皮亚诺型余项在函数幂级数展开时的巧用

洪丽君 刘金灵 洪晓春

[摘要]本文使用几个实例阐述了皮亚诺型余项的重要性，说明在对函数进行幂级数展开时，巧妙使用皮亚诺型余项证明泰勒公式余项的极限为零极为简洁，此方法对部分函数非常实用

[关键词]皮亚诺型余项;幂级数;泰勒公式余项;泰勒级数

[中图分类号]0173.1 [文献标识码]A [文章编号]2095-3437（2020）05-0074-03

级数理论是分析学的一大分支，它与另一大分支微积分学作为基础知识及工具出现在其余各分支中，二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两方面，结合起来研究分析学的研究对象一一函数.级数是研究函数的重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，原因是，一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数;另一方面又能将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。

文献[1]研究了在高等数学的学习中，可以利用级数展开法将比较复杂的变系数微分方程转化为一组线性代数方程进行研究，是一个很好的办法.文献[2]研究了在高等数学学习中，针对无穷级数章节，剖析了学生学习困境产生的原因，然后从“教”与“学”两个方面，给出了帮助学生摆脱困境的策略.文献[3]使用级数等概念，对高等数学与中等数学的学习方法进行了对比研究分析，得出学习方法需要进行转换适应等结论.

文献[4]研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式在求极限以及判定极值方面的应用.文献[5]研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式在解决考研试题方面的应用.在分析学中，把函数在点Xo的邻域上展开成幂级数的方法在函数理论和实际计算中都很实用，可以用来判定函数在点x=xo处解析;而判断函数在点xo的邻域上能够展开成幂级数的关键，又是判断函数的泰勒公式余项在该邻域上的极限为零。本文重点讨论如何使用皮亚诺型余项来判断函数在点xo的邻域上能够展开成幂级数.

一、函数幂级数展开的理论

三、讨论

对于例1，为了证明泰勒公式余项Rn（x）在收敛域（-1，1]上的极限为零，文献[6，9]均使用拉格朗日型余项、柯西型余项进行分段证明.对于例2，为了证明泰勒公式余项Rn（x）在收敛区间（-1，1）内的极限为零，文献[6，8]均使用柯西型余项进行证明，文献[7，9]的证明过程更加复杂，虽然这些证明方法对同学们数学思维的训练会有提升，但因冗长，很多同学不易理解.我们使用皮亞诺型余项来证明，证法简洁，容易理解.

四、结论

本文使用3个例子阐述了使用皮亚诺型余项，证明泰勒公式余项Rn（x）在收敛区间（-1，1）内极限为零，非常简洁，同学们容易理解，同时可以节约大量时间，在教学中可以使用此方法进行教学。