Heston模型下具有违约风险的DC型养老金计划的均衡投资策略

乾丞健，殷艳红，郭宇超，夏登峰

(安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000)

养老金是世界各国养老保险制度的主要表现形式，是社会保障制度中最重要的构成部分，关系到社会的和谐稳定。养老金计划类型中最为常见的是确定收益型(Defined Benefit，DB)计划和确定缴费型(Defined Contribution，DC)计划。DB型养老金计划中养老金的受益额是提前确定的，缴费率可以随时调整，因此基金管理者需要承担相应的金融风险。在DC型养老金计划中，缴费率是提前确定的，养老金的受益额依赖于养老基金投资回报率，因此，受益人需要承担相应的金融风险，这更有利于养老基金的管理和保值增值，因而DC型养老金计划更加符合养老金的管理现状。

我国企业年金制度起步较晚，但也引起了学者们关注，他们对养老基金和社会保障基金的研究为我国企业年金的研究提供了一些参考[1-3]。从研究方法看，Merton[4]开创了崭新的连续时间投资消费组合理论，使用随机最优控制方法，Merton导出了优化问题中价值函数的非线性偏微分方程。Vigna[5]等在高斯利率模型下，应用随机动态规划方法去分析养老基金计划中的金融风险。Haberman[6]等扩展了他们的论文。Devolder[7]等在几何布朗运动描述的利率模型下，研究养老基金合约管理。以上研究是在不同利率模型下进行的研究。另外一种方法是鞅方法，由Cox[8]等引入，这个方法一般用于在风险中性测度下求解偏微分方程。

在DC型养老保险金里，因为要将缴款投入到金融市场进行投资，所以风险资产的定价显得尤为重要。第一种风险资产服从(Geometric Brownian Motion,GBM)模型，即几何布朗运动模型。但服从GBM模型就意味着其波动率为常数，很显然，这不符合我们的现实生活。有许多实证研究支持股票价格存在随机波动性[9-11]。Cox[12]等提供的恒定弹性方差(Constant Elasticity of Variance,CEV)模型开创了随机波动率市场研究的先河，引起了学者的广泛关注。如Xiao[13]和Gao[14]应用Legendre变换和对偶理论研究了DC型养老金计划在CEV模型下对养老金成员整个生命的最优投资问题。Heston模型是随机波动率模型的一种，是均值回复平方根的过程，并且其回报率和波动率都是随机的。因此，Heston随机波动率模型优于GBM模型，并克服了CEV模型回报率为常数的不足之处。Guan[15]等在随机利率和Heston模型框架下考虑了DC型养老金。文献[16-17]也考虑了类似的问题。

根据管理者及参与者关注投资目标不同，如终端财富期望效用最大化，平方损失最小化以及均值-方差目标准则，Boulier[18]等在随机利率的假设下，利用鞅方法研究了退休后具有支付保证约束的DC型养老基金的管理问题。Han[19]等和Guan[20]等研究了随机利率情况下的DC型养老基金最优投资策略。

研究在Li[21]和吴奕东[22]研究的基础上将资产投资于无风险资产、风险资产和违约债券，在MV标准下得出DC型养老金的均衡投资策略。无风险资产服从Hull-White随机利率模型，风险资产价格服从Heston模型。在均值方差的原则前提下，利用动态规划原理，建立了相应的HJB(Hamilton Jacob Bellman)方程并求解，得到最优均衡投资策略。最后使用Matlab软件进行数值模拟，分析各项参数对我们得到的DC型养老金最优策略的影响，对现有模型进行了拓展。

1 模型的建立

令(Ω,G,P)是一个完备的带流概率空间，G=(Gt)0≤t≤T为信息流，表示截止到时刻t的所有的市场信息，并且G是由Gt=Ft∨Zt给出的扩张的信息流。信息流Ft是由布朗运动{W(t)}产生的，而Zt是由表示违约到达的泊松过程来表示的。

在DC型养老金计划中，养老金基金的缴款假定是在积累阶段的预定金额的保险费。假设每单位时间的保险费为c，并且累积期限从w0年龄开始，一直持续到w0+T，直到退休金成员退休为止，即退休金的累积期限为T，为了获得更高的收益，养老基金可以投资于由无风险资产、可违约债券和风险资产组成的金融市场。P测度下的无风险资产的价格过程遵循以下过程：

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=1。

风险资产的财富过程由Heston模型描述：

式中，r>0表示无风险利率；λ,k,θ,σ均为正常数；W1(·)和W2(·)是两个一维布朗运动，相关系数为ρ∈[-1,1]；同时为了确保过程L(t)是几乎处处非负的，假设2kθ≥σ2成立。

为了研究可违约债券的价格过程，类似于文献[23]，定义如下违约过程。

定义1 令τ为非负随机变量，代表发行债券的公司的违约时间。在随机时间T进行离散跳跃的非递减右连续过程称为违约过程。用Z(t):=1τ≤t表示违约过程，其中1表示指标，如果有跳跃则值为1，否则为0。

引用文献[24]对违约时间的定义，违约时间T可以被建模为泊松过程的首次到达。跳跃过程的强度用h表示，它度量违约值的到达率。如文献[23]中所示，存在面值为1单位，到期日为T1的可违约零息债券。投资者在违约前收回违约债券市值的一小部分，则违约后债券的违约值为0。损失率用ζ∈[0,1]表示，那么恢复率为1-ζ。在风险中性测度Q下，令δ=hQζ表示为风险中性信用利差，并且hQ是在Q测度下的违约泊松过程的恒定强度，则在Q测度下可违约债券的价格过程：

dB(t,T1)=rB(t,T1)dt-ζe-(r+δ)(T1-t)dMQ(t),

式中，MQ(t)是补偿跳跃过程和Q测度下的鞅过程。

引理1[25](Girsanov's Theorem)概率P等价于G上的概率Q，当且仅当存在循序可测的过程ψ和可预测过程Δ>0使得：

(1)EP[V(T)]=1。

V(t)=V1(t)V2(t),

dB(t,T1)=B(t-,T1)[rdt+(1-Z(t))(1-Δ)δdt-(1-Z(t-))ζdMP(t)]。

(1)

式中,可违约债券的预期收益包括两个部分(见Yu[26])，第一部分是无风险资产的回报，第二部分是在时间t尚未发生违约的情况下，风险中性信用利差与实际信用利差之间的差异。

用π1(t)和π2(t)分别表示养老金管理人在时刻t时在风险资产和违约债券中分配的金额，其余部分分配在无风险资产中，则养老金经理在t时刻的投资策略为π:={(π1(t),π2(t))}t∈[0,T]。

(2)

为了简化式(2)，我们定义：

成立。类似的，

那么式(2)则变成

(3)

当n→∞时，财富过程Xπ(t)满足：

(4)

对死亡率μ(t)函数和生存函数s(t)进行如下定义：

其中w表示生存的最大年龄。于是式(4)退化为：

(5)

当发生违约时，即π

在以下部分中，考虑MV准则下的最优投资问题,假设T

定义3(允许策略) 对于任何固定的t∈[0,T]，如果以下的情况成立，则π={(π1(v),π2(v))}v∈[t,T]被认为是可以接受的策略：

(1)π是G可预测的；

(3)∀(x,l,z)∈×××(0,1)，当Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z时，式(5)有唯一解Xπ(v)v∈[t,T]；

(4)∀v∈[t,T],∀φ∈[1,+∞]。∀(t,x,l,z)∈[t,T]×××{0,1},Et,x,l,z(sup|Xπ(v)|φ)<+∞，其中Et,x,l,z[g]是Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z下的条件期望。

另外，令∏(t,x,l,z)表示所有允许策略的集合，而z表示初始默认状态。z=1和z=0分别对应于违约后情况τ>t和违约前情况τ≤t。

(6)

式中，γ是风险规避系数。式(6)是时间不一致的，因为方差项中的终端财富期望值具有非线性函数，因此Bellman最优性原则不适用。大多数文献中，最优策略在时间上不一致。但是，对于希望获得一个均衡策略的理性决策者来说，时间一致性是不容忽视的，该均衡策略一次是最优的，但随着时间的推移，它仍是最优的，即均衡策略是时间一致的。因此，我们旨在得出式(6)的均衡策略。

定义4 给定任何初始状态(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，考虑可容许的策略π*(t)。定义以下策略

那么π*被称为均衡策略，均值函数为：

(7)

根据定义4，均衡策略是时间一致的。为简单起见，定义C1,2([0,T]×××{0,1}={φ(t,x,l,z)|φ(t,·,·,·)}是在[0,T]上一次可微分并且φ(·,x,l,·)在×上连续两次可微分。为了提供验证定理，定义了一个变分算子：对于∀φ(t,x,l,z)∈C1,2([0,T]×××{0,1})和∀(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，令w-w0-t=t，w-w0-T=T，φ(t,x,l,z)缩写为是φ相对于相应变量z的偏导数，且下文的V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)也使用这个记法，则

(8)

以下定理分别提供了在违约后情况(z=1)和违约前情况(z=0)下对扩展HJB方程的验证。

定理1(验证定理) 对于违约后情况(z=1)和违约前情况(z=0)，如果∀(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}存在两个值函数V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)满足以下扩展HJB系统：

(9)

V(T,x,l,z)=x,

在原料（g）∶水（mL）∶氨水（mL）为1.00∶1.75∶0.55、反应时间为10min、搅拌速度为100r/min、自然冷却6h的条件下，改变反应温度，考察其对直收率的影响，结果如图1所示，并利用X射线衍射仪（XRD）、扫描电子显微镜（SEM）分析其对产品物理性能（物相组成、表面形貌、粒度）的影响，结果如图2、图3所示。

(10)

Aπ*g(t,x,l,z)=0,g(T,x,l,z)=x,

(11)

(12)

那么W(t,x,l,z;π*)=V(t,x,l,z),Et,x,l,z[Xπ(T)]=g(t,x,l,z);π*就是均衡投资策略。

2 模型的求解

我们分别得出违约后情况(Z=1)和违约前情况(z=0)下DC型养老金计划的均衡投资策略。在违约后情况下，则B(t,T1)=0,τ≤t≤T,因此π2(t)=0,τ≤t≤T。假设存在两个函数V(t,x,l,1)和g(t,x,l,1)满足定理1中给出的条件，根据式(8)中Aπ的表达式，式(9)可改写为

(13)

在违约后情况下，假设存在两个函数V(t,x,l,0)和(t,x,l,0)满足定理2.7中给出的条件，根据式(8)中Aπ的表达式，将式(9)重写为

(14)

对于违约后的情况，由于式(11)和式(13)的线性结构以及根据边界条件，我们尝试以下形式猜测解：

(15)

那么就有

(16)

对式(13)中的π进行求导，得到一阶条件：

(17)

将式(16)和式(17)代入式(11)和式(13)，令

则有

lφ1+ψ1=0,lφ2+ψ2=0。

(18)

通过分离变量，得到以下微分方程：

φ1=0,ψ1=0,φ2=0,ψ2=0。

(19)

(20)

相似的，对于违约前的情况，由于式(11)和式(13)的线性结构以及边界条件，我们尝试以以下形式猜测解：

(21)

那么就有

(22)

对式(14)中的π进行求导，得到一阶条件

(23)

(24)

将式(22)、式(23)和式(24)代入式(11)和式(14)，令

则有

lφ3+ψ3=0,lφ4+ψ4=0。

(25)

通过分离变量，得到以下微分方程：

φ3=0,ψ3=0,φ4=0,ψ4=0。

(26)

(27)

(28)

定理2 对于均值方差问题(6)，给出如下均衡投资策略：

(29)

(30)

均衡价值函数为

(31)

此外，与均衡投资策略相关的最终价值的期望和方差是

(32)

根据式(7)，有

(33)

(34)

由式(34)得到

(35)

在现代投资组合理论中，式(35)被称为初始状态(t,x,l,z)的投资问题的有效前沿。无论处于哪种状态，有效边界都是在平均标准偏差平面上的一条直线。与现有文献相比，研究一方面考虑了具有违约风险的DC计划的最优投资问题。我们发现，违约前情况下的均衡价值函数高于违约后情况下的均衡价值函数。另一方面考虑了Heston模型下带保费返还条款的DC计划的最优投资问题。

注2 当ρ>0时，修正因子N(t)是关于t的增函数。当ρ<0时，N(t)关于t递减。此外，N(t)具有以下性质：

证明Nt(t)=λρσe(λρσ+k)(t-T)，且N(T)=1，结论显然成立。

注3 结论2说明修正系数主要依赖于时间t以及Heston模型中W1和W2的相关系数ρ。而且当ρ>0时，投保人投资与风险资产的比例随着时间的推移而增加，并且最优投资比例较GBM模型更少；而ρ<0时，结论恰恰相反，最优投资比例较GBM模型更多，初期投资较大的资金于风险资产，随着退休时间的逐渐临近，投资于风险资产的比例逐渐降低。

注4 在有效前沿直线中，对于相同的风险(终端财富方差)，收益(终端财富期望)关于x,l递增。这个结果具有一定的经济意义。一方面，当初始投入财富增加时，在相同的风险条件γ下当然能获得更多的收益；另一方面，Heston模型中的l表示承担一定程度风险的风险资产的溢价，因此l越大，在相同的风险条件下当然能够获得更多的收益。

3 数值分析

利用Matlab进行数值模拟，假设基本参数设置如下：r=0.05，γ=0.5,σ=0.08,β=1,a=1,ζ=0.5,hP=0.005,c=1,w=100,w0=20,T=10,S(0)=5。

风险系数γ对风险资产投资的均衡投资策略的影响如图1所示。由图1可知，随着风险厌恶系数γ的增加，投资于风险资产的比例下降，这是具有相应的经济意义的。一方面，具有较高风险厌恶系数的投资人通常会将较少的财富投资于风险资产，从而规避风险。

图1 风险系数γ对风险资产投资的均衡投资策略的影响 图2 ω和ω0对时间为0时向风险资产投资的均衡投资策略的影响

4 结论

将资产投资于无风险资产、风险资产和违约债券，在MV标准下得出DC型养老金的均衡投资策略。其风险资产价格服从Heston模型，根据动态规划原理建立相应的HJB方程，并求解HJB方程，获得了DC型养老金的均衡投资策略。最后，通过数值模拟给出各参数对DC型养老金的均衡投资的影响。所得结果和相应分析给基金管理者在金融市场中对于财富的投资提供一定的理论指导。