度的影响。

辅助设备放置在较大的容器中，该容器的组成材料与较小的容器相同。唯一的区别是，较大的容器由一层吸波材料包裹，用于防止其他来源的辐射污染。将液氮放入较大的容器中，将待测介质放入较小的容器中。

3.2 数据采集

在实验前，待测介质应在干燥和温度恒定的环境中保持24 h或更长时间，这样可使介质保持均匀的体温度，然后按以下步骤操作：①将液氮倒入较大的容器中；②较小的容器放在较大的容器中(图2)；③将一定量的介质加入较小的容器中，并将上表面加工成光滑的，从微波辐射计读取亮温TB(d1)，测量介质的厚度d1和物理温度T1；④再执行相同的步骤两次，读取并记录对应的TB(d2)、d2、T2和TB(d3)、d3、T3。

3.3 低损耗介质的介电常数反演

本研究选取模拟月壤作为低损耗介质。模拟月壤是真实月壤的地球化学复制品，它具有与月壤相同的矿物组分、化学成分和物理性质，在探测月球资源和未来建立月球基地方面发挥着重要作用[19]。模拟月壤的原料是吉林省辉南县金川镇收集的新生代玄武岩火山渣，其成分和矿物组分与阿波罗14号采集的月壤样品相近[20--21]。

为了获得均匀的体温度，将模拟月壤置于干燥且温度恒定的室内48 h，室温保持在27℃。然后在相同的环境中，通过设计的实验装置观测不同厚度的模拟月壤的微波辐射亮温。结果如表1所示。

表1 实验中亮温(TB)和厚度(d)的测量结果

Table 1 Measured results of temperature (TB) and thickness (d)

厚度/cm亮温/K3.73167.207 26.36189.765 68.00197.857 2

结合测量结果，可以使用Gauss--Seidel迭代算法，通过公式(9)计算介质的吸收系数和反射率；用公式(10)和(11)计算介电常数的实部和虚部。在本研究中，介质相对介电常数的计算结果为，实部约为3.586，虚部约为0.072 5。

为了验证反演结果，与北京师范大学通过安捷伦微波网络分析仪和同轴探针法测量的介电常数进行比对。北京师范大学测得的相对介电常数约为3.574 + i 0.278 2，表明两种方法反演的介电常数的虚部相差较大，而介电常数的实部与本实验的结果几乎相同，因此，本研究设计的模型用于反演介质介电常数的实部是可行的。

此外，模拟月壤的损耗正切角很小，也就是说，介电常数的虚部应该相当低。但北京师范大学估计的虚部比本文的结果要大得多，哪种方法对于低损耗介质虚部的计算更加合理，需要进一步讨论。

本研究收集了阿波罗14号月壤样品的检测结果，其平均介电常数约为4.705 3+ i 0.072 9[16]。这里，实部与本研究的结果相差较大，而虚部几乎相同。这表明该方法获得低损耗介质介电常数的虚部也是可靠的。

4 结论

(1)改进了辐射传输方程，构建了介质的物理参数与其微波亮温之间的关系；利用改进的辐射传输方程，在严格控制的实验环境条件下，构建和设计了低损耗介质微波介电常数的反演模型。

(2)利用所设计的实验装置和制作的模拟月壤，进行了低损耗介质微波介电常数的反演研究。所得到的微波介电常数，实部与北京师范大学提供的结果接近，虚部与阿波罗14号月壤的平均测量值接近，说明使用该方法反演的低损耗介质微波介电常数是可靠的。