2019年全国Ⅰ卷第21题模型分析及解法探讨

(山东省莱阳市第一中学,山东 莱阳 265200)

1 引言

物理公式与物理图像相结合是一种重要题型,也是高考考查的重点及热点。在高中阶段我们常见的运动学和动力学图像有v-t、x-t、a-t、F-t、F-a图像等。在2019年高考全国Ⅰ卷的第21题中，命题专家独辟蹊径,采用小球在竖直的轻弹簧上运动的常规模型，结合a-x图像进行设问考查,难度较大,不少学生找不到切入口,导致做错。

每一个具体的物理问题都会对应着一定的物理模型。对于某些情景比较复杂和生疏的问题,如果能够根据具体的现象和过程,把它还原成一定的物理模型,这对于下一步能否正确求解有着极为重要的作用。因此，建立一个合适的物理模型,就等于已经揭开了掩盖现象真相或过程本质特征的面纱,找到了一把解题的“金钥匙”。本文就本题涉及的基本模型及a-x图像所含的规律、解题方法进行阐述,希望能给读者一些启示。

2 原题呈现

图1

在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图1中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图1中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则( )。

A.M与N的密度相等

B.Q的质量是P的3倍

C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

3 模型解读

本题涉及的模型是我们最常见的小球在竖直的轻弹簧上运动模型，弹簧的伸缩现象有多个衔接点和子过程,涉及小球与弹簧两个物体,解答中有三个关键点：(1) 把握各个临界性衔接点(原长点、平衡点、最大压缩点等)的特点,能够写出合适的瞬时性方程;(2) 把握各运动“子过程”的特点,能够写出合适的过程性方程;(3) 尽量应用运动的“对称性”,简化分析过程。

下面以物体由高处自由下落、压缩弹簧的情况为例,做简要分析(如图2)。

图2

(1)A→B:物体在重力作用下做匀加速运动,速度增大，物体的重力势能转化为动能，最后以速度v接触弹簧。

B→O:压缩弹簧,弹力变大，但仍然小于mg,物体所受合力方向向下,加速度减小,速度增大,做变加速运动，物体的重力势能转化为物体的动能和弹簧的弹性势能。

平衡位置O:F弹=mg,a=0,速度为最大值vm。

O→D:压缩弹簧,弹力继续变大，且大于mg,物体所受合力方向向上,加速度增大,速度减小，物体的重力势能与动能一并转化为弹簧的弹性势能。

最大压缩点D:加速度最大，am>g,速度为0,弹簧的弹性势能最大。

之后物体向上返回,各物理量的特点对称于下落过程。

(2) 以平衡位置O为中心的OB与OC段为对称区域，对称区域中的各对称点对应的速度、合力、加速度、能量等大小均相等。其v-t图像如图3所示。

图3

4 分析与解答

(4) 对于D选项:物体P和Q分别在弹簧上做简谐运动,由在平衡位置a=0可知：物体P和Q振动的振幅A分别为x0和2x0,即物体P所在弹簧最大压缩量为2x0,物体Q所在弹簧最大压缩量为4x0,则Q下落过程中,弹簧最大压缩量是P物体最大压缩量的2倍,D选项错误。