水工混凝土边切槽三点弯数值模拟研究

吴敏强

(三峡大学 水利与环境学院，湖北 宜昌 443002)

0 引 言

岩石的断裂理论在岩土、水利工程、隧道工程、油田地矿开采等领域应用广泛[1-2]，对工程安全与资源开采方面作出了巨大的贡献。对于岩石的断裂理论研究，国内外许多学者进行了很多研究。如赵子江[3]等利用NSCB试件对石灰岩进行了断裂韧度的尺度效应的研究；何思明[4]等基于断裂力学对地震下的危险岩体失稳崩塌进行了理论研究；王汉军[5]对岩石定向爆破过程中的裂纹起裂与裂纹扩展进行了试验研究；彭军[6]对深部极破碎软岩巷道掘进后的围岩断裂机理进行了研究。从以上研究可以看出，岩石的断裂并非仅仅是Ⅰ型断裂，还承受着Ⅰ型与Ⅱ型复合荷载。因此，开展复合荷载的研究必然对于岩石断裂力学理论有一个很大的推进作用。

对于岩石的Ⅰ型、Ⅱ型断裂的研究，已有研究已经取得了很多进展，也有很多新构型试件被岩石力学学会推荐使用[7]。如SR(圆短棒试件)、CB(人字形切槽三点弯曲圆棒试件)、CCNBD(人字形切槽巴西圆盘试件)、SCB(穿透直切槽半圆盘弯曲试件)这4种进行Ⅰ型静态断裂韧度测试，但是对Ⅰ型、Ⅱ型复合型断裂的理论试验研究较少，也缺少较为简单易操作的试件。但任利[8]、孙欣[9]利用水工混凝土边切槽试件对岩石断裂的Ⅰ型、Ⅱ型复合型断裂进行了研究，可以实现Ⅰ型与Ⅱ型的转变。

本文根据最大拉应力准则(MTS)，利用最大拉应力准则及M积分对水工混凝土边切槽试件进行三维数值模拟，模拟不同角度预制裂纹的裂纹扩展方式，与室内试验结果进行对比，验证了数值模拟的正确性。同时，对裂纹前缘的应力强度因子以及裂纹扩展长进行定量分析，为岩石的Ⅰ型与Ⅱ型复合断裂的试验与数值模拟提供一定的参考。

1 计算理论

1.1 M积分

M积分可以方便地计算裂纹尖端的应力强度因子，M积分表达式为：

(1)

1.2 最大拉应力准则(MTS)

利用最大拉应力准则(MTS)对裂纹的扩展进行模拟，最大拉应力准则以环向最大拉应力方向作为裂纹的起裂方向，裂纹尖端的应力分量在极坐标系下的表达为：

(2)

环向应力可以表示为：

(3)

2 计算方案及计算参数

根据文献[8]中的计算方案，模拟及网格图见图1。其中，跨高W=90 mm，S/W=0.5，a/W=0.4，裂纹长度a=36 mm，预制裂纹与竖直方向的夹角为α。本文按照文献[8]中的工况进行计算，分别取α=0度(纯Ⅰ型)、10度、20度、30度、45.9度(纯Ⅱ型)进行分析计算。其中，材料的弹性模量E=5 GPa，泊松比μ=0.25。

图1 计算模型及模型网格Fig.1 Computational model and model grid

3 计算结果

3.1 裂纹扩展过程

不同预制裂纹角度的裂纹扩展过程见图2。图3为本文数值模拟与室内试验的对比图。

由图2可以发现，数值模拟呈现以下规律：

1) 当预制裂纹角度为0度时，预制裂纹呈现纯Ⅰ型扩展，裂纹扩展为一个平面。

图2 裂纹扩展过程数值模拟Fig.2 Numerical simulation of crack growth process

图3 本文数值模拟结果与文献[8]的对比Fig.3 Comparison of numerical simulation results in this paper with reference[8]

2) 预制裂纹的角度越大，Ⅱ型分量也就越大，翼裂纹与原预制裂纹的夹角也越大。由此可知，Ⅱ型分量与Ⅰ型分量的比值越大，裂纹扩展路径越弯曲。

3) 将室内试验与本文的数值模拟进行对比发现，本文的数值模拟方法得出的结果与室内试验相似度极高，说明Franc3d在模拟Ⅰ型、Ⅱ型复合型断裂以及裂纹扩展方面有着巨大的优势。

3.2 裂纹尖端的应力强度因子分布

为定量化研究水工混凝土边切槽试件裂纹尖端的应力强度因子分布，以正确认识Ⅰ型、Ⅱ型复合型断裂规律，定义在荷载P作用下的Ⅰ型、Ⅱ型应力强度因子分别为：

(4)

(5)

式中YⅠ与YⅡ分别为Ⅰ型、Ⅱ型无量纲化应力强度因子，与裂纹长度、跨高、预制裂纹角度有关，定义裂纹前缘一周的距离为1，绘制不同工况下的Ⅰ型、Ⅱ型无量纲化应力强度因子随相对距离的变化，见图4。

图4 无量纲化应力强度因子Fig.4 Dimensionless stress intensity factor

由图4可见，对于Ⅰ型应力强度因子来说，裂纹中部的应力强度因子大小大于靠近试件边缘，这与Bazant 和 Estenssoro的研究一致[10-11]，预制裂纹角度越大，Ⅰ型应力强度因子越小。值得注意的是，当预制裂纹角度为45.9度时，Ⅰ型应力强度因子几乎为0，而Ⅱ型应力强度因子不为0，此时试件处于纯Ⅱ型受载。

对于Ⅱ型应力强度因子来说，预制裂纹角度越大，Ⅱ型应力强度因子的绝对值先增大后减小。值得注意的是，当预制裂纹倾角为0度时，Ⅱ型应力强度因子为0，而Ⅰ型应力强度因子不为0，且为最大，此时为纯Ⅰ型加载；而Ⅱ型应力强度因子绝对值最大为倾角30度时，但是Ⅰ型应力强度因子则不为0，可见纯Ⅱ型应力强度因子并不是Ⅱ型应力强度因子绝对值最大的时候。

3.3 裂纹尖端的扩展长度

为探究裂纹尖端的扩展速度，即每步裂纹扩展长度的变化，取计算结果的前9步，每步扩展长度设置为1 mm，对不同预制裂纹角度的裂纹前缘中点的裂纹扩展长度进行了汇总，结果见图5。

图5 裂纹尖端扩展长度随扩展步的变化Fig.5 Variation of crack tip propagation length with propagation step

由图5可见，裂纹前缘的扩展长度随扩展步呈现线性增大的趋势，表明在前期扩展过程中呈现匀速扩展。对比不同角度的裂纹扩展规律，预制裂纹倾角越大，相同计算步内裂纹的扩展长度越短，表明Ⅱ型分量越大，裂纹的扩展速率越慢，而纯Ⅰ型的裂纹扩展的速率最快。

4 结 论

1) 利用Franc3d软件，根据最大拉应力准则(MTS)对不同预制裂纹倾角的水工混凝土边切槽试件进行了数值模拟，将试件的裂纹扩展形态与室内试验结果进行对比，验证了数值模拟的准确性，表明Franc3d软件在岩石裂纹扩展中的优越性。

2) 预制裂纹的角度越大，Ⅱ型分量也就越大，翼裂纹与原预制裂纹的夹角也越大。

3) 应力强度因子呈现预制裂纹中间数值较大而靠近试件表面较小的规律，预制裂纹倾角越大，Ⅰ型应力强度因子越大，而Ⅱ型应力强度因子呈现先增大后减小的规律。

4) 裂纹前缘的扩展长度随扩展步呈现线性增大的趋势，Ⅱ型分量越大，裂纹的扩展速率越慢，而纯Ⅰ型的裂纹扩展的速率最快。