数学方法在计算全要素生产率中的应用

张文哲 余玲玲

【摘要】 本文从数学角度对全要素生产率（TFP）的计算方法进行阐述，描述所用到的数学工具.思想方法以及技巧，熟悉该领域的数理方法，为学习更高级的经济学理论打下基础.

【关键词】数学方法;全要素生产率;应用

1 引 言

关于全要素生产率（TFP）的研究，除了知道它的具体含义，一个很重要的问题是怎样去计算它.这个问题目前仍然可以讨论，比如对于国内TFP增长率的估算存在分歧，不同学者之间测算结果大不相同，国内外目前没有一个统一的测算标准.本文的焦点不在于讨论TFP的内涵以及测算的分歧，而在于关注目前计算全要素生产率所用到的数学方法和工具，从增长核算法、生产函数法、随机前沿分析法（SFA）以及数据包络分析法（DEA）这四种主要方法分类阐述TFP变动背后所涉及的数学理论和方法.

2 增长核算法

从投入产出率的角度出发，需要假设生产函数的形式.设一生产周期内有投入向量X≡x1，x2，…，xnT，对应产出Y，时间变量t，以及动态生产函数Y=f（X，t）.

3 生产函数法

通过建立数学模型描述投入变量与产出变量之间的关系，实际上是数学中函数思想在经济学中的一个重要应用.在描述经济增长时，通常涉及增长核算方程，一般的西方经济学教材中主要介绍的是C-D生产函数Y=AKaN1-a，其中Y为总产出，K为资本投入，L为劳动投入，A为经济技术状况，a为0到1的参数.在计算TFP的变动时，通常会用“索洛剩余”的方法来测算，具体是首先采用取对数的技巧将函数乘积形式转化为对数加减形式，再使用最小二乘法来估计参数.

通过观察以上推导过程可以看到高等数学的微分学理论在经济学领域中的应用，具体来说首先是建立生产函数，然后使用多元函数的偏导数理论，通过结合多元复合函数的求导法则以及二阶泰勒展开技巧得出所对应的增长率公式.

4 随机前沿分析法

关于参数和随机变量的估计，可使用极大似然估计（ML）和修正的普通最小二乘法（COLS），也可通过广义矩估计、贝叶斯估计等方法来改进随机前沿分析法.此部分内容较多涉及概率统计方面的技巧方法.

5 数据包络分析法

从投入-产出的二维几何平面上看，线性回归模型试图通过一条直线来拟合实验数据，而数据包络分析（DEA）方法则通过多个平面相交将离散的数据点紧密的包络在一起.

6 总结

不同于TFP的实证研究，本文从数学角度初步介绍和分析了计算TFP的方法，主要讨论了四种方法，分别是增长核算法、生产函数法、随机前沿分析法和数据包络分析法.前三种方法为参数法，通常首先是利用函数的思想建立数学模型，通过模型建立各经济变量之间的联系.然后通过数学变换以及微积分理论进行分析，得到特定模型下的TFP增长率计算公式;而DEA方法则是非参数的，它利用了集合的思想建立生产可能集，然后由此引入距离函数，再通过线性规划方法来估算，特别是使用Malmquist生产率指数得到综合生产率指数，使得TFP的变动得以刻画.

本文的讨论希望能够增进对于TFP领域数理方法和理论的了解，为学习更高级的经济学理论打下基础.

【参考文献】

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