超几何分布、二项分布与正态分布的区别与联系

郭婧 李强

【摘要】人教A版选修2-3中介绍了超几何分布、二项分布和正态分布，前两者属于离散型随机变量服从的分布，后者属于连续型随机变量服从的分布.实际中的许多问题都可以利用这三个概率模型来解决.区分前两者的关键是看属于“不放回”模型还是“有放回”模型.同时，随着产品数量的增加，超几何分布越来越趋近于二项分布;随着试验次数的增加，二项分布越来越趋近于正态分布.从而三者在极限方面实现统一.

【关键词】超几何分布;二项分布;正态分布;极限

【基金项目】山东省教育学会科技教育专项课题：基于虚拟现实的高中数学翻转课堂教学模式研究（课题号18-KJJY-0074）.科技部国家重点研发计划：流域水系分级嵌套耦合大规模水文模拟并行算法设计（No.2017YFB0203102）.

一、总述

人教A版选修2-3中介绍了超几何分布、二项分布和正态分布，前两者属于离散型随机变量服从的分布，后者属于连续型随机变量服从的分布.在实际教学中发现学生辨别这些分布是难点，或者即使能辨别却无法从本质上认识它们.本文介绍三种分布的区别与联系，来帮助学生克服此难点.

二、超几何分布与二项分布的区别与联系

超几何分布是“不放回”情境中的古典概型，二项分布是“有放回”情境中的n次独立重复试验概型.如教材习题2.2B组第三题：某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地抽出3件进行检验，问：当n=500， 5 000， 50 000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？设抽取到的次品数为X.若以有放回的方式抽取，抽取3次相当于做了3次独立重复试验，则X：B（3，2%），故P（X=1）=C13×2%×（1-2%）2≈0.057 624.若以不放回方式抽取，这个问题回归到古典概型，X服从超几何分布.n=500时，次品数是500×2%=10，P（X=1）=C110C2490C3500≈0.057 853.同理可得n=5 000时，P（X=1）=C1100C24900C35000≈0.057 647.n=50 000时，P（X=1）=C11000C249000C350000≈0.057 626.由此可见，随着产品数n的增加，超几何分布的概率是越来越接近于二项分布的概率的.此结论也可以通过以下表格验证：

三、二项分布与正态分布的区别与联系

二项分布是离散型随机变量服从的分布，关注随机变量取某一个值时的概率;正态分布是连续型随机变量服从的分布，关注随机变量在某一范围的概率，存在于生活中的方方面面，如“长度测量的误差”“某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量”“在一定条件下生长的小麦的株高、穗长”等等都服从正态分布.但是貌似毫无关联的二项分布与正态分布，存在以下联系：

四、总结

超几何分布、二项分布与正态分布是三个非常重要的、应用广泛的概率模型.实际中的许多问题都可以利用这三个概率模型来解决.区分前两者的关键是看属于“不放回”模型还是“有放回”模型.同时，随着产品数量的增加，超几何分布越来越趋近于二项分布;随着试验次数的增加，二项分布越来越趋近于正态分布.从而三者在极限方面实现统一.

【参考文献】

[1]李勇.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]丁曼.超几何分布与二项分布的联系与区别[J].中国课程辅导，2010（7）：115-116.

[3]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]汪嘉岡.现代概率论基础[M].上海：复旦大学出版社，2005.