高中生数学知识学习与素养发展的融合问题与对策

王召坤

【摘要】高中数学的核心素养是在对知识的认知、学习和应用中逐步形成的，现阶段高中数学知识教学的结构化发展较快，但与学生数学素养发展的融合不够充分，往往只能对六大素养中的一类或少数几类素养进行培养，不利于学生数学素养的综合发展.对此，本文探讨了高中生数学知识学习与素养融合发展的要求，并以高中函数教学为例调查和总结了学生知识学习与素养发展的融合问题，在此基础上对二者融合的教学设计、实施等策略进行分析，并结合函数教学进行举例说明，以期为高中数学教师的相关实践提供参考.

【关键词】高中;数学知识学习;核心素养;融合;函数

数学知识的学习不仅仅是对单一知识点的理解与记忆，还包括了对知识体系和结构、知识的应用转化关系等的认知，这样才能使学生真正掌握运用数学的工具学科属性及功能解决更为复杂的跨学科问题和实践性问题的能力[1].比如数学抽象能够帮助部分学生通过几何性质来理解代数问题，又如数学建模能够帮助学生更好地认识数学知识的应用逻辑并积累应用经验，所以说数学核心素养的发展有助于提升学生数学知识学习的效率和质量.现在多数高中数学教师在教学中虽然重视常规教学和核心素养教育，甚至为了核心素养教育通常采用独立性教育策略，但是这并不容易培养学生核心素养发展的自主兴趣，也会给教师造成负担.高中生数学知识学习和核心素养发展的融合有利于学生的综合发展，能够弱化学生对学习压力的感知，教师也能有效提高教学效率，为教学质量的提升提供支持.

一、高中生数学知识学习与素养融合发展的基本要求

高中生数学知识学习与素养融合发展的基本目标是在有限时间内的同一教学活动中基于核心素养更高效地学习数学知识，同时也在这一过程中提高核心素养的发展水平，简单来说就是要实现数学知识学习与核心素养发展的共同发展和互相促进.因此，在实际教育活动中，教师需要设计以核心素养支持学生认知和理解数学知识的探究活动，同时要以知识结构为基础，在学生不断学习知识的过程中通过知识结构来进一步印证数学素养能力.比如同时采用新旧知识和不同的方法来解决问题，这样能够帮助学生理解知识关系，并灵活掌握逻辑分析能力.结合新课标（2017版）对高中教学和核心素养发展的规定，可以将高中生数学知识学习与核心素养融合发展的要求归纳为以下两个方面：

第一，在学习知识的过程中，教师应合理设计教学方案，使学生掌握运用数学核心素养来理顺当前所学知识主线以及与其他知识主线之间的关系的能力.

高中阶段的数学知识基本围绕核心的概念展开[2]，此后不断探究与概念相关的性质、分类、运算和应用，这本身就是一个不断进阶的逻辑发展过程，而在这个过程中有许多数学核心素养能够帮助学生更深入地认识、理解和应用知识.因此，教师需要在设计知识教学的过程中引导学生基于核心素养（六类核心素养中的一类或少数几类）来探究知识，逐步对知识形成更深刻的认识.以高中函数为例，其知识主线可大致总结如图1.在主线知识的教学过程中，比如抽象素养可应用在函数基本概念认知、函数的性质认知、特殊数类及其特征的学习过程中，可以规避学生依赖图像法认知函数性质的问题[3]，而且能够帮助学生更准确地认识函数并掌握函数性质及其应用方法.笔者建议教师在单元知识教学中提前理顺知识进阶发展的主线，设计合适的数学素养应用策略，使学生能够应用多种方式认识知识，加深对知识的理解.

图1 高中函数知识主线示意图

由于高中数学知识的关联性相对较强，因此在知识学习的过程中还需要理解知识之间的关系，这样既有助于提高学生解决综合性数学问题的能力，也有助于学生更好地理解新知识.以函数为例，其本身和概率与统计、几何与代数知识有较强关系，函数知识主线对应了概率与统计中的大量知识点（相关关系、二项式系数、线性相关关系、初等函数和数列模型、正态分布等），所以教师在强化学生知识结构的教学中也需要引导学生运用数学素养来认知不同主线知识之间的关系，加强学生的认识.

第二，在发展核心素养的过程中，教师应做好核心素养的教育渗透，使学生能够在探究知识、自主建构知识结构、应用知识的过程中锻炼核心素养.

高中数学核心素养的发展本身就依附于学生知识积累和思维锻炼的过程，只是在教育的过程中可以将这种功能明确出来.实际上，现阶段高中教材设计中对知识递进的安排已经融入了对思维方式进阶发展的支持.比如人教版教材引入函数概念时列举了4个实例，为学生提供了直观想象和数学抽象的锻炼条件;后续函数性质的判断引入了典型例题的对比学习，学生通过计算、列表、数據分析、观察图像、逻辑推理来探究函数的性质.总体而言，知识学习的过程本身已经具备了发展核心素养的条件和功能[4]，只是多数教师未做全面规划，导致学生在日常学习中对核心素养的认识不足，也缺乏有明确目标导向的自主训练，在相对有限的核心素养集中培养中难以实现快速发展（比如短期训练能够提高学生逻辑推理的能力，但很难有效促进学生逻辑推理意识的发展）.因此，教师需要结合知识主线提前做好核心素养的教育渗透，使学生核心素养的发展周期延长，并提高其核心素养发展水平.

二、高中生数学知识学习与素养融合发展的典型问题

结合个人工作经验来看，目前高中知识教学和核心素养教育结合的不足最突出的表现是核心素养的渗透不足，导致多数学生的核心素养发展状况不佳，也未能充分发挥核心素养对学生学习知识的促进作用.

为进一步证明该问题，笔者对高二学生进行了随机调查，主要开展测试和访谈两项调查.具体调查过程如下：随机抽查了5个班级的218名学生参与此次调查，基于函数部分进行了综合测试题设计，测试部分所设计的考试题通过了信度检验.其中：共设计10道综合性解答题，7道（问题1-6，8）为函数内知识进阶相关的多问解答题，3道（问题7，9，10）为函数知识的拓展性综合解答题.所有试题中共出现了30个问题，其中考查数学抽象能力的有6个，考查逻辑推理的有4个，考查数学建模的有3个，考查直观想象的有7个，考查数学运算的有21个（该类问题较为特殊，与其他素养的考查有15个问题是重叠的），考查数据分析的4个.

测试结果如下：

从测试结果来看：

本次调查中学生知识结构发展不完全理想，函数主线内的关联性知识考查的正确率稍高于80%，不同知识主线间的知识考查的正确率稍高于70%.笔者在对学生回答进行梳理时发现，多数学生在运用旧知识推导新条件（性质或公式），并通过新学习的知识直接得出的条件解题时出现错误，而在单一知识点考查中的错误率不高.由此大致可以说明学生对函数知识结构的认识、函数知识的灵活应用能力有所不足，而应用数学核心素养能够有助于学生加深对知识结构的认识.

本次调查中学生六类核心素养的总体发展不完全理想，除直观想象、数学运算外（正确率稍高于80%），其他四类核心素养的发展水平偏低（正确率均低于80%）.对此，笔者在各班教师解析题目后对受访学生进行了随机访谈，在访谈中学生反馈两类比较关键的问题：第一，少数学生在教师讲解后能够理清思路，认为教师以往只是提到过相应的解题技巧，但并没有对思维方法做深入解析，也未特地安排过相应的专项训练;第二，大多数学生了解教师讲解的思路和方法，但由于平时的学习和训练中进行相应的针对性训练的次数较少，因此在测试时没有及时找到正确的思路或方法.由此可以充分说明教师在常规教学和训练中开展的核心素养训练不足，未能充分发挥知识学习对学生核心素养发展的支撑作用.

综合上述调查不难发现，现阶段高中生数学知识学习和核心素养发展的融合度较低，互相之间的支撑和促进作用未能得到充分发挥.对此，笔者也对受访班级任课教师进行了访谈，经了解，所有教师都了解高中数学核心素养的发展要求和所需培养的具体素养内容，但大多数教师都采用了集中培养的方式（单独课时开展相应教学和训练）而非渗透式培养（在日常讲解、课堂探究活动中培养学生的核心素养），这说明多数教师本身对知识教学与核心素养的融合不够重视.

三、高中生数学知识学习与素养融合发展的建议

针对高中生数学知识学习和核心素养融合不足的问题，笔者建议教师先做好课前准备工作，梳理知识进阶的路线以及核心素养可在其中发挥作用的具体环节.具体需要做好以下三个方面的前期准备工作：第一，基于思维导图设计知识主线及其和其他知识主线间的关系，明确知识结构培养的基本路径，例如在函数教学前可以基于如图1所示的知识主线进一步理清其与概率和统计、几何与代数的关联关系（如图2）;第二，基于学生知识学习的特点和需求，提前选择合适的核心素养作为学习支撑方案，比如在函数单调性与极值的教学中，教师可以设计探究性问题“绘制反比例函数图像，确定函数定义域并论证其单调性”，该问题本身能够引导学生以直观想象和数学抽象的方式认识函数的单调性，使学生更早地发现函数的单调性不仅仅是直观图像上表现出的趋势，还能结合问题中提到的“定义域”和函数图像的变化特点发现“函数的单调性需要在抽象的区间内进行讨论”，由此提高学生对知识的理解水平;第三，运用核心素养对主线内和主线间的知识关系进行有效解析，重点利用核心素养来强化学生对知识结构的认识，比如在指数教学中，教师可以通过类比和数学抽象能力来帮助学生更好地认识指数函数的特点，高中阶段的无理数指数幂超越了以往的整数指数幂，指数函数则可视为能够展现自然规律的特定函数[5]，这就可以通过实际观察来掌握指数函数和一般函数的关系，比如以细胞分裂为例的细胞分裂耗时和细胞数量变化的关系，这需要学生通过直观观察和数据分析来发现指数函数中自变量和因变量的指数级变化特点，从而使学生更好地区分指数函数和一般函数.

图2 函数与其他知识主线的关系示意图

在知识教学中，教师除了需要按照预设方案开展教学外，还需要充分利用学生自主探究和训练机会培养学生的核心素养.与上一类教学的目标不同，此类教学不需要高度强调教学方案的计划性、完整性等，而是尽可能利用学生学习、探究和应用知识的机会进行核心素养训练，使学生的数学核心素养在潜移默化中成长，帮助学生更早形成相应的意识和习惯.具体教学中需要注意以下四点：第一，教学和训练前做好计算铺垫，为核心素养训练等预留更多时间.由于高中数学学习任务较重，课堂中开展（除数学计算以外）核心素养教学的条件较差，因此教师在条件允许的情况下可以提前加强对学生初等函数运算能力（尤其是指数和对数运算）的训练，使学生在课堂学习、课后训练中减少在计算上耗费的时间，能够有机会开展更多样化的数学核心素养训练.第二，充分利用抽象问题的具象解析过程来引导学生的思维，培养学生的数学抽象、逻辑思维、直观想象等素养.比如，在反比例函数和一元二次函数的学习中，教师可以引导学生利用绘制图像的方法来与初中学过的一元一次函数进行对比，使学生在认识函数定义域、值域内涵的同时也能巩固直观想象等能力.第三，在知识解析的过程中训练学生的逻辑推理能力，新旧知识结合教学、数学知识的证明与论证教学等都适合进行逻辑推理能力的训练.例如，在解析函数本质的过程中，教师可以通过狄利克雷函数说明函数本质上并不是表达式，更重要的是表达数的对应关系，由此进一步引导学生观察和识别“形式高度相似但本质上不属于函数的特殊方程”，这可以有效锻炼学生的逻辑推理能力.第四，在延伸性训练中培养学生的建模和数据分析等能力，数学在现实中的应用最终多数都落在了建模应用上，函数也是建模应用最核心也最基础的方法之一，因此教师可以采用逆向训练的方法来训练学生对函数的认知.例如，教师可以引导学生基于生活问题构建函数模型，并通過函数定义检查所构建模型在形式上的准确性，通过计算和检验验证并发现模型方法相较于直观方法（直接根据条件的计算等）的优势.

四、高中生数学知识学习与素养发展融合教学举例

上文介绍了高中生数学知识学习与核心素养发展融合的教学建议，主要对教学设计、实施的基本逻辑和观念进行了介绍，未详细阐述教学方案.为了更好地帮助高中数学教师开展实践，本文设计了如下两个课例以供参考.

课例1 导数概念与数学抽象的融合教学

导数是函数的特殊类型，也是微积分中最基础的概念，重点描述函数的局部特征（函数曲线在某点处的切线斜率），其中切线的角度、方向等很难以简单的方式来描述，也很难通过直观的方式来观察[6].例如，函数f（x）=x2在点（1，1）处的切线很难通过直接观察来感受切线与函数曲线的关系特点，这就需要引入微积分中以直代曲的思维方法，其本质上是使用直观想象和数学抽象来支持学生理解导数概念.在实际教学中，学生可能会遇到诸多典型的理解障碍.例如，学生利用直观无法准确观察和描述的无限趋近的数学性质，在此可以采用石子上抛落水的轨迹来引导学生思考“石子的速度变化以及其和石子整个运动过程中平均速度的差距”，假设两个时间点的速度差为Δx，在时间点不断缩小直至无法通过图像观察和想象数值差异时代入数值对比，继续成倍缩小速度差并计算差商，由此使学生从数值规律上发现Δx无限趋近于0时的数值变化趋势，将石子移动过程中的瞬时速度、瞬时时间点在抛物线上的切线以符号化的形式呈现，使学生以更具逻辑理性的抽象方式认识导数，一方面帮助学生深入理解导数等同于差商极限，另一方面也能培养学生从直观想象向数学抽象过渡的探究学习习惯和能力.

课例2 指数函数及其性质教学与建模的融合教学

指数函数是一种能够在现实中广泛应用的函数模型，其本身也能验证函数的概念和性质.在教学过程中，教师可以充分运用基于生活的建模训练来帮助学生高效理解指数函数并掌握指数函数的应用方法.

教材案例中使用了两个典型案例，一是将y=1.073x（x∈N*，x≤20）和P=1[]2t[]5730对比，二是绘制函数y=x2的图像.这种教学方式不够直观，教师需要先对函数式进行讲解，再认识指数函数的特征.对此，教师可以引入生活中常见的幂问题进行设计.例如，第1个人在聚餐时带了2个苹果，第2个人要比前一个人多带2个苹果，以此类推，计算第30个人带的苹果数量.然后调整条件，即第2个人比前一个人多带一倍的苹果，以此类推，计算第30个人带的苹果数量.教师要引导学生用函数形式对两类问题进行建模，由此得出聚餐者所带苹果数量y和其序号x的关系，条件調整前为y=2x（x∈N*），调整后为y=2x（x∈N*）.这种问题设计能够规避复杂函数式的枯燥感，也能培养学生的建模意识.在此基础上，教师可以基于上述问题中建立的指数函数模型提出新的问题，如这个指数函数有什么特点、应该如何发现函数性质并探索研究其性质的方法，此时就可以将学生的思维带回到指数函数特征的探究上，比如发现底数对函数图像的影响等.

结 语

总体而言，高中生数学知识学习与核心素养发展的融合有较高的必要性，但目前部分教师在知识教学中渗透核心素养教育的密度、频率相对偏低，不利于学生数学素养相关能力、应用意识和习惯的养成.本文建议教师加强课程分析，及时引导学生应用核心素养能力来探索和认识知识，并加强常规教学和练习中的核心素养训练，使学生的学习能力和成效都能得到显著提升.

【参考文献】

[1]黄翔， 童莉， 沈林.从高中数学新课标看数学实践能力的培养[J].课程.教材.教法， 2018（08）：75-79，113.

[2]渠东剑.核心素养：教学的第三条主线[J].数学通报， 2020（03）：20-24.

[3]唐镆涵.与函数有关的初高中衔接问题研究[J].数学学习与研究， 2018（10）：144.

[4]王卫华.普通高中学科核心素养与学生发展核心素养的对接探析[J].课程.教材.教法， 2018（06）：84-90.

[5]刘彦灵， 赵临龙.高中数学指数函数教学的设计构思[J].学园， 2019（01）：37-39.

[6]范廷钰.试论高中生学习导数及其应用时的困难点[J].课程教育研究，2018（02）：122.