读读欧拉，他是所有人的老师

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如果让你在五秒钟之内说出几个数学家的名字，也许你会说华罗庚、陈景润、苏步青这些中国数学家，也可能提到数学史上公认最伟大的数学家阿基米德、牛顿、高斯，但想起今天的主角莱昂哈德·欧拉的，可能不会太多。其实，欧拉与阿基米德、牛顿、高斯同为“数学史四大天王”，可阿基米德有“撬起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果落地闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉的故事没有尽人皆知。

但是，欧拉离我们并不遥远，我们熟悉的各种数学符号如用π表示圆周率；用sin、cos表示正、余弦；用f（x）表示函数……统统是欧拉的创造；今天计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法（哈希算法），正是以欧拉函数为基础。火爆全网的李永乐老师说，欧拉提出的“欧拉恒等式”是史上最完美的数学公式。在数学史上，18世纪可称为“欧拉世纪”，而欧拉不但在数学上做出伟大贡獻，还把数学推广到了物理学、力学、天文学等领域。法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话——读读欧拉，他是所有人的老师。就让我们一起翻开欧拉这本书吧！

大师传奇

欧拉的生平

欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，他数学天赋异禀，13岁就进入巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利的精心指导。欧拉15岁就从大学毕业，16岁获硕士学位，19岁开始发表论文。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国执教，1733年，欧拉成为圣彼得堡科学院数学所的所长。1735年，彗星轨道的计算问题是一个摆在所有天文学家面前的棘手的难题。欧洲数学家们估计，解决这个问题需要几个月的时间。欧拉攻克这个难题仅仅用了三天三夜。他提出了一套计算彗星轨道的新方法，其计算的基本原则沿用至今。但欧拉累得病倒了，并从此失去了右眼的视力，那年他才28岁。

1741年，欧拉受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院担任物理数学所所长，一待就是25年之久，那也是德国历史上数学最辉煌的时期。1766年他回到了俄国圣彼得堡，没多久，他的左眼视力衰退，最后完全双目失明，但他没有因此停止研究。1783年9月18日，求出气球上升定律的欧拉在兴奋中停止了生命和计算，享年76岁。

众所周知，牛顿和莱布尼茨是“微积分”的创始人，但读他们的原著令人有恍若隔世，相距遥远之感，而欧拉写的数学就是今天数学的形式。应当说，欧拉是推动数学走向现代化的巨擘。

欧拉生活、工作过的三个国家瑞士、俄国、德国都把欧拉当作本国的数学家，为有他而感到骄傲。1973年苏联天文学家斯米尔诺娃发现了小行星2002，她把它命名为“欧拉”；1957年欧拉250周年诞辰时，东德、西德、苏联和瑞士都发行了纪念邮票；瑞士法郎上就印着欧拉的肖像，1998年，瑞士日内瓦大学把架设在智利拉西拉天文台的口径1.2米望远镜命名为“欧拉望远镜”。

大师风采

1.著作等身

欧拉是史上发表论文数第二多的数学家，他的纪录一直到20世纪才被保罗·埃尔德什打破。他留给后人的著作浩如烟海。他生前说过，他的遗稿足够《圣彼得堡科学院学报》刊登20年。事实上，圣彼得堡科学院组织人整理欧拉遗著足足忙活了47年。而在欧拉死后的80年中，《圣彼得堡科学院学报》仍持续不断地发表经过后人整理的欧拉手稿。

他不倦的一生共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，成果几乎覆盖每一个数学领域：初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法，数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式……数也数不清。其余的论文中，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。

【适用话题】勤奋；热爱；钻研；跨界

2.智力超群，身残志坚

欧拉的视力一直在恶化，但是病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力，这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。他能铭记那个时代所有重要的数学结果，不仅背得出前100个素数，还背得出其中每个素数的前10次幂。欧拉善于心算，非常人所能。一次，他的两个学生分别计算一个收敛级数的前17项之和，可是他们的计算结果不一样。那和数有50位数字之大，欧拉只凭心算，找出了学生的错误。

1771年圣彼得堡大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的欧拉被围困在大火中，虽然他被从火海中救了出来，但书房和大量研究成果全部化为灰烬。欧拉咬牙发誓要把这些成果重新写下来。欧拉在黑暗中，除发表了大约400篇研究论文之外，还完成了《微积分原理》《积分学原理》《代数学引论》等名著，都是后世几代数学家必读的课本。因此，19世纪的大数学家高斯说：“研读欧拉的著作，永远是学习数学的不二法门。”

【适用话题】天分；智力；坚韧不拔；面对灾难

3.提携后辈

欧拉胸怀宽广，亲手提携后起之秀。他一生中与欧洲三百多名学者时有通信，很多人回忆说，欧拉在信中总是毫无保留地把自己的数学发现甚至证明细节告诉对方。

1755年8月12日，19岁的法国大学生拉格朗日给在柏林科学院的欧拉写了一封信，说自己解决了半个世纪以来没人能解决的等周问题，其中勾画了用分析方法求变分极值的崭新思想。欧拉回信称赞拉格朗日的研究成果很有价值，并鼓励他继续完成整个工作。这使年轻的拉格朗日在学术界声名鹊起。后来欧拉又把拉格朗日推荐到柏林科学院，还与法国数学家达朗贝尔联名，向德国国王推荐拉格朗日做“宫廷数学家”。可以说，没有欧拉就没有拉格朗日。其实欧拉多年来早已潜心探讨等周问题并已有答案，然而见到拉格朗日的解法新颖，便丢弃了自己的手稿，满心欢喜地推荐了拉格朗日。由于拉格朗日的这篇文章，数学出现了一个新的分支——变分学。后世的数学家们找到了欧拉的手稿，明白了欧拉的高尚想法，如今的教科书里公正地称欧拉和拉格朗日都是“变分法”的创始人：“变分法”中的基本方程就以欧拉的名字命名；“变分法”中的一条非常基本与重要的原理则被称为“欧拉—拉格朗日定理”。

欧拉是一位热心的教育家，也是一位教学名师。他不仅亲自为青少年编纂数学课本，撰写通俗科普读物，还经常抽空到大学和中学去讲课。1770年，双目几乎完全失明的欧拉仍然给青年学生编写了一本《关于代数学的全面指南》。他曾经说过：“一个科学家如果只是做出了给科学宝库增添财富的发现，而不能阐明那些引导他做出这些发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的贡献。”

【适用话题】宽广胸怀；高尚；领路人；公正

大师花絮

1.欧拉与数独

你玩过数独吗？虽然数独很常见，规则也不难，但变化多端，很受人追捧。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源是一种被称之为“拉丁方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的就是欧拉。对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自当年普鲁士国王为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相同。问题看似简单，国王绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向欧拉求教。欧拉研究之后告诉国王，这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开始研究“拉丁方阵”，并留下很多这方面的定理。

2.欧拉与文学

欧拉具有渊博的文学知识和哲学修养。他在柏林科学院工作时期，1760到1762年间曾经为夏洛特公主函授哲学、物理学、宇宙学甚至音乐。后来，欧拉给公主的那些信件被整理成《致一位德国公主的信》，其后，多种语言的译本流传各地，成为童话式的故事。

欧拉能背诵古代罗马诗人维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》（人民文学出版社的中文本也厚达三百多页）。他认为那诗歌的结构和韵律尽善尽美，诗句词语优美典雅，堪称文学典范。凡欧拉做的数学，也呈现出诗歌的优雅，结构严谨清晰，推理天衣无缝，运算简洁顺畅，该详细解释的地方绝不吝惜笔墨，其他部分则言简意赅。

3.欧拉与中国

欧拉在数论中证明过一个定理，现在叫中国剩余定理，也叫孙子定理，在《孙子算经》中有一个简单的特例，后由南宋数学家秦九韶给出了一般形式。欧拉、高斯分别重新发现了这个定理，并给出了证明。就像火药等诸多发明那样，中国人其实并没有输在起跑线上。只是一千多年后，才由欧拉用现代数学的逻辑语言严格地证明了这个古老的中国数学命题。

据说在欧拉活着的时候他的书就传到了中国，由俄国传教士送给中国耶稣会，收藏在北京的图书馆。但当时中国整体没有研究数学的气氛，对欧拉的了解也很少。19世纪中叶，李善兰与英国传教士合作翻译《代微积拾级》，华蘅芳与美国传教士傅兰雅翻译《微积溯源》《代数术》，在这些书中都介绍了欧拉。清人编写的《畴人传》第四编中有欧拉。辛亥革命之后，微积分的内容普遍出現在教材中，越来越多的中国人开始知道欧拉。