线电荷与带有低脊的接地导体薄圆筒所形成的电场及其数值模拟（上）

王福谦

（西南交通大学希望学院，成都610400）

0 引 言

文献［1-8］中分别运用镜像法和保角变换分析了接地薄圆筒内线电荷的电场，而线电荷与带有低脊的接地导体薄圆筒所形成的电场的研究，相关文献还未见报道。为此，本文拟通过保角变换讨论线电荷与带有低脊的接地导体薄圆筒所形成的电场，给出其电势分布函数，并利用数学软件Matlab对场分布进行数值模拟，绘制出电场线和等势线（面）图。

1 电势分布

图1 带有低脊的薄圆筒与线电荷的横截面

图2 变换后的薄圆筒与线电荷的横截面

为计算简便计，本文具体计算线电荷与带有一条低脊接地导体薄圆筒所形成的电场（图略），即低脊的数目n＝1，与此相应的变换函数式（1）可写为：

上式将z平面上线电荷的位置的z0＝x0＋jy0，变换为w平面上的w0位置，该位置由式（2）给出：

再作将单位圆变换为单位圆并把荷电线所在位置变换在圆心的分式线性变换［10］

经此变换后，带有一条低脊接地导体薄圆筒的横截面在ζ平面上的形状映射为圆形，且荷电线位于圆心上，如图3所示。

图3 再变换后的薄圆筒与线电荷的横截面

对与图3对应的无限长的圆柱形区域，电场的分布具有轴对称性，而在ζ平面上r＝1的圆周上各点的电势均为零（因在z平面上圆筒接地）。由此可得该区域内的电势分布为：

式中，r为观察点到ζ平面原点的距离。由ln（ρeiφ）＝ln ρ＋ iφ 知，ln＝ln r，则可知ζ 平面上静电场的复势为：

设复函数z＝x＋iy，则ζ（z）＝ ξ（x，y）＋ iη（x，y），由式（2）、（3）得

由式（7），该静电场的复势式（6）可表示为：

式（9）为线电荷与带有一条低脊的接地导体薄圆筒所形成电场的电势分布解析式。

2 场分布的数值模拟

为了给出线电荷与带有一条或多条低脊的接地薄圆筒导体所形成电场的电场分布直观图像，并检验本文研究结果的正确性，下面通过式（1）、（3）及（8），利用数学软件Matlab［12-16］绘制出的线电荷与带有低脊的接地薄圆筒导体所形成电场的电场线等势线（面）图。

图4～7为接地导体薄圆筒内低脊的数目分别为1、3、4和5时，线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场的电场线等势线（面）图。由图可见，圆筒内表面上的低脊的数目越多，高度越大，对电场的影响越大；电场线垂直于导体表面和等势线；以上的场线分布特征均科学合理［12］，为预期结果，这说明本文的研究方法正确，结论可靠。应该注意的是，变换函数式（1）仅适用于低脊的间距较大且其高度很小的情形，当低脊的数目过多，以至于相邻低脊间的距离很小，或低脊的高度较大时，均不能应用本文给出的方法进行研究，也即，本文的研究方法仅适合于低脊的间距较大且高度很小的情形。特别的是，当低脊消失时，其内部的电场分布又回到线电荷与接地薄圆筒所形成电场的情形［3］（见图8）。

图4 线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场（λ＝2.6 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.5 m，a ＝0.1 m）

图5 线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场（λ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝ -0.15 m，a＝0.1 m）

图6 线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场（λ ＝ 1.5 C／m，x0＝ -0.1 m，y0＝0.2 m，a＝0.08 m）

图7 线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场（λ ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.25 m，a＝0.085 m）

图8 线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场（λ ＝2.5 C／m，x0＝ -0.3 m，y0＝ -0.4 m，a ＝0）

3 结 语

本文将理论分析与计算机数值模拟相结合，研究了线电荷与带有低脊的接地薄导体圆筒所形成的电场，给出其电势及场强分布的解析解，并利用Matlab软件对其进行数值模拟，实现了场分布的可视化，为边界复杂的静电场边值问题的求解提供了一种思路与方法，可供电线电缆中相关问题的研究借鉴和参考。