数列学习中哲学思想的挖掘与启示

汪海燕

(浙江省台州市黄岩区第一职业技术学校 浙江台州 318020)

恩格斯指出：“数学是辩证的辅助工具和表现方式，没有数学，看不到哲学的深度；没有哲学，看不到数学的深度，而没有两者，人们就什么也看不透。”恩格斯的这一论述指明了数学和哲学之间的关系，把数学划归到了哲学范畴。而哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，是世界观和方法论的统一。对于数学，著名数学家克莱因说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心情最独特的创作；哲学能使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上一切。”因此，教师在数学教学时，不能仅体现基础工具的价值性、广泛的应用性，还要体现文化素养、思维发展的价值。从更高层面而言，数学教育还应体现哲学价值，让学生获得真正的智慧。然而，数列学习是发展学生思维能力、凸现哲学思想的绝好素材。因此，笔者通过数列的学习，谈谈其蕴含的哲学思想及启示。

一、数列学习中，“变”与“不变”

唯物辩证观点认为，“变”与“不变”是针对事物运动和相对静止两种状态的分析，不变是相对的，变是绝对的。[1]但它们在一定条件下，又可相互转化。例如，数列学习中的等差或等比定义：如果一个数列从第2项起，每一项an与它的前一项an-1的差(比)等于同一个常数d。

那么，这个数列就叫做等差(比)数列。教师在教学时，如果仅仅让学生记住或运用上述这些知识，而没有让学生体会到“变”与“不变”这一深刻的哲学思想内涵，还远远不够。否则，结果只能导致学生在求等差数列(或等比数列)的通项公式an、求和sn上打转，知识内涵得不到深刻理解，联系的思维网络难以建构。不管是等差数列、等比数列，还是一般的数列，在不停变化的每一项之间，总会存在某些规律性的、本质的东西。

案例1：数列单元复习时，等差数列等价定义的构建。

教师通过引导学生推导这些等价公式，总结出等差数列的递推公式、通项公式、前n项公式在不同题目中的运用，体会定量与变量之间的关系，促使知识转变为能力。

二、数列学习中，“个性”与“共性”

唯物辩证法认为，事物之间是具有联系的，普遍存在“个性”和“共性”，二者互相依存。哲学上认为共性是对事物个性的综合，根据个体的特点展现出不一样的个性，这就是哲学上常说的“共性寓于个性之中”。同理，如果离开了共性的参考，个性也就不存在了。那么，如何运用这一哲学思想去认识数列学习中的有关知识呢？

案例2：教材习题的一个教学片断：

设等差数列的{an}的前n项和公式，求它的前3项，并求它的通项公式。教师在教学时，在实施了多种解法后，又引导学生进行变式。

变式1：若将上述题设条件“等差数列”去掉，又如何求其通项公式呢？

问题出示后，学生很自然的想到前n项和Sn与第n项an的关系式的运用。

又由于a1=8=10×1-2。因此，数列的通项公式an=10n-2。

此时，有一位同学S1举手说：

这时，另一位同学S2举手回答说：“当n=1时，a1=S1-S0，其中S0是没有意义的。”

同学S1又问：“既然Sn表示数列前n项和，那么，S0就表示前0项和，我们就可认为S0＝0。a1我们就不另加讨论了。”

笔者一方面惊讶于学生的创新思维；另一方面，也惊讶于学生话语中的合理成份。事实上，“S0＝0”符合我们的习惯思维。那么，如何解释或促使学生正确理解呢？我把问题又作如下变式，让学生去思考、去讨论：

学生通过解答尝试，此时，他们终于发现了a1=S1=10，而不再满足：

为什么呢？矛盾的出现，从而进一步激活了学生的情感结构，学生的学习兴趣也高涨起来，通过热烈讨论，找出S0＝0不合理的原因：在等差数列中，我们知道公差d是从第2项开始定义的，即

到此，学生明白“a1=S1”与“an=Sn-Sn-1(n≥2)”的关系是个性与共性的关系。有时，个性会淹没共性；而有时，个性会得到张扬。随着笔者教学时这种哲学思想的渗透，惊喜地发现学生在求数列通项公式时，不再一味地套用公式，而是从更高层次去思考面临的问题。

三、数列学习中，“局部”与“整体”

唯物辩证法认为，整体居于主导地位，整体统率着局部，具有局部所不具备的功能；局部在事物的存在和发展过程中处于被支配的地位。在数列中，潜在着许多内容和关系，涉及到“局部”与“整体”问题。教师在教学时，如果能善于发掘教材内容中“局部”与“整体”的潜在关系，引导学生广泛联想，去变换、去探索、去创造。同时，使学生对某个“局部”内容的“好感”转移到学习的“整体”内容，拓展知识的学习和掌握。例如，我们在求解数列极限值时，要先观察数列，找到数列的规律，对其进行定性，掌握数列整体规律，在结合规律中的局部定义进行讨论，这类问题就可以迎刃而解了。[2]

案例3：求下列数列的极限

数列的极限的定义是：若当n无限增大时，xn无限趋近于某一固定的常数A，则A就为数列{xn}的极限。这就意味着求数列{xn}的极限，只须看当n无限增大时，xn是否无限趋近于某一固定的常数A？数列{xn}中的有限项不管数值怎么变化，都不影响它的极限值，即以上两个数列的极限都是0。

到此，学生掌握了此类问题的实质和规律，若遇到类似的问题，也就能迎刃而解。同时，教师通过探索创造，激发了学生的学习兴趣，从而培养了学生思维的独创性。

四、数列学习中，“特殊”与“一般”

“特殊”和“一般”是中学数学重要理念。典型例题和数学概念就体现了这一点。我们可以把数学概念和定律看做是一般问题，典型例题看做是一般规律的个性化。[3]典型例题是数学教师经常运用到的素材，往往会通过观察特殊图形、特殊取值等方式进行解题。数列中的定义域问题，是通过把问题特殊化来进行研究，研究特殊取值对数列的影响，从而帮助学生加深对知识点的了解和运用，对培养学生举一反三的数学思维大有裨益。“从特殊到一般，再由一般到特殊”正是这一数学思想的具体体现。数列学习中，特殊与一般这一重要的哲学思想普遍存在与渗透。

例如，等差数列通项公式的推导

即对任何的n∈N*都有。我们如果运用这一思想方法进行解题分析、探求思路，可使学生迅速寻找到问题解决的思路。

案例4：设数列a1，a2…，a6是各项均不为零的等差数列，且公差，能否将此数列删去两项，使得余下的项组成的数列(按原来的顺序)是等比数列？若能，写出这个等比数列；若不能，请说明理由(江苏高考卷改编)。

不妨从特殊的或简单的情形入手试试：

能不能从上面的讨论中找到有价值的“东西”呢？不难发现：上述两种情形中的问题含有原等差数列中的连续三项，如果等差数列中的连续三项成等比数列，则其公差d一定为0呢？设为等差数列中任意连续三项，它们若成等比数列，则有

因此，要想使删去两项后余下的四项成等比数列，必须保证余下的四项中不含原等差数列中的连续三项。根据等差、等比数列的共性，讨论以下几种特殊取值：

情况(3)中的数列若成等比数列,

综上可述，不能将此数列删去两项，使得余下的项组成的数列(按原来的顺序)是等比数列。

实践出真知，笔者多年的数学教学经验再一次诠释了哲学和数学密不可分关系。学生对数学知识的掌握能力固然重要，但是更重要的学生对于数学问题的分析能力，只有精准的审题、举一反三的解题思维，才是数学考试的制胜法宝。

五、数列学习中，“量变”与“质变”

“量变”和“质变”是事物发展过程中历经的阶段。其中，“量变”是更容易被人们观察到的数量和程度上的变化。比如，多少、快慢等。“质变”则是不易被人们观察到的本质的变化。哲学上把这二者看作是辩证统一的关系，量变是质变的基础，质变是量变的必然结果。在数列学习中，有相当多的学生对于“0.9=1”觉得无法理解，总认为0.9应该小于。事实上，这就是在教学中没有有效渗透“量变”与“质变”这一哲学思想的后果。对于0.9应该小于，学生的合理解释是0.9＜1(1个9)；0.99＜1(2个9)；0.999＜1(3个9)；……；0.999……＜1(无穷个9)。不可否认，学生的解释有其合理的成份，但却是错误的。因为(n个9，n有限)(无限个9)。

事实上，这种情况无穷相加，接近于1和有限相加接近于1具有本质的区别。有限发展到一定境界下，将会进入另一个循环，这就是无限理念的体现。无限理念是数学思维的重要一环，通常无限数目相加得来的和，并不一定是某一个具体的代数，还可以是一个无穷值，我们把它称之为“部分和”的极限，即无限个相加不再是有限个相加的自然过渡，而是发生了质的变化。当然，量变和质变既有区别，又有联系，两者之间有辩证关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学教学工作中起重要作用。对任何n个9，n有限，都小于1，发生的都是量变，不是质变。但是，不断地让n增加，经过无限过程之后，0.9=1，发生的是质变了。这就是借助极限法从量变认识质变。

教师在教学中，必须让学生明白有限个相加与无限个相加的本质区别，即要明白从有限个相加到无限个相加，发生的不仅仅是量变，而重要的是发生了质变。否则，发生下面的错误是难免的，即认为

六、结束语

哲学是反映客观世界发展规律的学科，也是新时代数学教学理念的源泉。因此，数学教师在教学中，要把数学思维和哲学思维进行辩证统一，指导学生体会数学中的千变万化，抓住学习的重点，培养学生严谨、科学的数学学习习惯。由于在人们学习数学和运用数学解决问题时，要不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、演绎证明、反思建构等思维过程。而哲学思想，特别是辨证思想却参与整个思维过程，使之做出合理的思考与判断，形成理性思维。而且也是教学中贯彻知识性和思想性相统一原理，教学与育人相统一原理的需要，是数学学科道德的要求。因此，教师在数学教学中，要讲推理，更要讲道理，并且还要讲哲理。