基于工程教育认证和泰勒原理的教学设计与实践——以数学建模竞赛培训课程为例

赵 波,高 飞,董永涛,杨 曼

(云南民族大学 电气信息工程学院,云南 昆明 650500)

人才培养分为人才培养模式的制定、课程体系的建设以及课程教学等多个层面.自从我国2016年成为《华盛顿协议》正式会员国以来，全国大部分高等学校工科专业都开始按照美国工程与技术认证委员会(ABET)制定的工程教育认证标准进行着人才培养模式等一系列改革.其中，许多学者从宏观、中观层面给出了符合工程教育认证标准的人才培养模式架构和课程体系建设的先进经验，但在微观层面，针对一门课程教学应该如何与工程认证相适应的探讨却不多见[1].

随着全国大学生数学建模竞赛的规模不断扩大，影响力不断上升，许多高校在本科生中相继开设了数学建模或建模竞赛培训课程[2-7].根据CNKI资源库的文献检索情况来看：在2015—2019年间与“数学建模教学方法”相关的文献就有115篇.说明许多教师都在对这类课程如何教学进行着积极地探索.国外也有部分专门探讨数学建模教学的文献，例如：Rose Mary Zbiek(2006)在“Beyond Motivation:Exploring Mathematical Modeling as a Context For Deepening Students’ Understandings Of Curricular Mathematics”一文中以如何在3个城市之间设立医药中心的选址案例，介绍具体教学的实现过程与细节，并分析整个过程对学生知识、能力和学习动机方面的影响，其中即描述了教师的教学方法(PBL)、教学组织过程.也讲述了学生在对案例问题的解决情况[8].Jon Warwick(2007)，在“Some Reflections on the Teaching of Mathematical Modeling”一文中通过学习组织行为的双循环案例，讲述建模课程教学的目标不是让学生掌握一种数学模型，或是一类问题的解决方法，更重要的是启发学生养成“在原问题上的拓展和深化”的思维习惯和研究动机[9].Marina V.Krutikhina(2018)在“ Teaching of Mathematical Modeling Elements in the Mathematics Course of the Secondary School”中用案例介绍了在中学数学课中如何讲授数学模型的思路和方法等[10].根据我们阅读到的文献，开设数学建模课程存在两种目的：一是为学习数学知识开设的数学建模课程；二是为数学建模竞赛开设的竞赛培训课程.开课目不同，课程教学设计也不同.对于第一种课程目的，教学设计是以讲授与建模案例相关的数学知识和方法为目的.对于第二种课程目的，教学设计主要围绕学生在竞赛中需要的元素进行，目的是完成赛题.总的来说，所有作者都认同数学建模课程对培养和提高学生综合能力、创新能力有很大的帮助.但具体在如何进行教学上讲述的细节不多，点到为止.

因此，本文按照ABET认证标准对学生应具备的能力要求，以及课程设计与教学的泰勒原理，对数学建模竞赛培训课程进行了教学设计与实践.

1 数学建模对学生能力培养的价值与作用

美国工程与技术认证委员会ABET的工程教育认证标准中对学生应具备的能力，规定了从(a)-(k)11项要求[11].即：(a)应用数学、科学和工程知识的能力；(b)设计、控制实验以及分析、诠释数据的能力；(c)设计一个能够满足政治、伦理、健康安全、可制造性和可持续性等诸多现实条件约束的系统、零件或程序的能力；(d)在跨学科团队中发挥作用的能力；(e)识别、建构和解决工程问题的能力；(f)对专业精神和道德责任感的理解；(g)有效沟通的能力；(h)具有宽广的知识储备，能够在全球性的经济、环境、社会背景中理解工程解决方案的影响；(i)对终身学习的重要性有明确认识，并具备终身学习的能力；(j)对当代重大问题的了解；(k)具备在工程实践中运用所需的各种技术、技巧和先进设备的能力.

全国大学生数学建模竞赛的问题涉及工业、农业、工程技术、医学、交通运输、管理科学和社会事业等领域，问题涉及到的知识和解题方法不仅仅局限在某一门课程或学生修读的专业范畴内.赛题的应用性和开放性强，往往需要学生(三人一组)根据问题置身于一个新的专业领域中去寻求解题的思路和方法.竞赛不以标准答案为依据，而是以合理的假设、创造性的模型、正确的结果和清晰的文字表述程度为评判标准，对学生提交的论文进行横向比较，对参赛者的创新实践能力和综合素质要求高.例如清华大学的姜启源教授在文献“一项成功的高等教育改革实践”中总结了数学建模竞赛对参赛者的五个有利于，即：“有利于综合运用数学和其他学科的知识以及计算机技术，通过数学建模分析、解决实际问题的能力；有利增强关心国家建设和社会发展的意识和培养理论联系实际的学风；有利于提高面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力；有利于掌握查阅文献、收集资料、调查研究的方法及提高撰写科技论文的文字表达能力；有利于增强团结合作精神和提高协调组织能力；有利于培育诚信意识和自律精神”[12].数学建模过程要求学生至少具备ABET中的(a)、(b)、(d)、(e)、(g)、(k)六种能力[2-7,12].因此，开设数学建模或数学建模竞赛培训课程对培养工程教育认证下的学生能力具有积极和重要的意义.

2 泰勒原理与数学建模竞赛课程教学目标设计

拉尔夫·泰勒(Ralph Tyler)1949年提出的：制定任何课程及教学计划必须从确定教学目标、选择教学内容、组织实施教学以及教学评价四个方面进行课程教学的基本原理[13-14]，一直以来，受到了广大教师的认同和采纳，例如在Google学术平台上查到的引用泰勒“课程教学的基本原理”的次数高达 9 190 次.学者李磊在“重读泰勒原理”一文中对泰勒原理进行了详细的解读，指出“虽然人们对泰勒原理存在质疑，但我们不能否认泰勒给出的确定教学目标、选择教学内容、组织实施教学以及教学评价对课程开发的重要作用”[15].因此，工程认证背景下，教师要上好数学建模竞赛培训课程必须遵循“泰勒原理”的要求，并结合工程教育认证对学生的能力标准，认真组织和实施自己的课堂教学，才能取得好的效果.

如图1所示，数学建模竞赛培训课程教学包含教学目标、教学实施和教学评价3个部分.教学目标是课程教学的首要任务，设计好教学目标将为教学内容的选择、教学实施和教学评价提供依据.教学实施后，通过教学评价进一步调整教学目标，不断改进、循环上升地提高教学质量.

按照泰勒原理的思想，课程教学目标应从行为目标和内容目标两个维度进行设计.行为目标是学生通过学习后产生的行为方式和思维情感的变化；内容目标是课程要完成的内容要求，可根据学校类型和具体学情按需选择.

大学生数学建模竞赛过程需要学生依据赛题给出的实际问题，建立和求解数学模型，并提交一篇高质量的论文.但由于我们面对的学生数理基础较薄弱，高中阶段所掌握的论文写作能力不足，所以除了需要讲述建模基本知识外，还需要进行论文写作能力训练.为此设计数学建模竞赛培训课程的教学目标二维关系矩阵如表1所示.表中行为目标①为认知要素；②～⑤为能力要素，对应着工程教育认证中的(a)、(b)、(d)、(e)、(g)、(k)6种能力；⑥、⑦为思维情感要求.这些行为目标的实现内嵌在各个内容目标之中，行列交叉点的数字为行为目标和内容目标的关联度.矩阵横向合计反映了内容目标在教学中所占的学时比重，纵向合计则反映了教学对行为目标的关注度.

3 数学建模竞赛培训课程的教学实践

教学实践是课程教学的组织和实施阶段.如图2所示，教师应遵循泰勒原理中“组织学习经验”需要的连续性、顺序性和整合性标准,设计合理的教学活动，选择合适的教学方法实施教学.

3.1 数学建模概述阶段

数学建模概述环节是整个课程的开篇之作，此环节的重点是展现给学生一个新的问题和学习场景，激发学生学习兴趣，消除学生对学习数学建模课程的紧张和恐惧心理.教师应在介绍全国大学生数学建模题目概况的基础上，根据学生实际情况选取与学生生活经验关系密切，内容有趣且相对简单的问题，例如：应用数学知识回答“人在大雨中应如何行走？”，被淋到的雨量最少；“家里的饺子如何包？”能使饺子面和馅的用料刚好，不浪费；每年出现“月上柳梢头，人约黄昏后”的次数和具体出现时间等.讲解中应注重数学思维、数学建模的基本概念以及建模过程的传授，而不要把时间和精力花在数学知识、证明和求解上，尽力使学生走出心理“舒适区”，进入“学习区”.课堂教学方法可以采取讲授式或引导式进行.

3.2 论文写作阶段

论文写作是训练学生总结和报告研究成果的一个重要教学环节.在这个环节中，教师让学生阅读一些全国大学生数学建模竞赛中的优秀论文，提交读书笔记.在此基础上教师再分析和讲解范文的结构，写作思路，总结对比范文的优缺点.这些训练能使学生很好地理解建模论文写作的结构和每一部分的写作目的、要求.但学生实际动笔写作，进行通顺，清晰的文字表达还是很困难.

如图3所示，为真正培养学生的论文写作能力，教师应对学生增加范文缩写和扩写训练.首先让学生将一篇精读过的建模范文缩写为五千字左右的期刊论文.学生完成论文缩写虽然有一定难度，但“由多变少”总比让他写一篇完整的建模论文容易，且学生很乐意接受这样的论文作业.缩写范文能使学生掌握归纳、总结论文要义，明确论文写作思路，习得科技论文的语言文字表达方法.扩写论文是让学生将一篇五千字左右的期刊论文扩写为上万字的建模论文.在这个环节中学生通过阅读理解、查阅与论文相关的资料、补充和丰富期刊论文的内容.达到既培养了“收集和理解信息资料”和“总结和报告研究成果的能力”，同时也让学生对建模论文的写作产生了“广泛而积极的兴趣”.

阅读、缩写和扩写范文教学应注意：只向学生传授建模论文的写作，不讲授数学知识.教学中要求每一名学生都要独立完成整个环节中的学习任务，教师根据学生作业的完成情况进行学习评价.教学方法可以通过翻转课堂模式，采用讲授、引导和讨论法进行教学.

表1 数学建模竞赛培训课程教学目标二维关系矩阵

3.3 简单数学模型阶段

教学需要遵循“由浅到深，由表及里”的认知规律.简单数学模型环节就是根据学生基础(不同学校和专业的数学基础不同)，选择一些学生较容易理解和掌握的数学模型进行讲授，主要的教学目标是让学生掌握数学建模的过程和应用数学知识解决实际问题的思想.在这个环节教师应注意两个基本原则：(1)选取的问题一定要根据学生的实际情况，不能拘泥于教材.(2)题目一定不能太数学化，例如不能选择“*******的聚类分析”、“******卷积神经网的构建和推理”等，而应选择生活化或与学生比较接近的诸如既能减肥又能保持健康的“减肥与健康”问题、如何才能制定大家都能接受的“代表席位的公平分配”方案、如何能在购物时做到“不买贵的只买对的”等.

教学中教师先将题目告知学生，由学生从所给论题中选择自己感兴趣的题目，查阅资料，思考建模思路，有能力的学生可以直接给出数学模型.课堂上教师在讲解每一个题目前，先让选择该题目的学生汇报他的解题思路和结果.由于学生在这个阶段比较容易紧张和胆怯，所以教师应多夸奖、鼓励，少做负面的评价.实践中，我们可以发现鼓励有利于营造一个轻松愉快的课堂气氛，激发学生的学习动力和建模兴趣，广开建模思路.

简单数学模型环节，教师可以根据学生情况，要求学生独立完成作业，也可以3人一组，分组完成作业.教学可以采取讨论、引导和讲解三种方法.

3.4 复杂数学模型阶段

学生经过简单教学环节的训练，已掌握了数学建模的基本理论，此时，教师就可以选择一些典型的、高难度的建模问题，进一步训练学生数学建模的思路、数学知识和团队合作能力[16].例如可以选择“太阳能小屋的设计”、“交通事故对道路通行能力的影响”、“葡萄酒的分类”等.学生以3人一组，分组完成资料收集、问题分析、数据处理、模型构建、模型评价和论文写作各个环节的工作任务.教学中教师可以充分运用引导和讨论教学法，组织学生课外的自我研究和课内的互动与评价.甚至可以让全体学生根据教师给出的评价标准为每一组学生评定作业成绩.实现课程目标(表1)中该环节的各项行为目标.

3.5 建模竞赛训练阶段

数学建模课程是对学生综合素质的训练，特殊的课程内容和课程目标决定了教师对学生成绩难于使用纸质考卷在短短的2个小时进行考核.因此教师应要求学生，在课程结束时必须参加地区或学校组织的数学建模竞赛，在竞赛中不仅能进一步实现课程目标中规定的行为指标，而且竞赛成绩由建模竞赛专家组盲审评定，客观、公正[17].真正实现教考分离.

3.6 总结与互动阶段

总结与互动阶段是指师生之间、学生之间进行讨论和相互评价的一种教学组织方式.该阶段不是一个独立的教学阶段，它可以贯穿于以上各个教学环节之中，在实际教学时，“总结与互动”教学组织方式的使用要视具体的课堂教学实际由教师灵活选择和使用，切忌追求教条和形式化.

4 数学建模课程教学评价

教学评价是检验教学与课程教学目标达成度的一个重要的工作.为了客观、科学、准确地评价学生修读数学建模课程的成绩.如图4所示，教师可以采取过程性评估与目标性评估相结合的方式进行考核，既包括“纸笔测验”又包括问卷、观察、交谈、记录分析等多种方式；既包括他人(教师、同学等)评价也包括学生自我评价；既关注学生的知识习得也关注学生的能力提升和情感发展[14].其中过程性评估与目标性评估的比例为4∶6.过程性评估是指学生在各个教学环节中的作业成绩，该成绩由教师评分和同学互评成绩组成，所占比例为6∶4；目标性评估是指学生参加地区或校内数学建模竞赛的成绩，根据竞赛成绩(一、二、三等奖和只取得参赛证书四种情况)分别按10∶8∶6∶4的比例进行评价.

由于学生在不同教学环节中有独立完成作业和小组合作完成作业两种情况，所以针对小组合作完成作业的成绩评定方法是由教师评分和全体学生互评成绩按6∶4的比例构成小组长的成绩，而组员的成绩评定由各组组长根据组员的具体工作情况进行评定，其中组员成绩≤组长成绩.通过该方法，能充分调动学生的积极性，避免小组完成作业时“吃大锅饭”的现象.

通过数学建模竞赛培训，学生的创新实践能力和综合素质得到了明显提高.参加培训的学生获得了数学建模竞赛国家二等奖3项，省级一等奖2项，省级二等奖7项，三等奖5项.获得研究生数学建模国家三等奖1项，省级三等奖1项.获得课外科技竞赛国家级三等奖1项，省级三等奖2项.获得国家级大学生创新创业训练计划项目1项，省级项目4项.在云南民族大学学报(自科版)等公开发表论文3篇.

根据课程教学目标，制定成绩评定标准(如表2).

表2 数学建模竞赛培训课程成绩评价标准

5 结语

工程教育认证制度是国际通行的工程教育质量规范，也是实现工程教育的国际互认和我国新工科建设的重要基础[18].为了坐实工程教育认证的教育变革，除了做好人才培养模式的顶层设计，课程体系构建的中层规划外，还需要教师按照工程教育对学生能力培养的要求做好每一门课程的教学设计.如果课程教学不改变，所有的工程认证工作只能是空谈.同时课程教学还必须遵循课程教学的基本教学规律.因此本文介绍了课题组在数学建模竞赛培训课程教学中进行的与工程认证改革相适应的教学实践经验，以期为广大一线教师的课程教学提供借鉴.