有阻尼体系受迫振动位移响应分析

袁玉宝 雷振 高正华 贺路

摘 要：为了掌握有阻尼体系受迫振动位移响应及其影响因素，本篇运用高等数学、大学物理、结构动力学等知识，从理论上推导出位移响应的解析解，并对影响位移响应的因素进行分析，得出如下结论：（1）使用模态叠加法求解多自由度体系有阻尼受迫振动的微分方程可大大简化计算。（2）当频比系数趋于0时，动荷载可以看作静荷载处理。此时惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性恢复力平衡，且动荷载与位移同步。（3）当频比系数趋于∞时，阻尼力和弹性恢复力很小，动荷载主要与惯性力平衡，且动荷载与位移反向，减弱振动，即高频振动引起的位移响应可以忽略。（4）当频比系数趋于1时，发生在共振现象。此时阻尼比的微弱变化对动力系数影响很大，但结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。

关键词：受迫振动;位移响应;模态叠加法;频比系数;阻尼比;动力系数

中图分类号：O325             文献标识码：A            文章编号：1006—7973（2020）01-0112-03

有阻尼受迫振动现象广泛存在于现实生活中。人们在利用振动原理解决工程难题[1]的同时，也在避免振动带来的的危害[2]。很多专家学者也对振动的响应做出了大量的研究[3～5]。如位移响应不仅与荷载频率有关，还与自振频率有关，当荷载频率接近自振频率时，结构体系将发生共振从而可能引起破坏。但这些毕竟是一些定性的讲法。怎样定量表示位移响应的大小，并研究位移响应与其影响因素之间的关系成为工程的难点问题，这也是笔者研究的内容。

1有阻尼受迫振动微分方程

1.1 单自由度体系受迫振动微分方程

如图1所示，有阻尼的单自由度体系在动荷载作用下发生受迫振动。

由达朗贝尔原理知，体系共受到动荷载P（t）、惯性力、阻尼力和弹性恢复力-ky四个力共同作用。m、c、k分别为体系质量、阻尼、刚度，、、分别为体系加速度、速度、位移。振动方程为;

1.2 多自由度体系受迫振动微分方程

如图2所示，有阻尼的多自由度体系在动荷载向量作用下发生受迫振动。振动方程为

[C]、[K]分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，、、分别为加速度向量、速度向量、位移向量，{P（t）}为动荷载向量。质量矩阵[M]为对角矩阵;刚度矩阵[K]为对称矩阵，即kij=kji;阻尼矩阵[C]一般不为对称矩阵，但可通过线性组合成为对称矩阵。

2有阻尼受迫振动微分方程的位移响应[6～7]

2.1 单自由度体系受迫振动微分方程的位移响应

式中为荷载作用时刻，被积函数t为计算位移时刻，积分上限t为瞬时冲量作用的时间范围。综上，单自由度体系有阻尼受迫振动微分方程的位移响应为

2.2 多自由度体系受迫振动微分方程的位移响应

多自由度体系受迫振动微分方程的位移解法通常有直解法和模态叠加法两种。下面笔者将分别予以介绍。

2.2.1 多自由度体系受迫振动微分方程的位移直解法

在式（2）中，假定阻尼矩阵[C]为对称矩阵，当体系受到的动荷载向量为简谐荷载向量作用时，可用直解法进行求解。平稳阶段位移响应的形式为

若多自由度体系受到的动荷载向量不为简谐荷载向量，而是一般动荷载向量，可将一般动荷载向量转换成为若干个简谐荷载向量的叠加。但荷载叠加法在单自由度体系中已相当繁琐，在多自由度体系中必将更为复杂，甚至不可能实现。

2.2.2 多自由度体系受迫振动微分方程的振模态叠加法

在实际的多自由度体系中，因阻尼力的机理比较复杂，阻尼矩阵很多情况下不是对称矩阵，而使用模态叠加法又要求阻尼矩阵[C]为对称矩阵，所以首先将阻尼矩阵作变换。设，...为多自由度体系的自振频率，其可由频率方程求出。，...分别对应的阵型向量为，...。設振型矩阵，则。设广义坐标为，...，其为振型的组合系数。这样，多自由度体系的位移向量便可用振型矩阵和广义坐标向量来表示，即

若已知多自由度体系的两个自振频率 （i≠j）及通过式测出的两个阻尼比（n为周期数，yk为k时刻的振幅，yk+n为k+n时刻的振幅），则可通过式、求出a、b。再把a、b带入式（13）即可求出广义阻尼矩阵。

通过以上的变换，使非对称的阻尼矩阵成为对称的广义阻尼矩阵后，便可以使用模态叠加法计算多自由度体系的位移响应。

可见，我们把自由度为n的多自由度体系的动力计算问题转换成n个单自由度体系的动力计算问题，从而使计算大大简化。对式（14）运用杜哈梅积分，有

式中 ，为第i阶振型有阻尼振动的自振频率。运用式（15）可求出广义坐标向量，把带入式（9）可求出多自由度体系受迫振动的位移响应。

3阻尼比、频比系数及动力系数对位移响应的影响[8]

因多自由体系的阻尼比、频比系数及动力系数对位移响应的影响过于复杂，本篇只研究单自由度体系的相关问题，但二者受迫振动位移响应机理相同。

根据荷载叠加理论，一般动荷载P（t）可以由若干简谐荷载叠加而成。故此，可做如下假设

显然，式（22）的前两项会逐渐衰减，最有只剩下第三项稳态位移。若只考虑第k个简谐荷载的影响，并对第三项作变形，得第k个简谐荷载产生的位移响应为

接近自振频率     时，结构的动力系数由阻尼比决定。一般结构的阻尼比    在0.01～0.1之间，发生共振时动力系数 β  在5～50之间。可见，在工程中采取避免共振的措施尤为重要。此外结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。由高等数学知，当频比系数                  时，最大动力系数

4结论

（1）对多自由度体系有阻尼受迫振动的微分方程而言，使用位移直解法异常复杂，甚至不可行;但使用振型叠加法却可大大简化计算，因为振型叠加法的原理是把自由度为n的多自由度体系的动力的计算问题转换成n个单自由度体系的动力计算问题。

（2）当频比系数趋于0时，荷载频率相对自振频率很小，体系振动地很慢，动荷载可以看作静荷载处理。此时惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性恢复力平衡，且动荷载与位移同步。

（3）当频比系数趋于∞时，荷载频率相对自振频率很大，体系振动得很块。此时阻尼力和弹性恢复力很小，动荷载主要与惯性力平衡，且动荷载与位移反向，减弱振动，即高频振动引起的位移响应可以忽略。

（4）当频比系数趋于1时，荷载频率接近自振频率，发生在共振现象。此时阻尼比的微弱变化对动力系数影响很大，但结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。

参考文献：

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[2]屈驰，曾云翔，贾辉.船载放射性污染检测装置的减振设计与分析[J].科技创新与应用，2019（30）：102-103.

[3]陶湘.从功能关系讨论受迫振动的振幅[J].大学物理，1994，13（11）：5-8，+31.

[4]田红亮，陈谦.单自由度系统[J].三峡大学学报（自然科学版），2019（05）：103-107.

[5]刘津升.阻尼振动和受迫振动系统的动力学研究[J].物理通报，2016，35（12）：36-38.

[6]经本合，胡安良.n个一维同频简谐振动合成的简易推导[J].物理通报，2018（10）：27.

[7]包世华.结构动力学[M].第1版.武汉：武汉理工大学出版社，2005：8-84

[8]曹孝君，张继春，吕和林.频率对爆破地震作用下结构的动力响应的影响研究[J].爆破，2006，23（2）：14-19，73.

基金项目：国家自然科学基金（名称：城市地铁隧道掘进精确爆破振动传播机理及其控制  编号：51664007）