搭建脚手架，引导学生自主建构—— 以“勾股定理逆定理的证明”为例

◎ 厉斯亮

通过搭建“脚手架”来帮助学生自己完成对知识的构建是建构主义学习理论的一种教学模式。建构主义理论源于认知心理学，它指出学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单、被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构与学生个人的知识基础、经验背景有关，是无法由他人来代替的。因此教学中，教师的角色是学生建构知识的支持者和引导者，要为学生建构知识提供帮助和引导，应当激发学生的学习兴趣和学习动机；学生的角色则是教学活动的积极参与者和知识的积极建构者。“脚手架”教学是以苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”的理论为依据的。维果茨基指出学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平；另一种是学生可能的发展水平，两者之间的差距就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，即教学创造着最近发展区。脚手架教学中的“脚手架”应根据学生的最近发展区来建立，通过脚手架的作用不停地将学生的认知从一个水平引导到另一个更高的水平。

笔者以“勾股定理逆定理的证明”为例，来阐述基于学生的最近发展区，搭建脚手架、引导学生自主建构的必要性和优越性。

一、问题的提出

“勾股定理的逆定理”是沪教版《数学》八年级第一学期第十九章“几何证明”中的一项教学内容。本节课之前，学生已经学习了三角形全等的判定和性质以及勾股定理，这部分内容旨在以（直角）三角形为研究对象，演练逻辑推理。

“勾股定理的逆定理”一课是在学生学习了勾股定理的基础上，引导学生猜测勾股定理的逆命题是否为真。因此，本节课的教学重点是：导出和证明勾股定理的逆定理，并进行初步运用；引进勾股数组。其中，“勾股定理逆定理的证明”需要在原有图形之外自主建构一个新的直角三角形，这样的几何证明方法是学生从未遇到过的，因此成为本节课一个突出的教学难点。

对于勾股定理逆定理的证明，教材是如下编排的。

如果勾股定理的逆命题是真命题，那么就可以根据边的情况来判定这个三角形是否是直角三角形。

现在，我们来证明勾股定理的逆命题是真命题。

已知：如图1所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2。

求证：△ABC是直角三角形。

图1

分析：直接证明△ABC是直角三角形是困难的。如果有一个直角三角形A'B'C'，∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么斜边A'B'就满足A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2。只要证明△A'B'C'≌△ABC，就能推出∠C=∠C'=90°。

证明：作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么

A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2（勾股定理）。

∵a2+b2=c2（已知），∴A'B'2=c2（等量代换）。

∵边长是正数，A'B'=c。

在△ABC与△A'B'C'中，

BC=a=B'C'

CA=b=C'A'

AB=c=A'B'

∴△ABC≌△A'B'C'（S.S.S），

∴∠C=∠C'=90°，

即△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）。

于是我们得到勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

在以上的证明过程中，需要学生自主构造一个直角三角形，然后运用勾股定理和全等三角形判定定理证明已有的三角形与该直角三角形全等，来得到已有三角形也是直角三角形。

学生在经历了七年级几何说理、八年级几何证明的基础上，已经积累了一定的几何学习经验，会添加常见的辅助线。对于大部分学生来说，观察发现图中存在的全等三角形并加以证明并不是很难，在此基础上由一个三角形是直角三角形得到另一个三角形也是直角三角形的经验也完全具备。但是以上勾股定理逆定理的证明，则是需要在问题的已有图形之外自主构造一个三角形，这样解决问题的方法在学生之前的几何学习中从未出现，学生缺乏相应的学习经验的积累，将是一个巨大的挑战，因此成为本节课的教学难点。

二、不同教学方式实践

针对“勾股定理逆定理的证明”这一教学内容和教学难点，笔者曾经有意识地进行过多次教学实践，具体有以下三种教学方式。

（一）以教师讲授为主的教学设计

为了帮助学生形成证明的思路，教师首先指出，由已知条件推导结论，现在没有直接的依据。再回顾确定一个直角三角形需要什么条件，引导学生注意到由两边可确定直角三角形。然后进一步分析已知的条件及待证的结论。现已知△ABC的三边长以及它们之间的数量关系，而由其中两条边可构造一个直角三角形，于是要证明△ABC是直角三角形，就只要证明△ABC与所作的直角三角形全等。

这样的教学设计以教师的分析讲解为主，学生则侧重于被动地接受理解。从学生的课堂反映来看，学生们觉得听懂了，但从后期的反馈测试结果来看往往是上课的时候觉得听明白了，下课一转身就忘记了。这其实与学生在此环节的教学过程中思维活动的参与度比较低有关，因此对这一教学难点的印象不够深刻。

（二）教师放手由学生自主探究的教学设计

随着我校在张人利校长的倡导下开始后“茶馆式”教学实践，笔者还尝试过放手由学生自主探究。张校长提出的后“茶馆式”教学内涵丰富，有两个关键干预因素：一是学生自己学得会的教师不讲；二是要尽可能暴露学生的“潜意识”，尤为关注“相异构想”的发现与解决。既然学生自己能学会的教师不讲，那么如何指导学生自己先学呢？可以组织学生先读教材自学；也可以给出相应的题目让学生尝试先做。教师组织学生通过先读（阅读教材）来自学，或者组织学生先做，即给出勾股定理逆命题，要求学生尝试自己证明，但教学效果都不太理想。学生先读，即时反馈是学生读懂了接受了，但对这种证明方法的理解并不深刻；而学生先做，更是苦思冥想后仍然毫无头绪，还是得回到教师讲授环节。

笔者事后反思这一段教学实践，恰恰是没有很好地分析学生情况。本节课的教学难点超越了学生的能力、是学生自己无法突破、自己无法学会的，因此在教师不加干预和引导的情况下组织学生先学基本就是无效的。这时候学生就需要教师的引导和帮助。

（三）基于脚手架支撑的教学设计

在总结了以上两种教学设计的失败教训和进一步学习体会后“茶馆式”教学思想、建构主义教学理论，尤其是其中有关搭建脚手架的方法以后，笔者认识到：勾股定理逆定理的证明过程中，他们的困难是没能形成适当的联想。如何帮助学生，从他们的认知规律出发，形成自主构建直角三角形的联想呢？笔者选择了设计问题串、搭建脚手架的办法，于是又有了如下的教学设计和实践。

复习引入，渗透方法。

（1）画一个三角形，使两边长分别为3和4，夹角为90°。

（2）请说出你画的直角三角形的斜边长为多少，为什么？

（3）再画一个三角形，使它的三边长分别为3、4和5。

想一想，这个三角形最大的角是多少度？看一看，这两个三角形有什么关系？

再画一个三角形，使它的三边长分别为5、12和13。

再想一想，这个三角形最大的角是多少度？

算一算：32+42=？52+122=？52=？132=？你能发现什么？

学生自己得出勾股定理的逆命题。推广到一般情况，完成逆定理的证明。

图2

已知：如图2所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c且a2+b2=c2。求证：△ABC是直角三角形。

这次的教学设计从复习勾股定理开始就为逆定理的证明方法埋下伏笔，不再是简单地对定理内容的叙述，而是直接通过具体问题来运用勾股定理，在逐渐深入的小问题中，达到对自主构造直角三角形，以及证明三角形全等的方法的渗透，最后把问题推广到一般化，就得到了勾股定理逆定理的证明。这里其实笔者就做了两件事：一是了解学生的现有知识基础和水平；二是搭好脚手架，引导学生在已有基础上“跳一跳”，而达到“摘到桃子”的目的，即突破本节课教学难点的目标。

三、不同教学方式效果对比

笔者对比上述三种不同的教学方式（见表1），并在研究过程中做了两次测试，一次是当堂测试；另一次是两周后的延迟测试。测试问题包括对勾股定理逆定理的运用，也包括对勾股定理逆定理的证明。从测试反馈来看，无论采用哪一种教学设计，学生对勾股定理逆定理的运用都掌握得比较理想，几次测试的得分率没有明显差异；但是对勾股定理逆定理本身的证明，当堂测试结果仅存在细微差异，而延迟测试的结果则非常悬殊。这说明了前两种教学方式中，学生没有真正理解和掌握定理的证明方法，而通过搭建脚手架的方法，学生真正把证明方法内化成了自己的东西，实现了自主建构。

这里所说的通过“搭建脚手架，引导学生自主建构”能帮助学生更有效地突破教学难点，取得更好的教学效果，不仅仅是针对学生的学业成绩，而是在三维教学目标下分析学生的学习是否实现了增值。上述勾股定理逆定理证明例子的增值就不仅仅体现在知识与技能上，更多地体现在学生学习的过程与方法上。

表1 “勾股定理逆定理证明”的三种教学方式比较

从课堂上学生的学习状态来说，用之前的教学设计时学生不是抓耳挠腮干瞪眼，就是低眉顺眼听教师讲解。而采用了问题串脚手架的教学设计后，学生的思路打开了，变得有话可说、言之有物，真正领会了这种证明方法，能自己实现对知识的建构。

四、进一步思考

搭建脚手架，为组织学生先学提供了一种模式。后“茶馆式”教学从学生的认知规律出发，以提高教学效能为目标，提出了学生自己能学会的教师不讲，教师要讲学生说不出的话。既然学生自己能学会的教师不讲，那么要给学生自己先学的机会。如何组织学生先学呢？有时可以组织学生先读，即通过阅读教材来自己先学，实现学生已有经验与经典文本的对话；有时可以组织学生先做，即直接把教学任务以习题的形式给学生尝试先做，实现学生已有知识与新问题的挑战——这些经验在代数课的教学上比较理想。对于几何内容，以上两种先学的方法可能并不适合，尤其学生要深入理解几何证明中的方法会有较大的困难。而搭建脚手架正好解决了帮助学生先学、自己完成对知识的构建这一问题。如上述案例中的脚手架就比较好地完成了这一任务。

设计脚手架，是对教师实践智慧的一大挑战。巧妙地设计适当的脚手架来帮助学生自己构建知识体系，要求教师对学科知识和学生情况都有精准的把握和充分的了解。一方面，需要通过搭建脚手架来构建的知识通常来说是学科中的核心知识，至少也是某一节课的教学重点或难点，而不会是一些细枝末节的知识。因此，如何设计脚手架首先就是对教师本体知识的一次检验。另一方面，搭建脚手架的目的是为了“让学生跳一跳从而摘到桃子”。教师在设计脚手架时必须考虑学生现有的学习水平。本案例中原先教师一讲到底，那时学生不用跳就有桃吃；后来要求学生在没有任何启发的条件下自己完成对勾股定理逆定理的证明，那又给学生设置了不可能完成的任务。这两种教学设计的失误究其原因是没有对学生的学习水平进行细致充分的了解，也没有对勾股定理逆定理的证明方法进行更深入、透彻的研究。由此可见，搭建的脚手架必须直接服务于教学核心问题而且难度设计恰当，才能让学生跳一跳，然后摘到桃子，这样既能激发学生思考的积极性，也能有效地促进学生智力的发展，还能切实提高课堂教学的有效性。

在针对“勾股定理的逆定理”这一课的教学实践中，三种教学设计区别甚大，也带来了教学效果的显著差异。从中笔者更加深刻地体会到，巧妙搭建脚手架帮助学生自己完成对知识的建构对于提高课堂教学有效性的重要作用。教学既是一门科学，同时也是一门艺术。了解学生实际的知识和能力水平，找准学生的最近发展区，准确地把握设问的难度，搭好教学的脚手架，是值得教师持之以恒地努力探索与实践的。