因式分解的妙用

李星

【摘 要】 因式分解是代数变形的重要工具。运用因式分解的思想解题有时能取得意想不到的效果。因式分解在方程（组）的求解、代数式符号的判定、规律的探寻等方面有着广泛的应用。

【关键词】 简化计算;判断符号;比较大小;规律探寻

一、用于简便计算

例1 计算：。

解：原式=

。

点评：直接计算，计算量相当大，也没有什么规律可言。不难发现，每一个小括号内均能进行因式分解，我们可以先因式分解，再寻找规律。

二、用于求代数式的值

例2 若，求的值。

解：，

化简得：，

，即m+n=1，。

点评：一般的，一个方程中含有两个未知数，难以求出两个未知数的具体数值，我们可以利用“整体思想”进行分组，通过因式分解求出整体数值，使得问题得以解决。

三、用于分式的运算

例3 约分：。

解： 。

点评：约分需要找到公因式，通分需要找到最简公分母。分式的分子、分母是多项式时，需将其因式分解。

四、用于寻找除数

例4 已知248-1可被60～70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？

解：，

，∴这两个整数是65，63。

点评：能被某个数整除，则这个数一定是其因式，可以将248-1套用平方差公式因式分解。证明某个多项式能被某个数整除也属此类问题。

五、用于判定代数式的符号

例5 已知a，b，c是一个三角形的三边，利用因式分解判断的符号。

解：=（b+a-

c）（b-a+c）。

根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边可得：（b+a-c）（b-a+c）>0，。

点评：判断一个多项式的符号是代数中的常见问题。一种方法是：将多项式因式分解，写成多个因式乘积的形式，再数一数负因数的个数，若负因数的个数是奇数个，则积为负，若负因数的个数是偶数个，则积为正。另外一种方法是利用配方法把多项式写成一个式子的平方再加一个常数的形式，如判断多项式的符号，利用配方法可将化简为，即可得出答案。

通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。因式分解除了上述妙用外，在其他方面（如生活、軍事等）也有很广泛的应用。

【参考文献】

[1]李燕.分解因式的技巧方法[J].理科考试研究，2019，26（08）：24-26.

[2]曹芹琴.初中因式分解的常见错误及教学对策研究[D].上海师范大学，2019.

[3]谢有喜.浅析初中数学中的因式分解[J].中华少年，2018（20）：282+285.