代数基本定理的几种证明

李志国 邵泽玲 李志新

摘 要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。

关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。

1 代数学基本定理

任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。

证法一：（代数拓扑方法）

视S2=C∪{SymboleB@

}，f（z）可以延拓为一个连续映射：

F：S2=C∪{SymboleB@

}→S2=C∪{SymboleB@

};

F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@

）=SymboleB@

。

由此可知，只要证明0∈ImF即可。定义H：S2×I→S2如下：

H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，

SymboleB@

，z=SymboleB@

。

令F1（z）=anzn，z∈C

SymboleB@

，z=SymboleB@

，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。而degF1=n，所以degF=n，故F必为满射，所以0∈ImF，证毕。

证法二：（代数拓扑方法）

用反证法。设n次复系数多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复平面上无根。于是a0≠0，否则0是根。不妨设an=1。

r>0，规定fr（z）：S1→S1为

fr（z）=f（rz）/‖f（rz）‖

则r，fr～f0。而f0（z）=a0/‖a0‖，即f0是常值映射。于是fr零伦但是不难证明当r→+SymboleB@

时，fr（z）→zn。从而当r充分大时fr～hn。这里hn：S1→S1规定为hn=zn。它不是零伦的，因为（hn）π不是平凡同态.导出矛盾。

证法三：（微分拓扑方法）

因为limz→SymboleB@

f（z）=SymboleB@

，所以存在R>0，使得|z|R|f（z）|>|f（0）|，记K={z∈C|z|SymbolcB@

R}，则函数|f（z）|在K上的最小值必定在K内部的某点c取得，这时必有f（c）=0。否则，因为f将c点的一个开邻域U（不妨设UK）映成点f（c）的一个开邻域W，所以必有W中的某点w=f（z）使得|f（z）|<|f（c）|，但这与|f（c）|的最小性矛盾（如下图所示）。

证法四：（不动点理论方法）

不失一般性，可设an=1，令z=reiθ（0SymbolcB@

θSymbolcB@

2π），且令R=2+|a0|+…+|an-1|，在复平面上定义函数：

g（z）=z-f（z）Rei（n-1θ） |z|SymbolcB@

1，

z-f（z）Rz（n-1）|z|>1。

由g的形式，显然它是连续函数，考虑集合C={z||z|SymbolcB@

R}，它是平面上列紧的凸集。现在证明集合C对于g是不变集合。事实上，设|z|SymbolcB@

1，则：

|g（z）|SymbolcB@

|z|+|f（z）|RSymbolcB@

1+（1+|a0|+…+|an-1|）RSymbolcB@

1+1=2SymbolcB@

R

设|z|1，则：

|g（z）|SymbolcB@

|Rzn-f（z）||Rzn-1|=|（R-1）zn-（an-1zn-1+…+a1z1+a0）||Rzn-1|

SymbolcB@

（R-1）zR+|a0|+…+|an-1|R

SymbolcB@

R-1+R-2RSymbolcB@

R

由集合C对于是g不变集合，由Brower定理gC：C→C有不动点，设为z0，即g（z0）=z0，故：

f（z0）=0。

证法五：（近世代数方法）

首先假设f（z）是实系数多项式，并设n=2lm，m为奇数。（对l归纳证明）当l=0时，n为奇数，显然f（z）有一个实根，当然也是一个复根。假设l1，定理对l-1成立。由分裂域存在定理，存在f（z）的分裂域Ef包含f（z）的所有根α1，α2，…，αn-1，αn，任取一實数r，并令βij=αiαj+r（αi+αj）（i

i，jSymbolcB@

n），共有n（n-1）2=2l-1m个。

作多项式g（z）=Πni，j=1i

某对i，j，使得βij（1）=αiαj+r1（αi+αj）;βij（2）=αiαj+r2（αi+αj）都是复数，因此可得αiαj，αi+αj也都是复数，从而αi，αj也都是复数。这就证明了实系数多项式f（z）至少有一个复根。

其次，如果f（z）不是实系数多项式，设f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0，令f1（z）=a-nzn+a-n-1zn-1+…+a-1z1+a-0，则F（z）=f（z）f1（z）是实系数多项式，由第一步的结论可知α至少有一个复根α，即f（α）f1（α）=0;若f（α）≠0则f1（α）=0，从而f1（α）=f（α-）=0，所以α-是f（z）的一个复根。

综上所述，定理得证。

2 结语

代数基本定理保证了多项式方程的根的存在性，证明历史由来已久，前人已对代数基本定理的证明进行了深入研究，然而利用各方面的知识探讨该定理的证明仍是十分有意义的，本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。反映出现代数学的各个分支相互渗透，相互融合也提现了数学的统一观。

参考文献：

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[2]尤承业.基础拓扑学讲义[M].北京：北京大学出版社，2005.

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[5]胡冠章.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，1999.

[6]刘红玉，霍东华.代数基本定理的几种证明[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2011（03）：1-2.

[7]孙艳红，高会双.代数基本定理的拓扑证明及推广[J].井冈山大学学报（自然科学版），2018，39（04）：17-20.

基金项目：河北工业大学教育教学改革研究项目（201903028）;河北省自然科学面上基金（A2019402043）

作者简介：李志国（1979-），男，汉族，河北磁县人，博士，讲师，拓扑学方向;李志新（1983-），男，汉族，河北邯郸人，博士，讲师，动力系统方向。

*通訊作者：邵泽玲（1977-），女，汉族，山东临沂人，博士，副教授，图论方向。