基于PD控制的液压系统的建模和分析

赵春江王 蕊13张德真龙 涛

(1.太原科技大学 机械工程学院，山西 太原 030024；2.太原科技大学 太原重型装备协同创新中心，山西 太原 030024；3.河北工程大学 机械与装备工程学院，河北 邯郸 056038)

引言

液压系统由于无级调速、运行稳定、易实现自动控制等特点，被广泛应用于机器人、机械制造、航空航天等工业领域[1-3]。但是，因为系统本身存在强烈的非线性特性，所以针对液压系统动态特性和控制方法等方面的研究受到了很多研究人员的青睐。尤其在控制方面，利用线性和非线性控制、自适应控制、鲁棒控制等方法来改善系统动态特性的研究都取得了很大程度的进步[4-6]。SAMAKWONG T等[7]在研究电液伺服阀系统PID控制器设计时发现基于遗传算法优化PID控制器比Ziegler-Nichols、整定方法、自动整定方法和粒子群优化算法(PSO)具有更好的闭环性能。许文斌等[8]在研究大型装备电液系统非线性、参数不确定性问题中提出的具有积分行为的鲁棒H_∞位置控制策略能提高系统的鲁棒性和稳定性。徐梦等[9]在研究加速BP神经网络调节PID控制器参数的方法时，利用动量常数来加速神经网络的训练能够实现系统快速逼近功能。

以上研究表明，控制系统的研究对液压系统性能的调节和优化具有非常重要的意义。而实际工程中，针对控制器参数的调节主要有理论计算和工程经验两种方法，且好的控制调节策略应该遵守的原则是：直接对系统闭环响应进行简单分析，并对控制器参数进行优化调整[10-11]。因此，本文以泵控液压系统为研究对象，通过数学建模和软件分析对PD控制器参数进行仿真分析，同时利用系统幅值裕度和相位裕度来确定控制器各增益系数的值。研究结果为实际工程中调节液压系统性能和合理选择控制参数提供了参考。

1 系统描述和数学模型的建立

1.1 液压系统原理图

液压系统原理图如图1所示，通过伺服电机控制定量泵来调节液压缸的运行速度。其中，利用永磁同步伺服电机和定量泵作为系统的动力源，工作中通过调节电机转速来改变泵的排量，从而控制非对称液压缸的进给速度，且液压缸活塞杆在运动过程中受到一个向上的负载力FL。

1.2 液压控制系统方块图

实验时，电磁换向阀预先打开，故这一部分可忽略。系统主要由交流调速环节和泵控机构两部分组成，控制系统框图如图2所示。

1.油箱 2.过滤器 3.伺服电机 4.液压泵5.换向阀 6.液压缸 7.安全阀图1 液压系统原理图

图2 液压控制系统框图

1.3 永磁同步伺服电机的数学模型

基于同步电动机转子坐标系，不考虑磁路中铁芯磁饱和；不计铁芯涡流和磁滞损耗；转子上无阻尼绕组，永磁体也无阻尼绕组；以及永磁材料电导率为0的前提下[12-13]，建立永磁同步伺服电机的数学模型。

电磁转矩方程：

Td=Ktisq

(1)

式中，Kt—— 电机灵敏度系数

isq—— 控制电机电流

电压方程：

(2)

式中，Lsq—— 定子电感

Rd—— 定子电阻

Ke—— 反电势系数

ω—— 电机转子角速度

电机运动方程：

(3)

式中，TL—— 负载转矩

J—— 转动惯量

D—— 电机的黏性摩擦系数

对式(1)～式(3)进行拉氏变换并整理，得：

(4)

由式(4)可画出永磁同步伺服电机动态框图，如图3所示。

图3 永磁同步伺服电机动态框图

1.4 泵控机构数学模型

泵控机构包括过滤器、液压泵、管道、换向阀和液压缸。不考虑过滤器流量损失和管道压力损失，液压泵高压腔到液压缸之间的压力p1看作是相等的，回油腔压力p2为0，液压缸的控制压力为pL=p1-p2。且伺服系统的负载以惯性负载为主，没有弹性负载或弹性负载很小。当活塞杆向下运动时，液压缸控制腔的流量连续性方程为[14-15]：

(5)

式中，qL—— 负载流量

Ap—— 液压缸活塞有效工作面积

v—— 活塞杆运动速度

λc—— 液压缸总泄漏系数

pL—— 液压缸的控制压力

Vc—— 液压缸高压腔的容积

K—— 有效体积弹性模量(包括油液、连接管道和缸体的机械柔度)

液压缸活塞与负载力的平衡方程为：

(6)

式中，m—— 活塞及负载折算到活塞上的总质量

B—— 活塞及负载的黏性阻尼系数

fL—— 作用在活塞上的任意外负载力

将式(5)、式(6)进行拉普拉斯变换为：

(7)

由式(7)可以绘出由负载流量引起的液压缸活塞速度的方块图，如图4所示。

图4 液压缸活塞速度的方块图

液压泵轴上的转矩为：

(8)

式中，Δp—— 液压泵的高、低压腔的压差，由于低压腔压力为0，则Δp=p1

Vp—— 液压泵的排量

液压泵的实际流量：

(9)

式中，qt—— 泵的理论流量

ηV—— 液压泵的容积效率

ω—— 角速度

根据图4和式(8)、式(9)绘制出伺服泵控系统传递函数方块图，如图5所示。

图5 伺服泵控系统传递函数方块图

其中,控制器增益为KPD；Ur为控制信号；KU为控制信号放大倍数；Kv为电动机转速增益；V(s)为速度闭环的输出。根据图5可得闭环系统对指令输入Ur(s)的传递函数为：

(10)

其中，C=VpηvA1KPDKUKt/120π

2 动态仿真与分析

在AMESim软件中建立系统模型，如图6所示。模型主要包括PD控制器、伺服电机、油源、定量泵、电磁换向阀、溢流阀及液压缸组件。根据系统的数学模型和传递函数，可知该系统为零型系统，各项系数均大于0，且最高阶次为四次、无导前环节。因此，可以通过使用几何判据分析系统的幅值裕度和相位裕度来判别系统的稳定性，并在系统不稳定时直接提出改进系统稳定性的办法。模拟中使用的系统参数如表1所示[16]。

图6 串联校正控制的系统模型

表1 泵控系统仿真参数表

2.1 频域分析

系统的幅值裕度和相位裕度随控制器增益系数变化曲线如图7所示。随着控制器比例环节增益系数KP的改变，对数幅频特性曲线上下移动，幅值穿越频率左右移动。而对数相频特性曲线不变，即相位穿越频率不发生变化。当系统的幅值裕度Kg<0且相位裕度γ<0°，此时系统不稳定，如图7中线1所示。当控制器增益系数KP=35时,Kg=0且γ=0°时，系统处于临界稳定状态，如线2所示。当KP<35时,系统具有正的幅值裕度和相位裕度，如线3所示，此时系统稳定。

图7 不同比例系数的伯德图

通过调节比例环节系数改变系统性能，属于一种简单的控制方法，但随着比例系数的增大，系统的稳定性降低。因此加入微分控制环节，能够预测输入信号的变化趋势，起到超前校正的作用，以改善系统的稳定性，同时提高系统响应速度，节省调整时间。

系统在不同校正环节下的伯德图如图8所示，曲线1，2分别为比例系数确定时，不同的微分系数下系统的频率图，曲线3为仅在比例环节控制下的系统频率图。由图8可知，当系统加入微分环节后，相位裕度增加，稳定性提高；且穿越频率ωc变大，即频带变宽，

图8 不同校正环节的伯德图

系统快速性提高，从而改善了系统的动态性能；并且当系统加入微分环节后，随着微分系数的增大，相位裕度减小，穿越频率增大。

根据控制工程理论可知，为了保证系统具有满意的性能储备，一般希望系统的相位裕度γ=30°～60°，幅值裕度Kg>6 dB[16]。针对本文研究的系统,调节控制器参数KP=23，KD=1时，系统频率特性图满足要求，如图8中曲线1所示。因此，在实际工程中利用这种方法对控制器各增益系数进行调节可以使系统快速获得满意的动态特性，提高工作效率。

2.2 时域分析

图9为系统在不同校正环节下的动态响应曲线。当系统稳定工作时，随着比例系数KP和微分系数KD的改变，系统的稳定性、快速性和准确性都会发生变化。曲线1，2分别是比例系数KP一定时，微分系数KD的改变对液压缸速度的影响；曲线3是系统仅在比例系数KP的作用下液压缸的速度曲线。

图9 不同校正环节下的液压缸速度曲线

由图可知，采用PD控制后，系统的振荡次数减少，振荡幅度减弱，稳定性提高，响应速度加快，但系统始终还会存在稳态误差，且自身抗干扰能力减弱，故比例微分调节也存在缺点。而不同的微分调节会影响系统的超调幅度，微分系数KD越大，响应速度加快，振荡幅度越大，调节时间越长。因此，通过选择合适的微分环节系数来减小系统稳态误差，降低系统的振荡程度，能够进一步改善系统动态特性。但在串联校正的过程中，微分环节只对系统的动态过程起作用，对稳态过程没有影响。

3 结论

(1) 建立了非线性泵控液压系统模型，并对系统进行了频域、时域分析，同时讨论比例系数KP和微分系数KD的改变对系统动态特性的影响。提出一种合理选择控制器增益系数的方法；

(2) 仿真结果表明，控制器增益系数的调整，影响系统的稳定性、准确性、快速性，三种性能相互影响、相互制约。当系统稳定工作时，加入微分环节，系统的响应速度提高，稳定性增强，振荡次数减少，但自身抗干扰能力下降。该方法可用来分析不同控制环节对液压系统动态特性的影响；

(3) 在对液压控制系统进行现场调节时，一般只可通过控制器的相关参数对系统动态性能进行调节。本文提出根据控制工程中系统具有满意的性能指标时相位裕度在 30°～60°之间，幅值裕度大于6 dB这一理论，确定出控制器各环节增益系数的值，同时使系统性能达到最佳状态。该方法一定程度上可以对系统进行快速调节，且为实际工程中液压系统控制器增益系数的选择，设备性能的优化提供了一种方法。