隧道围岩温度分析解及隔热层对衬砌温度的影响分析——以大瑞铁路高黎贡山隧道为例

蒋 爽， 蒋 涛， 王树刚, *， 罗占夫， 王 卓， 尹 龙， 翟康博

(1. 大连民族大学， 辽宁 大连 116600； 2. 大连理工大学， 辽宁 大连 116024;3. 中铁隧道局集团有限公司勘察设计研究院， 广东 广州 511458)

0 引言

随着隧道工程逐渐向深埋、长、大方向发展，由高地温引起的隧道隔热层设计已逐渐成为隧道施工设计中不可或缺的一部分。深埋、长、大隧道易引起高地温问题的2个重要因素是埋深和地热，而解决高地温隧道热害问题的前提是掌握隧道结构与高温围岩间的传热规律。在高地温隧道的施工过程中，外部高温围岩会向隧道内壁处传递较多的热量，这不仅会引起洞内工作环境温度增高、增加满足规范要求的洞内温度条件下的降温负荷，同时也会因为衬砌温度较高产生的温度附加应力而降低衬砌结构的稳定性。设置隔热层是目前较为常用的一种应对高地温的方式，掌握高地温条件下隔热层和衬砌段内热量传递规律以及合理预测隔热层对衬砌段温度的影响对分析混凝土衬砌结构的耐久性和合理设计隔热层具有指导意义。

夹心式(隔热层设置在围岩和衬砌之间)和贴壁式(隔热层设置在衬砌内表面)都是设计施工中较为常见的隔热层敷设方式[1]。寒区隧道隔热层的相关研究开展较早，一般侧重于隧道温度场的模拟方面，主要通过数值模拟法[2]或解析解法[3-4]对隧道围岩温度进行预测和分析，此外还有关于隔热层设置参数的分析[5-7]以及成本的优化研究[8]。其中，高地温隧道的隔热层设置研究目前主要是通过数值模拟手段分析不同隔热层设置参数条件下相应的隔热效果。白国权等[9]通过有限元数值模拟，试算并分析了不同隔热材料的隔热效果和所需的制冷功率及相应的制冷剂用量。李力亨[10]采用ANSYS有限元数值模拟软件并结合现场实测数据分析了隔热层对二次衬砌温度场分布的影响。吴根强等[11]通过数值模拟方法并结合模糊评价法确定了高地温隧道中宜采用的隔热层方案。与数值模拟方法相比，分析解法由于计算过程简单，因此便于在实际隧道施工设计研究中应用。邵珠山等[12]利用无量纲导热微分方程级数求解方法得到了隧道多场耦合的解析解，并重点分析了隔热层的隔热效果及相应衬砌层和隔热层的应力场变化，但未详细分析隔热层导热系数和隧道内壁面对流换热系数的大小对衬砌层温度的影响，且没有进一步讨论工程中可参考的隔热层设计参数。

从以上研究可以看出，研究隔热层对衬砌温度的影响具有重要的工程实际意义，但已有的研究中关于隔热层导热系数的变化以及隧道内壁面对流换热系数的变化对衬砌层温度的影响分析较少。针对目前研究的不足，本文以大瑞铁路高黎贡山隧道为背景，应用莱维级数法导出含隔热层的围岩温度场分析解，然后分析了一系列影响衬砌温度的因素(如隧道内壁与空气的对流换热系数、隔热层敷设方式、厚度及其导热系数等)，对多个因素作用下的衬砌温度进行综合分析，最后给出合理的隔热层敷设方式及隔热材料导热系数的选取方法，以期研究结果为工程实际施工提供一定的参考。

1 数学模型

本文以夹心式3层结构为例建立围岩温度场数学模型，同时为方便推导做如下假设： 1)考虑到隧道两端围岩温度长期接触外界空气，假设两端围岩温度近似等于外界空气温度； 2)各层之间不考虑接触热阻，材料均匀且各向同性； 3)隧道截面等效为圆形截面； 4)忽略高温条件下围岩和衬砌结构导热系数的变化以及空气与衬砌结构之间对流换热参数的变化。隧道分层结构示意图见图1。在r-z柱坐标系下，设隧道内半径为ra，保持原岩温度值不变的围岩外半径为rb，隧道外部原岩温度为Tb(z)。稳态热传导方程为

(1)

式中：i为隧道内壁向外的分层数量，i=1、2、3；θi(r,z)为过余温度，即隧道第i层温度与外界气温T∞的温差(Ti-T∞)。

图1 隧道分层结构示意图

考虑隧道内壁面与空气的对流换热，得到全部边界条件和连续性条件为

(2)

式中：θi(r,0)、θi(r,l)为隧道两端的过余温度；λi为第i层的热传导系数；θf为隧道内部空气过余温度；h为隧道内壁面与内部空气之间的对流换热系数，W/(m2·℃)；θa为隧道内壁面的过余温度；θb(z)为隧道外部原岩过余温度。

为导出无量纲方程，定义无量纲变量为

(3)

式中：θ0(θ0=Tref-T∞)和λ0分别为过余温度和热传导系数的参考值，Tref为参考温度；rm=(ra+rb)/2；l为沿着隧道方向的长度。

将式(3)代入式(1)和式(2)中可得无量纲热传导方程和边界条件为

(4)

由以上公式推导就得到了温度场的无量纲微分方程及其全部边界条件。利用莱维级数法[13]将满足边界条件的无量纲微分方程解形式假设为

(5)

将式(5)代入式(4)中可得

(6)

Fn,i=Cn,i,1I0(bR)+Cn,i,2K0(bR)。

(7)

式中I0和K0分别为零阶第一类修正贝塞尔函数和零阶第二类修正贝塞尔函数。

将式(7)代入式(6)中得到6个方程，并将6个方程联立得到系数Cn,3,1、Cn,3,2、Cn,2,1、Cn,2,2、Cn,1,1、Cn,1,2，然后将系数代入式(8)中得到Fn，i(R)，再代入式(5)中继而可以求解获得温度解：

硬气有骨常被误为某类文章才需具备之品格，其实，所有的文字皆要有骨头，有硬气，不因文体异而有殊也。婉约的文字也要有硬气有骨头作底子。在我看来，周邦彦不及柳耆卿，柳耆卿又不及李清照，大抵就是这个原因。

(8)

2 分析解验证及围岩计算厚度的确定

2.1 分析解验证

文献[11]通过数值模拟方法得到了在30个月通风条件下相应的围岩调热圈厚度(rb-ra=38 m)，所计算的隧道总长l为3 985 m，衬砌层厚度为0.75 m，隧道内当量半径ra按6.5 m计算，外部原岩温度Tb(z)为60 ℃，隧道空气温度为28 ℃，空气与内壁的对流换热系数为20 W/(m2·℃)，衬砌和围岩的导热系数分别为2.94 W/(m·℃)和2.30 W/(m·℃)。本文应用上述计算条件采用分析解表达式(8)计算相应的径向围岩温度分布。

沿隧道轴向选取某一截面(z=1 992.5 m)，对该截面采用上述分析解和文献[11]中的解法计算调热圈厚度为38 m时的径向围岩温度如图2所示。当围岩调热圈厚度取38 m时，即rb=ra+38=44.5 m时，采用本文分析解计算所得的围岩温度(59.81 ℃)与文献[11]数值模拟得到的相应围岩温度(59.84 ℃)十分接近，径向最大温度误差约为2.2 ℃。这主要是由于本文分析解仅适用于稳态模型，所选用的调热圈厚度是文献[11]中传热近似达到稳态时的条件，并且文献[11]计算时没有考虑围岩温度沿轴向的变化。但2种解法得到的径向围岩温度结果基本吻合，总体来说本文分析解计算结果与文献[11]一致，验证了本文所提出的分析解的正确性。

图2z=1992.5m截面处采用本文分析解法与文献[11]数值解法得到的径向围岩温度

Fig. 2 Radial surrounding rock temperature obtained by numerical solution of Reference [11] and analytical solution atz=1 992.5 m

2.2 围岩计算厚度的确定

由于隧道开挖而造成的围岩温度的变化范围是一定的，且隧道内部空气和外部围岩的温度均保持不变，那么在衬砌与围岩接触面上的温度也将趋近于一个固定值。本文借鉴文献[12]中确定合理围岩计算厚度的方法，选取不同的围岩计算厚度，将有无隔热层2种工况下的衬砌外表面温度随围岩计算厚度的变化趋势进行对比，最终确定出较为合理的围岩计算厚度。

大瑞铁路高黎贡山越岭段铁路隧道位于我国云南省西部怒江车站与龙陵车站之间，穿越横断山脉最西侧的怒江与龙川江的分水岭地区，隧道进口里程为 D1K192+302，出口里程为 D1K226+840，隧道全长34 538 m。该区域年平均气温为14.9～19.5 ℃，隧道外部原岩温度可通过实测并结合预测获取，本文取外部围岩温度为40 ℃[15]。

根据有无隔热层的2种工况分别将实际隧道简化为3层结构模型(衬砌层、隔热层和围岩层，见图1)和2层结构模型(衬砌层和围岩层)，并对隧道截面做圆形当量截面处理，当量直径为6.94 m，隔热层厚度δ取5 cm，导热系数取0.04 W/(m·℃)。隧道衬砌结构根据设计单位并结合该隧道的地质条件、施工方法及工程设置情况确定。本文以钻爆法施工工区单线隧道段(D1K192+800—D1K213+500)的主要衬砌结构为例，参数根据现场实际情况选取，各层结构材料参数见表1。

表1 各层结构材料参数

隧道内壁与空气对流换热系数h取5.70 W/(m2·℃)，外界气温取当地年平均温度18 ℃，假设洞内气温通过降温措施维持在28 ℃，应用式(8)求解有无隔热层工况下z=20 000 m处衬砌外表面温度随围岩计算厚度的变化趋势，结果见图3。从图3中可以看出： 1)在衬砌层与围岩层之间增设隔热层时，随着围岩计算厚度的增加，其衬砌外表面温度梯度逐渐减小，当围岩计算厚度为20 m时外表面温度梯度已降为约0.03 ℃/m，表明该处之后的衬砌温度已基本无变化； 2)无隔热层情况下衬砌外表面温度基本无变化时(温度梯度降为0.03 ℃/m左右)对应的围岩计算厚度约为26 m。以上结果表明，相较于无隔热层时，增设隔热层会使隧道开挖后的围岩温度变化范围缩小。为了方便分析比较，将rb(即ra+26 m)取为30 m即可满足计算要求。

图3 有无隔热层时衬砌外表面温度随围岩计算厚度的变化趋势

Fig. 3 Variation trends of lining surface temperature with thickness of surrounding rock with and without thermal insulation layer

3 隔热层对衬砌层温度的影响分析

3.1 隔热层设置位置和对流换热系数对衬砌温度的影响

由图4和图5可知： 1)对于隧道内壁面温度，增设隔热层有降温的效果，且在对流换热系数较小时降温效果较为明显，当对流换热系数h分别取10.0 W/(m2·℃)和0.25 W/(m2·℃)时，采取贴壁式隔热层的方式可以使隧道内壁面温度分别降低约为0.1 ℃和1.0 ℃； 2)对于衬砌段的平均温度，当对流换热系数h分别取10.0 W/(m2·℃)和0.25 W/(m2·℃)时，采取夹心式隔热层的方式使衬砌段平均温度分别降低约为0.3 ℃和0.9 ℃，采取贴壁式隔热层的方式反而使衬砌段平均温度分别升高约3.1 ℃和0.7 ℃。

图4h为10W/(m2·℃)时不同隔热层敷设方式下围岩温度的分布情况

Fig. 4 Temperature distribution of surrounding rock under different laying methods of thermal insulation layer withhof 10 W/(m2·℃)

图5h为0.25W/(m2·℃)时不同隔热层敷设方式下围岩温度的分布情况

Fig. 5 Temperature distribution of surrounding rock under different laying methods of thermal insulation layer withhof 0.25 W/(m2·℃)

以上结果表明，采用2种不同的隔热层敷设方式都会使隧道内壁面的温度有所降低，但采用贴壁式敷设方式时衬砌段温度比无隔热层时还高；当对流换热系数较小时，衬砌内外表面温度虽然较高，但是夹心式隔热层对衬砌段的隔热效果也在增加。这是因为相比于贴壁式的隔热层敷设方式，采用夹心式隔热层可有效增加围岩与衬砌之间的热阻，在隧道内壁面对流换热条件较差时，夹心式隔热层敷设方式对隧道内壁面和衬砌段的降温效果更为明显。上述结论是在隔热层导热系数取值固定时得出的，接下来以夹心式敷设方式为例，分析衬砌内外表面温度随隔热层导热系数变化的影响因素。

3.2 对流换热系数及隔热层厚度对衬砌内表面温度的共同影响

在h取10.0 W/(m2·℃)和0.25 W/(m2·℃) 2种工况下，分别改变隔热层厚度(5～ 10 cm为合理隔热层厚度范围[11])和隔热层的导热系数，其他条件同表1，计算得到随夹心式隔热层材料厚度及导热系数变化而变化的衬砌内外表面温度(见图6)，并进一步计算得到衬砌内外表面温度梯度随导热系数的变化趋势(见图7)。

由图6可知，对流换热系数数值大小对衬砌内外表面温度随导热系数的减小而下降的幅度影响较大。以衬砌内表面温度变化情况为例，隔热层厚度δ为5 cm且导热系数由0.05 W/(m·℃)减小到0.001 W/(m·℃)时，相应于对流换热系数h为10.0 W/(m2·℃)的温度降低值约为0.3 ℃，而对应h为0.25 W/(m2·℃)的温度降低值约为5.1 ℃；隔热层厚度为10 cm时相应的对流换热系数下的温度降低值分别约为0.2 ℃和5.0 ℃。

图7的(a)和(b)分别示出4种工况下衬砌内外表面温度梯度随隔热层导热系数的变化情况。从图7中可以看出，衬砌内外表面温度梯度随着隔热层导热系数的增加均呈下降趋势，且逐渐趋于稳定，近似稳定在30 (m2·℃2)/W(即导热系数每减小0.001 W/(m·℃)时衬砌内外表面温度降低值为0.03 ℃)。对于衬砌内表面，当对流换热系数h为0.25 W/(m2·℃)隔热层厚度δ为10 cm时相应于梯度为30 (m2·℃2)/W时导热系数临界值约为0.040 W/(m·℃)，δ为5 cm时相应的导热系数临界值约为 0.031 W/(m·℃)；而当h为10.0 W/(m2·℃)时，衬砌内表面温度关于隔热层导热系数的梯度均小于30 (m2·℃2)/W，说明对流换热系数的增大将使相应的梯度计算值变小，即衬砌内外表面温度梯度值已经趋向稳定。另外，对于衬砌外表面温度也得到了相同的规律，h为0.25 W/(m2·℃) 情况下，δ分别为10 cm和5 cm时对应的导热系数临界值分别约为0.042 W/(m·℃)和0.032 W/(m·℃)；h为10.0 W/(m2·℃)情况下，δ分别为10 cm和5 cm时对应的导热系数临界值分别约为0.016 W/(m·℃)和0.015 W/(m·℃)，这同样表明界定隔热层导热系数临界值时需要兼顾对流换热系数的大小。

(a) 衬砌内表面温度

(b) 衬砌外表面温度

图64种工况下衬砌内外表面温度隔热层材料厚度及导热系数的变化趋势

Fig. 6 Variation trends of internal and external surface temperatures of lining with thermal conductivity under different working conditions

总之，衬砌内外表面温度随隔热层导热系数的减小呈非线性变化趋势，且降低的幅度随隧道内壁与空气对流换热强度的减小而增大；隔热层导热系数的临界值同时受对流换热强弱和隔热层厚度的影响，并随着对流换热系数的增大及隔热层厚度的减小而减小。这是因为在隔热层导热系数较大时，对流换热强度越小隧道内壁面的散热环境越差，导致热量在衬砌和围岩内部积聚，此时衬砌内外表面温度较高，但随隔热层导热系数的减小衬砌内外表面温度降幅变大；隔热层的设置增加了围岩与隧道内壁面之间的热阻，对于导热系数相同的隔热材料来说，隔热层厚度的减小意味着热阻减小，所以在降温效果相同(即梯度一致)的情况下，导热系数临界值也在减小。

(a) 衬砌内表面温度梯度

(b) 衬砌外表面温度梯度

Fig. 7 Variation trends of inner and outer surface temperature gradients of lining with thermal conductivity under different working conditions

4 结论与讨论

本文在分别考虑了隧道结构有无隔热层的情况下，依据隧道二维轴对称的围岩导热方程并引入第三类边界条件，推导得到了围岩温度分布的分析解，并通过与文献数据对比验证了分析解的可靠性；然后以大瑞铁路高黎贡山隧道为例，通过比较有无隔热层时衬砌外表面温度随围岩厚度的变化趋势得到了合理的围岩计算厚度，并分析了影响衬砌内外表面温度的因素，最终得到以下结论。

1)当洞内气温通过降温措施维持在一定值时，夹心式隔热层敷设方式使衬砌的平均温度低于无隔热层时的平均温度，而贴壁式隔热层敷设方式使衬砌的平均温度高于无隔热层时的平均温度，采用本文的分析解能方便地量化隔热层对衬砌的降温效果，例如本文中设置的工况对流换热系数取0.25 W/(m2·℃)时，采用夹心式隔热层的敷设方式使衬砌平均温度比贴壁式敷设方式降低约1.6 ℃。

2)隧道内壁与空气间对流换热强度对隔热层导热系数临界值的影响程度大于隔热层本身厚度，且当对流换热系数较大时，隔热层导热系数的减小导致衬砌内外表面的降温作用减弱。因此，对于隔热层的选择来说，除了考虑导热系数和隔热层厚度之外，还要兼顾对流换热系数的影响；在同样隔热层厚度的条件下，洞内通风条件较好时，选择热阻较小的隔热材料也能满足隔热要求。

本文以夹心式隔热层敷设方式为例，利用分析解分析了不同内表面对流换热系数条件下，衬砌内外表面温度及其梯度与隔热层导热系数之间的变化关系，从而定量地确定了相应条件下隔热层选择时导热系数的临界值，相关结论可为实际隧道工程施工中合理选择隔热层提供参考。但这些结果是在对隧道结构做了一定简化的情况下获得的，下一步还需针对更符合实际的隧道结构(包含初喷混凝土结构、防水板、二次混凝土浇筑、隔热层及内衬混凝土结构层等)进行研究，以使隔热层导热系数的选取范围更符合工程实际。