因式分解有妙方 化繁为简“换元法”

沈徐添

“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法。在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的。下面，我们谈谈因式分解中的“换元法”。

一、整体代换

例1 因式分解：a²（x-y）-b²（x-y）。

【分析】题目中出现了相同的因式x-y。我们可以将x-y看作一个整体，提取公因式，运用整体代换的方法。

解：a²（x-y）-b²（x-y）=（x-y）（a²-b²）=（x-y）（a+b ）（a-b）。

【点评】当题中出现相同因式，我们可以将其看作一个整体进行运算。为让式子更为简约，我们也可以在这道题中令u=x-y，变原式为a²u-b²u，那么下一步的提取公因式就更为明朗。这种方法我们称之为“换元法”。要注意的是，最终的结果不能写成u·（a+b）（a-b），要将换掉的“元”重新换回去，将结果书写为（x-y）（a+b）（a-b）的形式。

例2 因式分解：（x+y）²-4（x+y）+4。

【分析】题目中出现了相同因式（x+y），我们用整体代换，将x+y看作整体，令u=x+y。

解：令u=x+y，得原式=u²-4u+4=（u-2）²，即原式=（x+y-2）²。

例3 因式分解：（m²-3m+2）（m²-3m-4）+9。

【分析】本题如果利用整式乘法将两个多项式相乘，会得到一个四次多项式。高次多项式因式分解是比较困难的。我们可以看到题目中两个括号内也有相同因式m²-3m，利用换元法，令t=m²-3m。

解：令t=m²-3m，得（t+2）（t-4）+9=t²-2t+1=（t-1）²，即原式=（m²-3m-1）²。

【点评】本题利用整体代换达到降次目的，但要注意，最后将“元”换回去后，括号里的因式是否还能进行分解，如果可以，则要继续分解到不能分解为止。

二、平均代换

对于例3，有同学会疑惑：能将m²-3m+2看成一个整体进行换元吗？当然可以。那么m²-3m加上任意一个常數为新元可以吗？哪种换元法呈现出的因式最简洁？下面我们给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元。

这种方法消去了奇次项，使得因式具有“对称感”，从而利用平方差公式简化运算进行分解。

（作者单位：江苏省苏州外国语学校）