应用经验生产函数测算时间序列决策单元有效性的方法

马占新 赵佳风

一、引 言

时间序列数据、截面数据和面板数据是决策单元的三种重要数据类型。数据包络分析(data envelopment analysis，DEA)在分析截面数据和面板数据方面具有广泛的应用，产生了重要影响。然而，DEA方法在测算时间序列数据方面发展缓慢且分歧较大。尽管时间序列DEA模型的提出已有30多年的历史，但有关该模型的几个重要问题一直没得到很好解决：(1)时间序列DEA模型的理论基础是什么？(2)时间序列DEA模型与基于截面数据的DEA模型的关系是什么？(3)如何更好地测算时间序列决策单元的效率？

首先，在截面数据分析方面，DEA方法成效显著。Charnes等(1978)提出C2R模型以来，DEA方法不仅扩大了人们对生产理论的认识，也使得研究生产函数理论的主要技术手段由参数方法发展成为参数与非参数方法并重。Banker等(1984)针对生产可能集中的锥性假设不成立，给出了另一个评价生产技术有效的DEA模型-BC2模型。Färe等(1985)给出了满足规模收益非递增的DEA模型-FG模型。Seiford等(1990)给出了满足规模收益非递减的DEA模型-ST模型。上述模型系统地描绘了不同规模收益下多输入多输出生产系统的生产前沿状况，在DEA理论中具有重要地位。

其次，在面板数据分析方面，DEA方法也产生了重要影响。目前，应用DEA方法评价面板数据的成果主要分为 Malmquist指数 DEA 模型(Malmquist，1953；Caves等，1982；Färe等，1992)和 DEA 窗口分析模型(Charnes等，1984)两大类。Malmquist指数DEA模型将Malmquist生产率指数分解为技术进步指数和综合效率指数，而综合效率指数又可以进一步分解为纯技术效率变化指数和规模效率变化指数。DEA窗口分析模型由Charnes A等人于1984年首次提出，该模型通过窗口移动的方法来评价决策单元的效率(Cullinane，2004；Bowlin，1987)。

最后，在时间序列数据分析方面，尽管有关DEA的研究较少，但也取得了一些很有价值的成果。Diewert等(1983)在讨论技术进步的影响时首次涉及到了纯时间序数据。Färe等(1985)在有关菲律宾农业部门的技术效率研究中使用时间序列数据进行效率测度和分解，其处理方式受到Diewert等(1983)思想的影响。1998年，Lynde等专门提出了针对时间序列数据的FG模型，并将生产率分解为技术变化、技术效率和要素强度指数三部分(Lynde和 Richmond，1998)。王兵等(2006)沿用 Lynde等的思想，应用 CCR模型对中国1952—2006年的生产率进行实证分析。马占新等(2002)从偏序集理论出发给出了带有权重约束的时间序列DEA模型，并应用该模型分析了中国某省的经济效率状况。蓝以信等(2014)给出了随机时间序列DEA模型。

由于生产函数的构造要求技术水平不变，而时间序列数据在不同时间点上的技术水平可能发生了变化，因而DEA方法是否可以测算时间序列决策单元效率和是否可以使用不同时间下的投入产出数据构造生产前沿面一直存在众多分歧。为了寻找DEA方法测算时间序列决策单元效率的理论基础和更有效的测算方法，本文首先给出了时间序列 DEA模型成立的条件和基础。然后，从经验生产函数的构造出发，给出了一种测算时间序列决策单元的 DEA模型，并解析了各种时间序列 DEA模型的优点和不足，从理论上讨论了不同时间序列DEA模型给出的效率之间的关系。同时，还给出了测算时间序列决策单元技术进步的方法。最后，应用本文结论分析了广东省1985—2013年经济发展的效率问题。

二、时间序列DEA模型

在以往有关时间序列DEA模型文献中，均直接使用时间序列数据测算决策单元的效率，并没有从理论上解释其合理性。为了进一步分析时间序列DEA模型的理论基础，以下首先对目前比较重要的纯时间序列DEA模型进行简要介绍和梳理①为了便于阅读和比较，本文对原始模型中的符号进行了统一。。

（一）FGG-DEA模型

Färe等(1985)给出了一个时间序列DEA模型，并应用该模型分析了菲律宾农业部门1948—1967年的技术效率。该模型为了避免非有效和技术进步之间的混淆，采用被评价单元所在年份及其之前年份的数据构造生产前沿面，同时该模型是针对多投入单产出的情况给出的。其对应的模型和生产可能集如下。

假设已获得某一决策单元 T个时段的输入输出数据，其中第 t个时刻的投入对应一个总产出yt，令，则有以下模型：

当δ=0时，FGG-DEA模型为满足规模收益不变的时间序列DEA模型；当δ=1时，FGG-DEA模型为满足规模收益可变的时间序列DEA模型；对应的生产可能集为：

（二）LR-DEA模型及其拓展

Lynde等(1998)认为，时间序列数据在不同时间段对应的生产技术是不同的，且很难区分技术变化和技术效率的影响，所以作者给出了一个可以将技术变化融入 DEA框架的时间序列DEA模型。

其对应的生产可能集为：

2006年，王兵等(2006)在对中国1952—2006年的生产率分析中应用了 Lynde等(1998)的思想，给出基于CCR模型的时间序列DEA模型如下：

其对应的生产可能集为：

（三）WH-DEA模型

2002年，马占新等(2002)从偏序集的角度出发，将非期望产出和权重约束融入DEA模型中，给出了带有权重约束和非期望产出的时间序列DEA模型。

假设已获得某一决策单元 T个时段的输入输出数据，其中第 t时刻的投入为期望产出为非期望产出为权重约束满足则WH-DEA模型可表示如下：

另外，还有随机时间序列DEA模型(蓝以信和王应明，2014)等，因篇幅限制不做一一介绍。

生产函数是描绘在技术水平不变情况下各种生产要素与所能生产的最大产出之间的关系。从上面的模型看，这些模型均使用了时间序列数据来模拟经验生产函数，而对于一组时间序列数据而言，在不同时间点上决策单元的技术水平一般发生了变化，这显然是和生产函数的定义相背离的。因此，时间序列DEA模型应该对这一问题给出合理解释，而相关文献并没有对这一问题给出回答。为此，下文将进一步探讨时间序列DEA的基础和含义。

三、测算时间序列数据DEA模型的理论基础

下面首先从多投入多产出生产系统的角度出发，探讨生产函数与经验生产可能集之间的关系，然后给出应用时间序列数据构造经验生产可能集的理论基础。

（一）时间序列数据构造经验生产可能集应满足的条件

假设决策者已经测得某个生产系统在T个时间段上的一组时间序列数据如下：

（二）不同规模收益情况下决策单元的生产可能集构造与有效性定义

下面在基于截面数据构造生产可能集思想的基础上，探讨应用时间序列数据构造生产可能集的基础。

1.基于截面数据的生产可能集的构造

假设PT是某生产系统在T时刻的真实生产可能集：

首先，介绍以下几个公理体系(魏权龄，2004)。

该公理指：T时刻生产系统已经存在的一组生产活动(xj,yj),j=1,2,…,n理所当然是生产可能集中的一种投入产出关系。

(2)凸性公理：对任意的(x,y)∈PT和，以及任意的即如果分别以的λ及1-λ比例之和输入，可以产生分别以的相同比例之和的输出。

(3)无效性公理：若(x,y)∈PT，并且

该公理指：以较多的投入和较少的产出进行生产总是可能的。

(4i)锥性公理：对任意(x,y)∈PT和实数k≥0，均有

该公理指：若以投入量x的k倍进行输入，那么输出量也以原来产出y的k倍产出是可能的。

(4ii)收缩性公理：对任意(x,y)∈PT和实数k∈（0,1]，均有

该公理指：生产方式是可以缩小规模的。

(4iii)扩张性公理：对任意(x,y)∈PT和实数k≥1，均有

该公理指：生产方式是可以扩大规模的。

(5)最小性公理：生产可能集PT是满足公理(1)～公理(3)，或者公理(1)～公理(3)以及公理(4i)、(4ii)、(4iii)三者之一的所有集合的交集。

2.基于时间序列数据的生产可能集的构造

首先，证明以下几个结论成立。

证明：对任意(x,y)∈PT和任意以及任意的由于函数为凹函数，可知，所以所以，凸性公理成立。

若(x,y)∈PT，并且则有。由于函数为单调递增函数，因此所以，故有。所以，无效性公理成立。证毕。

证明：(1)若(x,y)∈PT，k≥0，则有x≥0，FT(x)≥y。所以，kx≥0，(2)若(x,y)∈PT，k∈(0,1]，则有x≥0，所以，(3)若。所以，证毕。

定理1表明：在生产系统技术进步不可逆的情况下，时间序列数据的投入产出关系在T时刻也是可以实现的。也就是在T时刻有一组生产关系，它的投入产出值和是相等的。这时可以将看成是T时刻的一组截面数据。同时，在由定理2和定理3的假设下，T时刻的生产可能集PT满足公理(2)～公理(3)，或者公理(2)～(3)以及(4i)、(4ii)、(4iii)三者之一。因此，根据DEA构造生产可能集的原理，由确定的T时刻经验生产可能集为：

图1 时间序列数据确定的生产可能集

如图1，假设A点、B点和C点分别是T时刻的一组生产关系，它们是一组截面数据，它们的投入产出值恰好等于这样在规模收益可变的情况下，A点、B点和C点确定的T时刻的经验生产可能集即为图中阴影所示的部分。这时

TS-DEA有效的含义为决策者以T时刻生产系统的最佳经验生产前沿为评价标准，如果T时刻的经验生产可能集PSerT中不存在一种生产方式比更有效，即在投入不变的情况下产出更大，或者在产出不变的情况下投入更小，则认为t时间决策单元的生产是有效的。

四、不同数据结构条件下时间序列决策单元的有效性测算

在现实生活中由于保密、没有统计机构和数据获取困难等多种原因，有时很难获得完整的面板数据，这时就只能依据时间序列数据进行评价。从本质上看，DEA方法评价的是相对效率，就是在实际生产可能集PT中选择若干点来构造经验生产函数，进而考虑这些点之间的相对有效性。由于所以从这个角度看，PT的经验生产可能集PSerT的构造完全符合DEA方法的思想。因此，以下根据定义1进一步给出基于纯时间序列数据的DEA模型。

从另一方面看，由于时间序列数据相关性较强，应用时间序列数据构造生产可能集存在一定不足，而使用残缺面板数或者一组完整的截面数据构造可能集可以很好的修正时间序列数据的不足。因此，这里又给出了基于残缺面板数据和截面数据测算时间序列决策单元的方法。

（一）基于时间序列数据测算决策单元的效率

由TS-DEA有效的定义，可以给出以下测算时间序列决策单元效率的DEA模型。

1.当δ1=0时，(TS-DEA)为满足规模收益不变的时间序列DEA模型；

2.当δ1=1、δ2=0时，(TS-DEA)为满足规模收益可变的时间序列DEA模型；

3.当δ1=1、δ2=1、δ3=1时，(TS-DEA)为满足规模收益非递增的时间序列DEA模型；

4.当δ1=1、δ2=1、δ3=0时，(TS-DEA)为满足规模收益非递减的时间序列DEA模型。

从上面四种情况看，当δ1=1、δ2=1、δ3=1时，模型TS-DEA即为LR-DEA模型(Lynde和 Richmond，1998)；当δ1=0时，模型TS-DEA即为 WLR-DEA 模型(王兵和颜鹏飞，2006)。因此，LR-DEA模型和WLR-DEA模型包含在TS-DEA模型中。同时，本文第二部分的分析也为这些模型提供了理论支持。

以下给出决策单元投影的定义。

图2 生产函数与时间序列数据的关系

（二）基于极大生产前沿面测算时间序列决策单元效率

模型 TS-DEA要求技术进步不可逆，即对任意x≥0，生产函数满足F1(x)≤其实上述条件可以被适当放松为以下情况。

MTS-DEA有效的含义为决策者以t0时刻的经验生产前沿为评价标准，如果t0时刻的生产可能集中不存在一种生产方式比更有效，即在投入不变的情况下产出更大，或者在产出不变的情况下投入更小，则认为t时刻决策单元的生产为有效的。

其相应的测算MTS-DEA有效的模型如下：

从上面的分析可以看出，和TS-DEA模型相比，MTS-DEA模型在技术进步方面的要求有所放松，同时，它在经验生产可能集构造的精度上并没有降低。

（三）基于残缺面板数据测算时间序列决策单元效率

由于技术进步不可逆，因此可以证明：

类似可得T时刻的经验生产可能集可表示如下：

相应的测算PTS-DEA有效的模型如下：

PTS-DEA模型的构造思想为以尽可能多的T时刻的实际生产情况(包括残缺面板数据和已有的时间序列数据)来构造可能集的最佳经验生产前沿面更接近实际生产前沿。

从上面的分析可以看出，与TS-DEA模型相比，PTS-DEA模型同样要求技术进步是不可逆的，但它构造的经验前沿面更接近T时刻实际生产前沿面。

（四）基于完整截面数据测算时间序列决策单元效率

假设决策者已测得t0时的某个决策单元的投入产出数据则t0时刻的生产可能集可表示如下：

CTS-DEA有效的含义为决策者以t0时生产系统某个决策单元构成的最佳经验生产前沿为评价标准，如果t0时刻的经验生产可能集中不存在一种生产方式比更有效，则认为t时刻决策单元的生产是有效的。其相应的测算CTS-DEA有效的模型如下：

在规模收益可变的情况下，对于单投入单产出的情况时间序列决策单元的效率CTS-DEA测算和投影可以用图3来说明。

图3 时间序列数据在截面数据构成的前沿面上的投影

从上面的分析可以看出，与TS-DEA模型相比，CTS-DEA模型不必要求技术进步是不可逆的，而且由t0时刻的截面数据构造的经验前沿面更接近t0时刻的实际生产前沿面。

五、测算时间序列决策单元效率方法的比较与灵敏度分析

（一）完善时间序列DEA模型的必要性

首先，研究时间序列DEA模型是实际应用的需要。

尽管应用面板数据分析时间序列数据的应用十分广泛，但现实生活中有时很难获得完整的面板数据。比如对一些保密部门(对象)或者没有专门统计机构进行数据收集的部门(对象)，决策者一般只能得到本部门内部的时间序列数据，最多也许只能得到其他组织的一些残缺数据，这时只能依据时间序列数据或者残缺面板数据进行分析。

其次，研究时间序列DEA模型是对DEA理论的重要补充。从截面数据、时间序列数据和面板数据几种重要的数据类型看，DEA方法在截面数据和面板数据分析方面取得巨大成功，应用十分广泛。然而，在时间序列数据分析方面成果较少，争议较大。

因此，对时间序列DEA模型开展研究具有比较重要的理论和现实意义。

（二）如何更加准确的测算时间序列决策单元的效率

从前面的分析可知，如果单纯从决策单元相对效率的角度看，时间序列DEA模型给出的效率值完全符合DEA方法的构造思想和含义，但从DEA生产前沿面和实际生产前沿面的比较看，时间序列数据毕竟有其特殊性。由于技术进步效应的累加和数据来源的单一，应用截面数据构造的生产可能集可能会比应用时间序列数据更能逼近真实生产可能集。这可以从图4给出说明。

图4 DEA经验生产前沿面与生产函数的关系

首先，本文中给出的方法本质上是想以T时刻真实的生产前沿面FT(x)为参考面，来度量的效率值，而现实中 T时刻的真实生产前沿面很难得到。因此，采用经验数据构造经验生产前沿面来代替FT(x)进行分析。从图4可见，应用时间序列数据构造的生产前沿面AC与实际生产函数FT(x)差距最大，依据该前沿面进行评价时，A点和C点都是有效的，因而无法给出任何改进的信息。如果能够进一步获得一些残缺的面板数据(比如D点的数据)，这时获得的参考集就比PSerT更接近真实生产可能集，这时不仅能给出点A的改进信息，而且对B点给出的改进信息尺度更大。当然，如果能够获得极大生产前沿面EFG(即给出的前沿面)，测算时间序列决策单元的结果会最大程度的接近实际效率。

根据上述分析可知，对于一组时间序列决策单元，在测度其效率时，应尽量获取更多的数据信息，以便更加准确的测度时间序列决策单元的效率值和投影信息。数据的残缺程度越低，测度结果越精确。因此，从优先次序上看，应优先应用极大生产前沿面(PTS-DEA模型)测算时间序列决策单元效率，其次是基于残缺面板数据(MTS-DEA模型)，最后才选用纯时间序列数据(TS-DEA模型)进行评价。

（三）时间序列DEA模型的灵敏度分析

DEA方法的灵敏度分析是DEA理论中一个十分重要的研究内容。由于本文方法是借助于已知样本单元的输入输出数据对时间序列决策单元进行评价的，而不论是样本单元还是决策单元，其输入输出数据的采集难免出现误差，故有必要对决策单元的有效性进行灵敏度分析。由于TS-DEA模型、CTS-DEA模型和PTS-DEA模型可以统一成模型(ZH-T)的形式，因而各模型的灵敏度分析可以进行统一分析如下。

由定理5及其证明过程直接可以得到以下结论。

证明：

六、时间序列决策单元的技术进步指数估计

由于时间序列数据中包含着技术水平的变动，所以对 TS-DEA有效性的经济学含义进行解释时需要对技术进步、技术效率的作用结果进行剥离。为此，以下对与“生产率增长”相关的三个概念——技术进步、技术效率和投入要素松弛给出相应的估计。

假设决策者已获得一组多投入多产出时间序列数据集：

Lovell(2003)提出C2R模型的生产可能集描述的前沿技术为参照技术，而BC2模型的生产可能集描述的前沿技术为现实中存在的技术，并指出在对技术进步进行估计时，应采用 BC2模型进行估计。另外，也有文献采用 FG模型对技术进步进行估计(Lynde和 Richmond，1998)。

根据以上分析，本文选取规模收益非递增情况下的TS-DEA模型进行分析。如果能够获得更多数据信息的情况下，也可使用PTS-DEA模型或MTS-DEA模型。

由公式(3)、公式(4)和公式(7)可以得到关于技术进步指数的一个非递减可计算的下限：

因此，模型最终求得每个时段t的技术进步指数的波动范围如下：

同样，根据上述约束条件式(7)和式(8)，可以得到关于技术效率的上下边界：

上述公式不仅给出了时间序列决策单元技术进步和技术效率的估计值，同时也阐明了TS-DEA模型给出的DEA有效性的含义。

七、基于不同测算方法的广东省人员产出效率分析与比较

在评价时间序列决策单元的效率时，有时决策者还能获得大量的其他相关数据，而有时获得的数据却很少。因此，针对不同情况，测算时间序列决策单元效率的方法也会有所不同。

首先，如果决策者能够获得一组与该时间序列决策单元对应的面板数据，则可以应用Malmquist指数DEA模型(Oh，2010；Kalai和Helali，2016)等对时间序列决策单元的效率进行分析。因此，这时应用Malmquist指数DEA模型评价时间序列决策单元的效率并不存在困难。

其次，如果决策者能够获得一组对应的截面数据，则依据这组截面数据来测算时间序列决策单元的效率也是可行的。在测算决策单元技术进步(魏权龄，1991)和全要素生产率(Oh，2010；Kalai和Helali，2016)时，许多文献都使用了跨期比较和固定参比的效率测算方法，该类方法实际上也可以测算时间序列决策单元的效率，给出时间序列决策单元相对于某一固定时刻生产前沿面的效率(马占新，2012)。

最后，如果决策者能够获得的决策单元的信息极为有限，除了时间序列数据或者少量残缺面板数据外，再无法获得其他数据信息，这时基于截面数据或面板数据的测算方法无法评价该类问题，但本文方法则可以进行测算和分析。

为了便于使用图形直观地对比各种模型对时间序列决策单元效率测算的有效性，本文采用单输入单输出的形式分析广东省1985—2013年的人员产出效率。其中，投入指标为地区年末从业人数，产出指标为地区国内生产总值。被评价对象为广东省 1985—2013年的时间序列数据。评价的参照对象分别选取广东省1985—2013年时间序列数据、1985—2013年部分省份(包括广东省)的残缺面板数据、2013年中国 30个省份的截面数据。所有数据均来源于国泰安数据库和《中国统计年鉴》。

（一）测算广东省时间序列决策单元效率的不同生产前沿面的构造与比较

由于数据包络分析方法的理论基础是生产函数理论，而生产函数本身又是描绘在技术水平不变情况下各种生产要素与所能生产的最大产出之间的关系。因此，构造各省市某一时期的经验生产前沿面必须使用该期的截面数据才符合生产函数的含义。比如构造 2013年各省市的经验生产前沿面就应该使用各省 2013年的数据才能反应2013年的技术水平。那么，当决策者只有时间序列数据时，应用该类数据构造生产可能集的合理性是什么呢？下面对这一问题加以分析。

1.应用时间序列数据构造生产可能集的理论基础

下面通过一个例子来说明时间序列数据构造的生产可能集的含义。

假设决策者获得在 t1、t2、T三个序列时间点上决策单元的投入产出值为(x1，y1)、(x2，y2)、(xT，yT)，见图5(a)中的 A 点、B 点和 C 点。

图5 时间序列数据确定的生产可能集含义

由于它们是不同技术水平下的决策单元的生产情况，因而应用这几个点无法构造决策单元的经验生产可能集。然而，在生产系统技术进步不可逆的情况下，由定理1可知：投入产出关系(x1，y1)和(x2，y2)在 T时刻也是可以实现的，见图5(b)中的 A1点和B1点。这样由T时刻的经验数据点A1、B1和C即可构造出T时刻的一个经验生产函数FT(x)。进一步应用测算决策单元技术进步(魏权龄，1991)和全要素生产率(Oh，2010；Kalai和 Helali，2016)中使用的跨期比较的方法，就可以应用 FT(x)来测算时间序列数据(x1，y1)、(x2，y2)、(xT，yT)的效率大小。

由上面的分析可知，分别应用广东省 1985—2013年的时间序列数据可以构造出2013年省市的一个经验生产前沿面，然后使用跨期比较的方法就可以测算出广东省1985—2013年的效率值。

2.不同数据资源条件下2013年省市经验生产前沿面的比较分析

以下通过图形对不同数据条件下所构造的 2013年的经验生产前沿面进行比较分析。由模型的对应关系可知，在 TS-DEA模型中构造生产可能集的数据只有广东省1985—2013年的一组时间序列数据，在PTS-DEA模型中构造生产可能集的数据除广东省1985—2013年的时间序列数据之外还有一些残缺的面板数据，在CTS-DEA模型中构造生产可能集的数据为2013年中国30个省份的截面数据。

(1) 应用截面数据、时间序列数据以及残缺面板数据都可以构造出2013年中国人员投入与产出的经验生产可能集。

图6～图9中方形点表示2013年中国30个省份的截面数据。菱形点表示广东省1985—2013年的时间序列数据。三角形点表示部分省份1985—2013年间的残缺数据。尽管每个图中三个曲线有所不同，但它们均从不同程度上刻画了2013年中国人员投入与产出生产前沿情况，随着获得信息量的增加，经验生产函数也逐渐逼近真实生产函数。

图6 规模收益不变条件下三组数据的前沿面比较

图7 规模收益可变条件下三组数据的前沿面比较

图8 规模收益非递增条件下三组数据的前沿面比较

图9 规模收益非递减条件下三组数据的前沿面比较

(2) 构造生产可能集数据的残缺程度越低，获得的DEA生产前沿面越接近真实生产函数。

图6～图9中方形点连成的线、菱形点连成的线和三角形点连成的线分别表示由截面数据、时间序列数据和时间序列数据加上残缺面板数据给出的2013年中国省市人力资本对GDP产出的经验生产前沿面。从其中的折线可以看出由2013年30个省市截面数据构造的经验生产前沿面最接近2013年实际前沿面，而广东省1985—2013年的时间序列数据由于信息单一，因而对2013年实际前沿面的拟合程度较差。因此，当对时间序列数据进行评价时，如果无法获得完整的截面数据，那么应尽可能多地收集一些残缺数据也可以在一定程度上提高对实际生产函数接近的程度。

（二）不同模型测算的时间序列决策单元的效率比较与分析

一方面，由于DEA方法评价的是相对效率，因此，不管选用时间序列数据、残缺面板数据，还是T时刻的截面数据，给出的决策单元的效率值都是一个相对值，这和DEA方法的相对有效性是相一致的。另一方面，从DEA经验生产前沿面和实际生产前沿面的视角看，不同测算方式下效率的比较还是有意义的①由于Malmquist指数DEA模型给出的是决策单元的效率变化值，而不是决策单元的效率值。因此，这里并未将Malmquist指数DEA模型的结果进行比较。。

从上文的分析可知，对于一组时间序列决策单元，在测度其效率时，应尽量获取更多的数据信息，以便更加准确的测度时间序列决策单元的效率值和投影信息。数据的残缺程度越低，测度结果越精确。以下分别以广东省1985—2013年时间序列数据、广东省1985—2013年时间序列数据加上部分残缺面板数据、2013年中国30个省份的截面数据作为评价参考集，对广东省1985—2013年的时间序列数据进行效率分析，一方面要说明这些方法的优势，另一方面来反映这些方法可能产生的误差。

应用本文构造的模型TS-DEA、模型CTS-DEA、模型PTS-DEA获得的规模收益不变、规模收益可变、规模收益非递增、规模收益非递减情况下的效率结果如图10～图13所示。

1.从图10～图13可以看出，在四种不同规模收益下，使用纯时间序列数据构造生产可能集得出的效率值(TS-DEA)最大，其次是使用时间序列数据和残缺面板数据共同构造生产可能集得到的效率值(PTS-DEA)，应用截面数据构造生产可能集得到的效率值(CTS-DEA)最小。这主要是由于不同数据组构造的经验生产前沿面与实际生产前沿面接近的程度不同导致的。

2.在规模收益不变(图10)和规模收益非递增(图12)的情况下，其中三条效率曲线的变化趋势比较相似。在规模收益可变(图11)和规模收益非递减(图13)的情况下，除开始的两年外，其中三条效率曲线变化趋势也比较相似。因此，尽管数据信息缺失的程度不同，但应用三种模型获得的效率值在整体趋势上比较一致，基本反映了时间序列决策单元效率变化的趋势。同时，几种模型给出的投影信息对时间序列决策单元提高效率、发现不足也具有积极意义。

图10 规模收益不变条件下三种模型的效率比较

图11 规模收益可变条件下三种模型的效率比较

图12 规模收益非递增条件下三种模型的效率比较

图13 规模收益非递减条件下三种模型的效率比较

3.从图6～图9也可以看出，使用2013年中国30个省市截面数据构造的T时刻(2013年)生产可能集完全包含了由纯时间序列数据和残缺面板数据构造的生产可能集，即 CTS-DEA模型中构造的最佳经验生产前沿面处于最外侧，因而使用 CTS-DEA模型获得的时间序列决策单元效率值最接近实际效率值。在无法获得 2013年中国 30个省市完整截面数据的情况下，如果能够尽可能多地找到一些残缺面板数据，并与时间序列数据联合构造生产可能集，则在时间序列决策单元效率测算上也可得到较好效果。因此，在测算时间序列决策单元的效率时，应尽量找到多的数据信息来构造评价的参考集。

4.对于单纯应用时间序列数据构造T时刻(2013年)生产可能集而言，尽管在精度上有所欠缺，但从DEA相对有效性的角度看，该方法还是能够在一定程度上反映时间序列数据效率趋势的，特别是在规模收益不变和规模收益非递增的情况下测算的效果较好。

总之，在现实生活中由于保密、没有统计机构、数据获取困难等多种原因，有时用于构造评价参考集的数据信息并不充分。尽管如此，应用时间序列DEA模型仍能获得很多有价值的信息。

（三）时间序列决策单元的技术进步指数估计

由于上文获得的效率是时间序列数据相对于2013年的效率，而测算时间序列决策单元的技术进步程度时，因为与时间序列数据对应年份的生产函数难于获得，故可以通过本文第五部分的办法获得决策单元技术进步的大致区间。从上文的分析可以看出，在对技术进步剥离的过程中，采取规模收益非递增的假设测算技术效率更加适合。这主要是由于规模收益可变假设下构造的生产前沿面中通常包括第一个时间序列数据，致使首年的效率测度为1，进而导致技术进步下限的估计方程(9)失效。因此，以下采用规模收益非递增的假设进行效率测算，并应用公式(10)计算出时间序列决策单元的技术进步的上限和下限如图14所示。

从图14可以看出，CTS-DEA模型对技术进步的范围估计最为精准，对每一年的技术进步范围都可以得到一个相应的范围(见图14中浅色阴影部分)，而依赖TS-DEA模型和CTS-DEA模型只能对其中的部分年份的技术进步范围做出估计(见图14中深色阴影部分)。模型 TS-DEA和模型PTS-DEA对技术水平下限的测度能力会偏小，1997年之后的技术水平均无法测度，显示为一条直线。这主要是由于随着决策者能够获得的数据信息量的下降而模型对决策单元技术进步的测算能力也随之减弱的结果。

图14 三种模型中各时段技术水平上下限比较

总之，对一组时间序列数据效率和技术进步情况进行测度时，如果能另外得到一组截面数据，便可以大大提高模型测算的精度。如果得不到截面数据，则在单纯时间序列数据的基础上，再收集一些残缺的面板数据也可以提高模型测算的精度。通过本文的分析，当生产系统保持技术进步不可逆的情况下，用DEA模型测算时间序列决策单元的效率不仅是可行的，而且也是合理的。然而，当无法保证生产系统技术进步不可逆时，应用纯时间序列数据构造生产可能集的方法就失去了理论基础。这时，采用某一时刻的截面数据来测算时间序列决策单元的效率也不失为一种很好的选择。