基于数学模型思想的绝对值三角不等式解题探究

陈香君 汤强

摘 要：数学模型思想是数学思想的重要组成部分，它体现了数学知识间的相互联系，从数学模型角度来研究绝对值三角不等式的题目，可发现很多题目是形变质不变，可用同一模型求解，从而降低了绝对值三角不等式题目的繁杂度，便于更灵活、系统地教学。

关键词：数学模型思想;绝对值三角不等式;解题研究

绝对值三角不等式内容在人教A版选修4-5教材中所占篇幅不多，但其兼具代数、几何的性质，且蕴含着丰富的实际意义，近年来在各种考试中成为炙手可热的一类考题;同时，由于绝对值三角不等式知识繁杂，题目灵活多变，不管是教还是学的过程，都存在很大的困难。因此，基于数学模型思想来进行相应的解题研究，将题目化繁为简是十分必要的。

一、 数学模型思想

目前关于数学模型思想的看法众多。有学者认为数学模型思想是能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中的一类问题的那种思想，也有学者认为数学模型思想是对于某种事物系统的特征或者是数量依存关系概括、近似表述数学结构的一类思想。

中小学数学教学中的很多概念、公式是从现实世界的原型中抽象出来的，是“现实”到“数学”的过程，即数学化的第一阶段。而高中学段，学生的认知能力有了很大的提升，能在数学内部进行更为抽象的推理，即数学化的第二阶段：“数学”到“数学”的过程。学生在学习绝对值三角不等式时具备这样的抽象概括能力，因此，运用模型思想在绝对值三角不等式数学知识内部进行学习、研究是学生经历数学化第二阶段的一个过程。

此外，渗透数学模型思想也为培养数学建模素养打下基础。数学建模素养能让学生体会到数学知识的现实价值，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。因此，数学模型思想对于中学阶段的学生而言应是一种基础而重要的数学思想。

二、 绝对值三角不等式解题模型分析

（一）|x-m|+|x-n|型

图1

f（x）=|x-m|+|x-n|（m

利用此模型可迅速找出f（x）=|x-m|+|x-n|（m

【例1】 （2018年全国卷Ⅱ理科第23题）设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|。

（1）略;（2）若f（x）≤1，求a的取值范围。

解析：此题即求使得|x+a|+|x-2|≥4成立的a的范围，由前分析可知f（x）=|x+a|+|x-2|的图像为“倒梯形”，其最小值为|（-a）-2|=|a+2|（当且仅当x=2时等号成立），所以f（x）≤1|x+a|+|x-2|≥4|a+2|≥4，解得a≤-6或a≥2。

模型应用1 （2012年高考数学陕西理科第15题）若存在实数a使|x-a|+|x-1|≤3成立，求实数a的取值范围。

（二）|x-m|-|x-n|型

当m>n时，f（x）=|x-m|-|x-n|的图像是以C（n，m-n），D（m，n-m）为折点的“Z字形”（如图2所示），在（-∞，n]恒取最大值m-n，在[m，+∞）恒取最小值n-m，在[n，m]单调递减;当m

利用此模型可立即得f（x）=|x-m|-|x-n|的折点，最大、小值，从而只需在对应可能的区间内求使得不等式成立的临界值即可。

图2

图3

【例2】 （2012年高考数学广东理科第9题）不等式|x+2|-|x|≤1的解集为？

解析：|x+2|-|x|=|x-（-2）|-|x-0|，其图像是“反Z字形”。x∈（-∞，-2]时恒取最小值-2，满足;x∈[0，+∞）时恒取最大值2，舍去;所以只需在区间（-2，2）上求满足条件的临界值即可，此时解析式为2x+2，即2x+2≤1x≤-12，综上，解集为-∞，-12。

模型应用2 （2017年全国卷Ⅲ理科第23题）已知f（x）=|x+1|-|x-2|，若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍。

（三）a|x-m|+b|x-n|型

图4

f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

（1）当a+b>0，图像两端向上无限延伸，折点处有最小值 min{f（m），f（n）};

（2）当a+b<0，图像两端向下无限延伸，折点处有最大值min{f（m），f（n）};

（3）当a+b=0，图像平行于x轴。

利用此模型可知f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

【例3】 （2007年高考数学海南理科第22题）设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|。

（1）解不等式f（x）>2;

（2）求函数y=f（x）的最小值。

解析：（1）f（x）=2|x+12|-|x-4|图像开口向上，两端无限延伸，f-12=-92<2，f（4）=9>2，因此，要使f（x）>2，只需在区间-∞，-12和-12，4上求满足条件的范围即可。x∈-∞，-12时，有-x-5>2x<-7;x∈-12，4，有3x-3>2x>53，故解集为（-∞，-7）∪53，+∞。

（2）最小值为minf-12，f（4），而f-12=-92，f（4）=9，故最小值为-92。

模型应用3 （2009年高考数学福建理科第21题）解不等式|2x-1|<|x|+1。

（四）|x-m|+|x-n|+|x-t|型

此类型题目求解一般会考虑绝对值三角不等式取等条件求使得最值成立的条件。各类取等条件总结如下表1所示。

利用此模型可将三项绝对值不等式转化为两项，并求得等号成立的条件，从而得到不等式的解集。

【例4】 已知函數f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|，设其最小值为g（a），求g（a）的最小值。

解析：若a≤1，则f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|+|x-1|≥3-a，当且仅当x-1=0，且（x-a）（x-3）≤0，即x=1时等号成立;

若1

若a≥3，则f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|+|x-3|≥a-1，当且仅当x-3=0，且（x-1）（x-a）≤0，即x=3时等号成立。

综上，g（a）=3-a，a≤12，1

【例5】 若不等式|x|+12x-1+|x-1|>m恒成立，求实数m的取值范围。

解析：由题2|x|+|x-2|+2|x-1|>2m恒成立，令y=2|x|+|x-2|+2|x-1|=|x|+|x-2|+|x|+|x-1|+|x-1|≥|x-（x-2）|+|x-（x-1）|+|x-1|≥2+1+0=3，当且仅当x（x-2）≤0x（x-1）≤0x-1=0，即x=1时等号成立，此时ymin=3，所以2m<3，所以m∈-∞，32。

模型应用4 解不等式|2x+1|-|x-2|<|x+3|。

（五）f（x）=∑nk=1|x-ak|型

f（x）=∑nk=1|x-ak|=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（a1

（1）若n=2k-1（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak-1）-（x-ak+1）|+|（x-ak）|=|（a1+a2+…+ak-1）-（ak+1+ak+2+…+a2k-1）|

当且仅当x=ak时取得最小值，其图像是以（ak，f（ak））为顶点的“V字形”;

（2）若n=2k（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak）-（x-ak+1）|=|（a1+a2+…+ak）-（ak+1+ak+2+…+a2k）|

当且仅当x∈[ak，ak+1]时取得最小值，其图像是以A（ak，f（ak）），B（ak+1，f（ak+1））为折点的“倒梯形”。

此模型求函数最值是运用绝对值三角不等式将多项绝对值放缩，消掉未知数，并求使得所有等号都成立的条件，从而求得最值。

【例6】 （2006年全国卷Ⅱ理科第12题）函数f（x）=∑19n=1|x-n|的最小值为？

解析：由题，原式即为：f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-18|+|x-19|≥|（x-1）-（x-19）|+|（x-2）-（x-18）|+…+|（x-9）-（x-11）|+|x-10|=18+16+…+2+0=90。

当且仅当（x-1）（x-19）≤0，（x-2）（x-18）≤0…（x-9）（x-11）≤0，且x-10=0，即x=10时等号成立，所以函数最小值为90。

模型应用5 函数f（x）=∑2011n=1|x+n|+∑2011n=1|x-n|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），求所有满足条件的互异整数a的值的和。

以上五类数学模型可用于很多绝对值三角不等式题目的求解。以绝对值三角不等式为例来探析数学模型思想只是冰山一角，同时，从数学模型思想来研究绝对值三角不等式也仅是一种角度，其他课题和思想、方法也应进行挖掘、体会。

参考文献：

[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016：216.

[2]凌密然，王娟娟.初中数学教学中数学模型思想的渗透[J].课程教育研究，2019（23）：154-155.

作者简介：

陈香君，汤强，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。