直观教学法在复变函数课程教学中的应用

杨娟 冯庆江

摘 要：介绍了直观教学法，并给出了几何直观法、类比直观法、反例直观法等直观教学法在复变函数课程教学中的具体应用。

关键词：直观教学法;复变函数教学;应用

中图分类号：G642

Abstract：The intuitive teaching methods were introduced， and then they were presented with examples the intuitive teaching methods used in teaching operations research： geometric intuition， analogy and intuitive method， counter-example method intuitive visual teaching method.

Key words：Intuitional teaching method;the teaching of complex function;Application

1 绪论

目前，高校数学的教学普通存在以下四种情况：第一，定义+定理或性质+例题或应用的模式，且目前高校数学教材的编写基本也都是这个模式;第二，认为数学很抽象，强调数学专业知识的严密性、数学理论的抽象思维性，从而淡化了数学的通俗性及实用性。第三，认为数学无实际用处，尤其是非数学专业的学生更觉得如此，他们觉得学大学数学的一些课程就是为了拿到一定的学分，只要对自己以后的发展没有影响或者影响不大就行;第四，觉得学习数学是件很痛苦的事情。复变函数课程作为大学数学中的课程之一，同样存在上述一些情况。虽然复变函数课程的学习是以数学分析或高等数学课程为基础，但是他们之间又有很大差别，因为复变函数的抽象性和逻辑性远超数学分析和高等数学。那么怎么利用直观教学法去激发学生的学习积极性呢？从而提高他们的学习效率呢？这是复变函数课程教师需要解决的问题。

2 直观教学法

直观教学法指教师通过实物、直观的教具、计算机多媒体演示、组织教学性参观等一些活动，使学生利用他们的各种感官直接感知客观现象或事物从而获得知识的方法。直观是为了帮学生获取必要的感性经验，以便他们能形成科学的概念，不能为直观而直觀。在教学的过程中，要尽可能地引导学生多种感官的参与，要尽一切可能将抽象的数学结论与直观的形象建立起联系，还根据教学的需要，运用各种不同的直观教学的形式，比如实物直观法、模型直观法、语言直观法、图像直观法等等。把复杂的问题简单化、直观化、形象化后再传授给学生。

3 复变函数课程教学中直观教学法的应用举例

复变函数教学中究竟应怎样体现直观教学法呢？要达到较好的教学效果，要把握直观教学法的基本理念并且结合复变函数课程的特性，选择各种直观形式，深挖相关概念产生的理论、经验与背景。

3.1 几何直观法在教学中的举例

几何直观法指结合抽象的数学语言与直观图形，展现问题的本质。而我们通常说的数形结合的思想指的就是代数问题与图形之间得密切关系，并且它们二者之间常互相转化，相互渗透。

例如在引入复平面时，我们在“数”和“点”之间建立了联系，因此以后我们常可借助于几何直观

来研究复变函数的一些内容。比如讲解复数的加法运算和减法运算时，我们可以分别借助于以下几何图形（图1、图2）来解释复数的加法运算和减法运算。

在复变函数课程的教学中，后面的很多章节都用到了几何直观教学法，我在这里就不一一例举了。

3.2 类比直观法在教学中的举例

当然类比教学法的教学案列还有很多，比如数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式和复变函数里的牛顿-莱布尼茨公式的类比，复积分的定义和实函数的线积分的定义的类比，泰勒展式与洛朗展式的类比等等。

3.3 反例直观法在教学中的举例

复变函数是实函数在复数域内的推广，其很多概念、定义与数学分析课程或者高等数学课程类似，但也有原来的某些结论和性质不再成立。因此在复变函数的教学过程中，我们既要引导学生注意复变函数与数学分析课程或高等数学课程之间的相互联系，又要说明复变函数课程与这两门课的本质差异，通过反例直观法让学生更清楚地理解复变函数中的某些内容的实质。但是学生在刚学复变函数时也会经常与实数范围的概念混淆。

例如我们非常熟悉的数的开方问题。计算3-8。在教学过程中，学生往往只求出它的一个根是-2（在实数范围内，确实是3-8=-2），而忽略了其余两个根1+3i和1-3i。这是因为nz表示的是方程wn=z的根w，即w=nz，当z的值不等于零时，就有n个不同的w与其对应，因此nz表示n个不同的根。又如，在实函数论中，找到一个处处连续且处处不可微的函数是较困难的。而在复函数论中，找到一个处处连续且处处不可微的函数是很容易的。比如f（z）=z-在复平面上处处不可微，又如，f（z）=Rez，f（z）=Imz在复平面上也是处处不可微的。通过反例直观法引入反例，使学生对复数范围内易混淆的理论有了更深的认识和理解。

4 结论

本文结合作者在复变函数课程教学中的多年经验，讨论了直观教学法在复变函数课程中的应用，并给出了直观教学法的具体实例。如果在教学过程中教师能对抽象概念进行直观解释，并且通过具体的例子进行解释，这样就有利于学生正确理解所学新知识。通过教学实践，表明直观教学法能提高学生学习复变函数课程的兴趣、增进学生对其基本理论的理解，提高学生的学习效率，改善教学效果。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]杨立敏.重视直观性教学法在高等数学中的应用[J].大学数学，2013，19（2）：34-37.

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[4]张艳霞，汪忠志.几何直观教学法在高等数学教学中的应用[J].安徽工业大学学报（社会科学版），2008，25（2）：137-138.

[5]曹月波，吴昭君，田宏根.复变函数教学中直观性原则应用的思考与实践[J].数学教育学报，2011，20（6）：86-88.

基金项目：贵州省科技厅、黔东南州科技局、凯里学院科技合作计划项目（黔科合LH字[2017]7166号）

作者简介：杨娟（1982-），女，硕士，副教授，研究方向：复分析、非线性数学物理方程。