均布扭力矩作用下圆截面圆环的稳定性分析1)

李道奎 刘军虎 周仕明

∗(国防科技大学空天科学学院，长沙410073)

†(北京航天长征飞行器研究所，北京100076)

在2017 年第十一届全国周培源大学生力学竞赛初赛试题[1]的第(13)题中，要求计算均布扭矩m作用下圆截面圆环(如图1所示，圆环半径为R，横截面半径为r，且r≪R)横截面上的内力最大值，在所给出的解答[2]中，根据截面内力(合弯矩M)与扭转角φ之间的关系，当φ=π时取得最大内力。本文作者[3]也曾给出相同的结果，其实都是在不考虑稳定性的条件下得到的，没有讨论系统是否可以达到这一状态。黄志龙[4]曾对均布扭矩作用下任意截面圆环的稳定性及分岔进行了分析，但没有讨论其变形及内力的计算等问题。

本文在文献[3]得到的圆截面圆环在均布扭力矩作用下总势能表达式的基础上，推导出圆环的平衡路径，并根据系统稳定性的能量判据[5]，对圆截面圆环在均布扭力矩作用下的平衡稳定性、变形与运动过程进行分析，进而得到稳定平衡状态下圆环横截面上的内力最大值。

图1 均布扭力矩作用下的圆环

1 系统的总势能与平衡路径

圆环在均布扭力矩作用下的总势能等于应变能与外力势能之和[3]，即

式中，E为圆环材料的弹性模量，I=πr4/4为圆环横截面对形心轴的惯性矩。

由最小势能原理

将式(1)代入式(2)，再由δφ=0可得

根据式(2)，图2 画出了均布力偶载荷m随横截面的转角φ的变化关系。从图中可以看出，当0φπ/2 时，m随着φ的增大而增大；当π/2φπ时，m随着φ的增大而减小。这也就是说，当φ=π/2时，m取得极大值，mmax=EI/R2。下面用能量法对变形过程的稳定性进行分析[5]。

图2 均布扭力矩m 随横截面的转角φ 的变化关系

2 系统的平衡稳定性分析

将式(3)两边对φ求导两次，得

(1)当0φ <π/2 或3π/2< φ2π 时，系统的平衡状态是稳定的。

(2)当π/2< φ <3π/2 时系统的平衡状态是不稳定的。

(3)当φ= π/2 或φ= 3π/2 时，必须进一步判断将式(4)两边再次对φ求导得

当φ=π/2时当φ=3π/2时系统的平衡状态都是不稳定的。

3 圆环的变形与运动过程分析

根据以上讨论可知，随着横截面转角φ的增大，平衡状态的稳定性是在发生变化的。在载荷m的作用下，其变形与运动过程是这样的。

(1)当0φπ/2时，m随着φ的增大而增大，此阶段的平衡状态是稳定的。

(2)当φ= π/2 时，m取得极大值，mmax=EI/R2，此时平衡状态是不稳定的，圆环将失稳翻转，即文献[5]中所谓的跳跃。翻转过程中如果保持mmax不变(或继续增大)，将会直接跳跃到φ=5π/2时的C点。

(3)当π/2<φπ，此阶段若因施加某种约束，使得翻转过程很缓慢，m随着φ的增大而减小，圆环也有可能在某个位置处于平衡状态，如m=m0的E点，但这个平衡状态将会是不稳定的，微小扰动下将会直接跳跃回到D点。

(4)当π< φ2π，此阶段相当于反向加载的情况，若从φ=2π处反向加载至B点，将会直接跳跃到φ=−π/2时的G点，这里就不再仔细分析了。

4 圆环横截面上的内力最大值

圆环横截面上的合弯矩为[2-3]

根据以上分析可知，在没有施加其他约束的情况下，截面的转角φ不能达到π，而是在达到π/2时圆环就将翻转。因此，截面内力的最大值是在φ=π/2时达到的，即

而不是文献[23]中给出在φ= π 时的Mmax=2EI/R。

需要说明的是，翻转过程中尽管也会存在φ=π的状态，但此状态转瞬而过，可以不考虑其受力情况。

5 结论

本文在文献[3]得到的圆截面圆环在均布扭力矩作用下总势能表达式的基础上，推导得到了圆环的平衡路径，并根据系统稳定性的能量判据，分析了圆截面圆环在均布扭力矩作用下的平衡稳定性、变形与运动过程，得到了稳定平衡状态下圆环横截面上的内力最大值。主要结论如下：

(1) 均布扭力矩作用下圆截面圆环的平衡状态，在扭转角φ∈[0,π/2)或φ∈(3π/2,2π]时是稳定的，在φ∈[π/2,3π/2]时是不稳定的；

(2)当φ=π/2时，扭力矩取得极大值，圆环将失稳翻转；

(3)当φ=π/2时，圆环横截面上的内力达到最大值，且直接根据内力表达式得到的最大内力(在φ=π时)因圆环失稳而不存在。