欧拉线的证明方法

张柱 马晓霜

【摘要】三角形的“三心”是平面几何的重要内容，本文基于维果斯基最近发展区理论，通过高等教育中射影几何内容对欧拉线进行证明，为学生构建高一级的发展水平.引导学生积极思考、探索交流.德萨格定理是证明共线共点问题的优质工具，本文首先给出德萨格定理的证明方法，然后根据德萨格定理证明三角形“三心”共线.期望此种证明方法能够成为引发学生积极思考、努力探索的教学素材.

【关键词】德萨格定理;歐拉线;三角形

一、前 言

在人教版初中数学教材中引入了三角形等平面几何知识，其中便涉及了三角形的“三心”.三角形的“三心”指的是三角形的外心、垂心和重心，它们是三角形的重要性质，但是在中学平面几何中教师往往只关注于学生如何利用三角形“三心”的性质解决平面几何问题，而对三角形“三心”的联系的关注较少.然而三角形的“三心”之间也存在一定的联系，欧拉在《三角形几何学》中提出三角形的“三心”位于同一直线上，故而将这条直线称为欧拉线.虽然欧拉线在初中教科书中没有具体涉及，但欧拉线却是一个完美的数学文化素材，对于在课堂中渗透数学文化、培养学生核心素养有着非常积极的作用.因此在学习完三角形内容之后教师可以向学生介绍欧拉线的由来以及欧拉线的证明方法.关于欧拉线的证明方法较多，证明思路各异，教师可以引导学生自行证明，最后再补充几种证明方法，期望通过此环节激发学生积极思考、勇于探索的精神.目前关于欧拉线的证明方法较多，李善明和魏春强总结了欧拉线的证明方法包括：几何综合证法、位似变换证法、向量证法和解析证法.[1]这些方法全部都是基于中学生现有知识水平的证明方法，目的在于让学生灵活运用所学知识解决问题，但对学生思维能力的提高作用效果不明显.根据维果斯基提出的最近发展区理论.教育教学要着眼于学生的最近发展区，给学生提供一些带有难度的知识，为学生发展提供支架.[2]德萨格定理在高中知识体系中没有涉及，对于中学生来说是具有一定难度的新知识，但是德萨格定理是证明共线共点问题的重要工具，所以在中学几何教学过程中，教师可以向学生介绍德萨格定理，但是不需要他们掌握定理的证明方法.故本文将应用德萨格定理证明欧拉线，帮助学生构架下一水平发展区，通过此种证明方法激发学生积极思考、勇于探索的精神，增强高等几何与中学几何之间的联系.

二、德萨格定理的证明

德萨格定理：设有两个三点形，它们对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线.[3]

由此可见：此种证明方法步骤简单、思路清晰，其实就是对德萨格定理的直接运用，学生理解的困难更多的是来自德萨格定理本身的证明方法和一些新的概念，比如三点形.此时学生便会产生疑问，三点形和三角形有什么区别.当然这些知识已经超越了学生现有知识水平.属于最近发展区中第二个发展水平，教师可以在教学中渗透相关内容，引导学生思考探索.最后期望教师能将这种方法引入到中学几何课堂中，帮助学生构建最近发展区，同时也渗透一定的高等几何内容，为学生今后的学习发展打下坚实的基础.

四、三角形三心的应用

三角形的三心具有几个重要性质，运用这些性质解决几何问题是初中阶段的重点内容，下面以重心为例，阐述三角形三心在几何问题中的应用.

【参考文献】

[1]李善明，魏春强.欧拉线定理证法集萃[J].内江科技，2008（11）：40，66.

[2]徐美娜.“最近发展区”理论及对教育的影响与启示[J].教育与教学研究，2010（5）：14-16，23.

[3]梅向明，刘增贤，王汇淳，等.高等几何：第三版[M].北京：高等教育出版社，2008.