大学食堂管理优化模型

李洋 白著华 张森 李明珠 孙梦亚 陈丽娟

[摘    要] 对学校食堂的经营方案、饭菜的科学优化搭配、顺畅高效的就餐服务秩序这三个问题进行了研究，分别建立线性规划模型、非线性规划模型、遗传-粒子群优化算法、 M/M/1 排队模型、蒙特卡罗概率模型进行求解，以实现食堂与师生利益的双赢。

[关键词] 非线性规划;遗传-粒子群;M/M/1;蒙特卡罗

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2020. 03. 050

[中图分类号] F224    [文献标识码]  A      [文章编号]  1673 - 0194（2020）03- 0123- 03

2      优化模型的分析与建立

从食堂利润最大化角度建立线性规划模型，将菜品满意度作为新目标函数，继而建立师生对菜品满意度的最大化模型，最后再结合这两个模型建立食堂效益最大化线性规划数学模型，通过模型求解结果分析，力求食堂与师生的双赢。

2.1   食堂效益线性规划数学模型约定

自助餐16种菜品分别记为Aj（j=1，2，3，…，16），每种菜品的质量对应分别为xj（j=1，2，3，…，16）;共有10种原材料Mi（i=1，2，3，…，10）;在各种菜品中的每种原材料用量可记为aji（第i种原料在第j种菜品中的质量）;每种菜品的利润Zj（j=1，2，3，…，16）;就餐师生对每种菜品的满意度记为Kj（j=1，2，3，…，16）; 食堂每日供应原材料记为Pi（i=1，2，3，…，10）。

2.2   食堂利润最大化问题

将利润最大化函数作为目标函数，这样得到的线性规划模型。

2.3   食堂菜品满意度最大化问题

在每日供应原材料限制的条件下实现师生对食堂菜品满意度最大，得到的线性规划模型。

2.4   食堂菜品整体效益最大化问题

在食堂利润最大化模型基础上修正约束条件，把师生对菜品总体满意度定在原材料量的限制下，建立师生对菜品满意度的约束条件而得到新的规划模型。

目标函数为食堂利润最大化函数：

3      基于线性规划的遗传粒子群菜品搭配优化模型

根据食物种类、食物所含的营养成分、食物实际价格、食物的满意度以及菜品的摆放位置等约束条件建立非线性规划模型，然后利用遗传-粒子群算法进行优化，并利用MATLAB 进行求解，从而给出满足多种约束条件和需求的营养膳食搭配方案。

3.1   非线性规划模型建立与求解

假设有N种食物，分别用n1，n2，…，ni，…，nN来表示，其中1≤i≤N。N种食物的摄入量用x=[x1，x2，…，xi，…，xN]来表示。N种食物共含M种营养成分。对于M种营养成分，某人群每天需摄入总量用B=[b1，b2，…，bj，bM]表示，其中1≤j≤M，且bj表示某人群每天需要摄入的第j种营养成分。N种食物所含的M种营养成分用A=[A1，A2，…，Ai，…，AN]T表示，其Ai可表示为Ai=[Ai1，Ai2，…，Aij…AiM]，且Aij表示第i种食物所含的第j种营养成分。

收集资料得16种菜品提供的3种营养成分（每百克含量）。

由16种菜品所含营养成分的数据以及师生每天对每种营养成分的摄入量需求，建立以下数学模型。

A1jx1+A2jx2+…+Aijxi+…+ANjxN=bj（9）

用向量的方式表示上式则为以下矩阵方程：

Ax=B（10）

考虑到菜品的实际价格、满意度摆放位置以及营养成分等因素建立优化模型，可以实现兼顾打菜时间、打菜满意度、营养均衡以及实际价值最大的配菜优化方案。使所打菜品的满意度尽量高，走动距离和实际价格尽可能小，建立如下优化目标以及约束条件，如式（11）所示：

式中，C取0或1，当C=0时表示不打这种菜，C=1时表示打这种菜。Ci，xi（i=1，2，…，n）表示n种配菜原料中第i种菜品的实际价格和配比;ximin表示第i种菜品的下限，ximax表示第i种菜品的上限; j=1，2，3时，Aji分别表示第i种菜品的营养成分;α为价格折算因子，可以根据实际情况计算得出;bj表示各营养成分;Si表示第i种菜的实际价格，其计算公式为：

Si=自助餐单价-第i种菜品的利润（13）

3.2   遗传-粒子群优化模型建立

配菜过程中剩余量的影响具体表现在单种菜品的配比约束上，每种菜品配比必须在所设定的区间内，否则会发生“缺菜”或“剩菜”现象。根据自助餐某种菜质量所占总质量的比确定每人所打这种菜所占比例的范围，同时，各种菜的配比之和必须为1，不然不具備现实意义。以原料数目设立解空间，则1个配方能够映射为解空间中的1点，即粒子所在位置，初始粒子群须要满足以下条件：

其中pij表示第i个粒子第j维上的位置，vij表示第i个粒子第j维上的速度。这样的初始粒子群在算法迭代过程中，能够确保初始粒子的适应度函数中p1=p2=0，并且在迭代的过程中，依然可以保持p1=0，由此提高了解的可行性。

由配菜的优化目标与约束条件可采取罚函数的形式来设计预配料适应度函数， 将可约束的优化问题转变成无约束的优化问题：

4      仿真实例分析

假设某同学不吃A4、A7、A9、A11、A16菜品，由此规划一份合理的饭菜搭配方案。分别计算出A1、A2、A3、A5、A6、A8、A10、A12、A13、A14、A15所占的比例，为了避免“剩菜”和“缺菜”，规定每种菜所占比例上下浮动30%为其打菜的上下限。

利用上面的原理和表中的数据，用MATLAB进行仿真试验，GA-PSO遗传操作交叉概率Pc=0.3、变异概率Pm=0.05，C1=C2= 2，w= 0.8。根据以上参数， 得到基本 PSO和GA–PSO算法2 000次内的适应度收敛。 若适应度值越低， 说明配比的适应程度越高。

最终得出的最优配菜的评价结果为92.263 71。各个菜品所占比例为：A2，0.25;A5，0.31;A8，0.21;A12，0.23。

4.1   蒙特卡罗概率模型

总的打饭时间为T总=T排+T饭（T排表示排队所需要的时间，T饭表示打饭所需要的时间），T排取决于每个人前面的排队人数，T饭取决于每个人打菜的数量和最后一个菜的位置。

自助餐饭菜的摆放位置如图1所示。

0      引    言

各学校食堂为了给师生提供更好的服务纷纷推出自助就餐业务项目。为实现学校食堂饭菜的科学优化搭配、营造良好的就餐服务秩序等，在满足食堂与师生利益双赢的效益目标下，本文给出该项业务的优化经营方案，包括以某种方式向就餐师生预先提供有价值的信息等，供经营方和就餐师生使用。

1      數据搜集

通过搜集数据得到某高校食堂16种菜品的满意度，如表1所示。

由经验可得两人打饭时间间隔在[3，6]上均匀分布（单位均匀分布），分布随机数可以由MATLAB软件通过编程直接产生。其分布密度函数为：

4.2   实例分析

随机选定某同学排队位置为第10个，且其规划的菜单为A2、A5、A8、A12，则其打菜之前的排队时间为前9个正在打菜的人依次打菜结束时的时间间隔之和，其时间间隔利用MATLAB中的Randperm函数，完成不重复的重排采样，即得到9个服从[3，6]的随机数，分别为4.5、4.8、5.4、4.6、3.7、3.9、5.8、4.5、3.5，可得排队时间为T排=40.7秒。假设，

于是可得其整个打饭过程中所耗费的总时间为：

T总=T饭+T排=40.7+91=131.7 s（27）

主要参考文献

[1]莫宝庆，马婷.南京市大学生食物搭配的影响因素[J].现代预防医学，2018，45（20）.

[2]荣杰，刘宏宇.做好高校食堂营养搭配均衡的策略浅析[J].大家健康，2015（9）.

[3]中国营养学会.中国居民膳食营养素参考日摄入量 [J].营养学报，2001（2）.

[4]陈传赉.排队论.[M].北京：北京邮电学院出版社，1994.