在数学教学中培养学生建模意识

茅静

数学模型是现实、数学与应用之间的桥梁和纽带，是实现数学问题解决的重要手段。从某种意义上说，数学教学就是数学模型的建构教学，数学原理、法则、定律等都可以看成是广义的数学模型。在数学教学中，教师要引导学生从已有知识经验出发，将现实原型抽象、概括成数学模型并自觉地解释与运用。那么，在数学教学中，如何培养学生的数学建模意识呢？

一、提炼生活经验，借生活事理建模

生活是学生数学建模的源头活水。建构数学模型，可以从学生生活中来，通过提炼学生生活经验，借助生活事理，引导学生从生活原型过渡到数学模型。可以看出，数学模型是一种为了特殊目的而对现实世界所作的一个抽象化数学结构。建立数学模型的过程即为数学建模，其过程是用数学语言对实际问题进行抽象概括。教师在数学建模教学中，要选取典型的、适恰的、鲜活的素材作为基本内容，引导学生进行提炼、抽象、概括。

如教学“运算律”时，教师就可以从学生所熟悉的生活事例出发，引导学生用不同的思路解决问题，从而建构出运算律的数学模型。比如教学最为简单的加法结合律，教师可以设置这样的情境：有28名男生跳绳，有17名女生跳绳，有23名女生踢毽子，跳绳和踢毽子的一共有多少人？在解决问题时，教师引导学生说出列式的根据，也即生活事理。比如可以先算出有多少名学生跳绳，再算出跳绳和踢毽子一共有多少人;也可以先算出有多少名女生，再算出跳绳和踢毽子的一共有多少人。不同的思路产生不同的算法，不同的算法表征出不同的生活事理。在对生活经验的提炼、抽象、概括中，教师引导学生完成从生活事理到数学算理的嬗变，从而引导学生建构“加法结合律”。

二、激活经验储备，在迁移类比中建模

学生的数学建模需要激活经验储备，激活学生的经验储备，能让学生在数学建模过程中积极迁移。教师要引导学生提取原初经验，让学生的经验获得再生，从而发挥其活性作用。学生数学建模的过程是与数学活动经验的获得过程相契合的。正如结构主义教育心理学家奥苏贝尔所指出的：迁移现象普遍存在于人们的活动中，凡有学习的地方就会有迁移。数学知识、数学技能乃至数学思想方法，都具有类比、迁移的功用。教师要为学生创造类比、迁移的条件，赋予学生充分的活动时空、条件，助推学生的数学建模。

如教学“梯形的面积”，教师应当充分运用学生的平行四边形面积活动经验、三角形面积活动经验，引导学生自主建模。首先，教师可以激发学生的建模猜想：可以用怎样的方法探究梯形的面积？于是，有学生会说出思路，比如转化成已学的图形的面积，即将梯形转化成平行四边形加三角形，或转化成长方形加三角形等;有学生会说出方法，比如剪拼法、分割法等。在建模猜想的基础上，笔者给学生提供数学实验素材，比如两个完全相同的梯形，比如直尺、剪刀等。如此，学生根据自己的猜想，借助教师提供的材料，展开积极的类比性、迁移性探究。比如将梯形沿着对角线分割成两个三角形，比如用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，比如将梯形剪拼成一个长方形，等等。笔者充分运用学生先前获得的认知结构、建模经验，为学生运用迁移规律进行学习、探究创设适宜的时空条件，学生从既有的数学知识、活动经验、思想方法中类比迁移、衍生概括出梯形面积的模型，这个过程是生动的、有意义的。

三、引领抽象概括，在数学活动中建模

数学模型的建构离不开学生的数学活动，同时数学模型的建构又有利于积累学生的数学活动经验。在数学模型建构过程中，教师要引导学生充分活动，让学生在活动中建立表象。在这个过程中，教师要提炼学生的活动经验，引领学生进行抽象概括，让学生在数学活动中建构数學模型。

比如教学“长方形的面积”，笔者给学生提供结构性的实验素材，引导学生进行数学操作，助推学生建构长方形面积计算模型。操作活动分为三个层面：首先让学生用边长为1厘米的小正方形铺满较小规格的长方形，计算长方形的面积，引导学生认识长方形的面积就是所有小正方形的面积之和，小正方形的面积就是小正方形的个数。其次，让学生用边长为1厘米的小正方形铺较大规格的长方形，这时，小正方形不够铺满整个的长方形，但能铺满几行、几列，据此激活学生的数学猜想：小正方形的总个数可以用每行小正方形的个数乘小正方形的行数，也就是长方形的面积可以用长方形的长乘宽。最后教师组织学生小组合作进行验证。当学生小组之间展开合作时，就会发现他们能铺满给定规格的长方形，从而对小组中关于长方形的面积计算模型进行验证。在合作拼摆的过程中，有的小组成员负责拼摆，有的小组成员负责记录，有的小组成员负责计算个数，等等。通过数学活动，学生自主建构长方形的面积计算模型。

在活动过程中，教师要精心设计，引导学生逐步对数学活动进行抽象概括，感悟数学思想方法。数学建模不仅能帮助学生积累数学活动经验，还能让学生感受、体验到数学建模方法，增强学生的数学建模意识。（作者单位：江苏省南通市竹行小学）

责任编辑：胡波波