关于微分本质的思考

刘晓

【摘要】本文从微积分历史发展角度讨论牛顿、莱布尼茨等人的微分思想.他们都有天才的直觉，但是缺少逻辑基础，并发现柯西等人建立的现行微积分体系下的微分定义存在缺陷.最后从历史和哲学的角度，认为微分本质上是量的有无相互过渡的中介，现行的量-形模型需要发展.

【关键词】微积分原理;微分;本质

自从牛顿和莱布尼茨各自独立地提出微积分方法后，数学界对建立微积分原理的努力持续了数百年.关于微分本质的探讨是这个过程中的重要内容，牛顿、莱布尼茨、伯努力兄弟、欧拉等人对此都有所思考，直到柯西给出了一个公认度相对很高的微分定义.在牛顿和莱布尼茨的微积分体系中，微分是基础;而在柯西建立的体系中，微分则不太重要.有关微分的本质和意义仍存在争议.

一、牛顿与莱布尼茨微分的意义

牛顿在论文《分析学》中将变量x，y的无限小增量命名为“瞬”ο，表示不依赖于固定时间的静止无限小量，有时直接令其为零，忽略ο项，他证明了曲线y=axmn圍成区域的面积为anm+nxm+nn.在《流数法》中，他从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内变化的部分称为“瞬”，“瞬”随时间连续变化，生成量的“瞬”就是指函数的微分.在《曲线求积术》中借助于几何解释，他把流数理解为增量消失时获得的最终比，并在后来解释最终比为“无限减小的量之比所趋向的极限”[1]，“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比.”从算数角度看，迅速消失的最终比应该理解为这两个量此时的比，既不是在这些量消失之前，也不是在这些量消失之后，而恰好是在它们消失的那一刻之比.在《原理》一书中他讲“有限质点不是‘瞬，而是由‘瞬生成的量.我们将设想它们是有限量的初生本原.”并补充“我们也不是在这个引理中把‘瞬的量视为初生本原，而是把它们的第一个比视为初生本原.”[2]

牛顿的微分概念中带有明显的从无到有的生成或者从有到无的消失的思想，他想给“瞬”一种合理的解释，想给“最终比”做定义，但无法自圆其说，“消失的增量”究竟是什么，是零还是有限量，说不清楚，牛顿的解释违反了形式逻辑的矛盾律，因为形式逻辑否认有无转化的中间态，认为过渡状态只是幻想.

莱布尼茨最初从几何角度研究微积分，他发现了求切线和求面积的互逆关系.他将切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线，这些无穷小的距离可以通过两个相邻量值之间的微分或者差分来表示.他用“d”表示微分，“dx”表示两个相邻x的差，并探索∫和d的运算关系.[3]莱布尼茨将微分视为他的整个研究的基础，但无法对微分和高阶微分给出一个令人满意的定义.于是就借助无穷小微分的性质，借鉴牛顿的比喻，他的微分是量的瞬间增量或者减量，认为无穷小量（有时也称无比小量）是对量的消失或者开始的研究，与已经形成的量截然不同.从几何直觉上说，一阶微分相当于切线，高阶微分相当于曲率，微分相当于欧几里得的接触角，比任何给定的量都小，但又不是零.[4]

在回应纽文泰特的攻击中，莱布尼茨解释无穷小为“小到无与伦比，并且由此产生的误差应该无关紧要，或者比任何给定的量都要小.”这样的微分显然是不确定的量，但dy∶dx总是可以简化到真实、确定的量之间的比（d）y∶（d）x.莱布尼茨说不清楚这个从有限量到无穷小量的转换过程，他和牛顿一样强调的是它们的比.他还提出一个点并非它的部分为零，而是它的扩张为零.“特征三角形就是从中抽去所有量的大小的时候，却仍然保留三角形形式的三角形.”他在给格兰迪的信中写道“我们并不把无穷小量设想是简单的零和绝对的零，而是相对的零（正如你自己说得很好那样），也就是说，是一个迅速消失的量，但却保留了正在消失的特征.”[4]“相对的零”是莱布尼茨直觉的产物，并不符合数学上的理解.

虽然牛顿和莱布尼茨的微积分方法给科学带来了巨大的变革，但是这种微积分“原理”无法自圆其说，且不能用严格的数学语言表述，对微分的定义和本质说不清楚，于是引来了持续一个多世纪的争论.乔治·贝克莱抨击牛顿消失的增量为“消失量的鬼魂”，说他们正确的结论是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得的，正中微积分原理的弱点.其后的欧洲数学家们便力图克服微积分基础的困难.

二、对柯西微积分体系的微分定义的讨论

拉朗贝尔、欧拉和拉格朗日等人从代数化的途径进行了微积分基础严格化的尝试，欧拉认为无限小就是零，存在着不同阶的零，微分dx在事实上等于零[5]，他要寻找的是00的启发式运算.拉朗贝尔引入极限概念来替代牛顿的“最终比”.拉格朗日想避开使用极限、无穷等概念，用泰勒级数来定义导数，将微积分变成“纯粹的分析艺术”，他没有成功.后经过柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯、康托尔、勒贝格等人的创建性工作，使数学界公认微积分理论的完善.

在该微分定义中，dx=Δx属于强行定义，[8]一般对函数y=f（x）来说，x是原因，y是结果，同时y又是它结果的原因，x又是它原因的结果，这种关系无始无终，其反映到数学上就是z=E（y），y=F（x），x=G（t），因此，除非x=t，否则就得承认Δx=g（t0）Δt+οgΔt，因此，dx≠Δx.另外，在此定义下虽然导函数是瞬时量，但这样定义的微分却不是瞬时量，从而也就没有瞬时量的瞬时变化率，而只有求增量、算比值、取极限的瞬时变化率.[9]如此定义微分，无法说清微分和积分是互逆关系的原因.

三、对微分本质的思考

冯汉桥说微分是从路程、弧长等问题中概括出来的，引用马克思的话称微分的本质为“被扬弃了的或消失了的差”[10].从哲学上看，从无到有或从有到无是量变积累引发的质变过程，有无中间要有一个过渡的桥梁，但在数学上没有相应的量-形模型，无论是认为微分dx就是零还是其极限为零，dx在量上是无，量为无的dx累加“生成”量为有的Δx是质变过程，在几何上可表述为没有测度的点滚动“生成”有测度的线，现行的微分概念对这个过程是无法说清的.

回到莱布尼茨的观点，他的微积分原理可以概括为：微分是对某区间的点级微化，积分是对点级微化结果的累加，微分和积分互为逆运算，导数就是微商.[9]换言之，微分是点级微化的产物，本质上是量的有无相互过渡的中介，定性上为有，定量上为零，所以微分定义dy=f′（x0）dx从数量上看是准确的，被丢掉的高阶无穷小量ο（Δx）仍有意义.当然，这种思考需要引入新的量-形模型作为逻辑支撑.实数的发展经历从自然数扩充到有理数，再到无理数和超越数，是一个随人们的认识不断扩充的过程.既然现行实数体系无法准确刻画微分，那就需要修正现行的量-形模型，这是未来数学工作者的责任.

四、结 论

牛顿、莱布尼茨等人没有用严格的数学语言来规范他们对微分本质的直观描述，他们的直觉帮助他们发现了微积分方法，但直觉不能替代逻辑.柯西体系下的微分不处在微积分体系的基础地位，并且微分定義有明显缺陷.从微积分历史和哲学角度看，微分本质上是量的有无相互过渡的中介，定性上为有，定量上为零，现行的量-形模型需要发展，以实现对微分的准确刻画.

【参考文献】

[1]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2008：160-163.

[2]卡尔·B·波耶.微积分概念发展史[M].唐生，译.上海：复旦大学出版社，2013：190-195.

[3]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2008：169.

[4]卡尔·B·波耶.微积分概念发展史[M].唐生，译.上海：复旦大学出版社，2013：199-209.

[5]William Dunham.微积分的历程[M].北京：人民邮电出版社，2011：60.

[6]张筑生.数学分析新讲[M].北京：北京大学出版社，2004：164.

[7]张景中.不用极限的微积分[M].北京：中国少年儿童出版社，2012：176.

[8]丁小平.Cauchy-Lebesgue微积分体系缺陷的思考[J].数学学习与研究，2012（1）：112-113.

[9]丁小平.浅谈现行微积分原理的错误[J].前沿科学，2015（4）：82-87.

[10]冯汉桥.什么是微分及其本质？——学习马克思《数学手稿》体会之二[J].陕西师范大学报（自然科学版），1978（1）：1-9.