由一道高考题引发的思考

2020-03-11 22:37何春兰
数学大世界·中旬刊 2020年1期

何春兰

【摘 要】 构造函数是解决不等式问题的基本方法,根据题目的条件,相应地构造出辅助函数。

【关键词】 变换自变量;构造函数;解答思考

在利用导数解决函数问题中,我们经常会用到构造函数的思想。构造函数是解决不等式问题的基本方法,根据题目的条件,相应地构造出辅助函数。对于含参不等式就可以通过构造不同变量的函数进行运算,通过进一步研究辅助函数的有关性质,给予巧妙的解答。

本文从一道高考试题出发,追根溯源,研究并寻求更简捷的运算方法。

例题:(2016年新课标文科卷3)设函数。

(1)讨论的单调性;

(2)证明当时,;

(3)设,证明当时,。

这里只研究第(3)问。

解:由题设,构造关于的函数,设,

则,令,解得。

当时,,单调递增;当时,,单调递减。

由(2)知,,故,

又,故当时,。

所以当时,。

这种证明方法对学生来说,难点在于如何能将与第(2)问的不等式相结合。但是换个角度考虑,打破常规,如果将着手点放在c>1,将待证的不等式移项,构造关于c的函数,则可有如下证明过程:

又。

在上单调递增,。

我们习惯构造关于自变量是x的函数,但是像这样,通过变换自变量,使得构造的函数形式相对简捷,从而可以简化运算,达到目的。将此方法可以推广应用,如下:

例1:恒成立,求x的取值范围。

分析:本题要求,都有恒成立,这里可以将看为自变量,看为参数,问题等价于,函数g(a)=a(3-x)+3x3-50恒成立。

解,设,

恒成立等价于恒成立,而g(a)为关于a的常函数或者一次函数,max=max。

恒成立,即,解得。

故x的取值范围是。

例2:已知a>ln2-1,求证:x>0时,。

证明:令f(x)=ex-x2+2ax-1,可设。

,是关于a的一次函数,为增函数。

在(ln2-1,+∞)单调递增,ln2-1)。

,既。

令,,

,令ln2

当单调递减;

当单调递增。

,∴在(0,+∞)单调递增,∴h(x)>h(0)=2>0。

也可以将这个方法应用到2018年新课标文科(I)卷和(III)中,具体过程如下:

(2018年新课标文I)已知f(x)=aex-lnx-1。(1)略;(2)当时,f(x)0。

证明:。

∵ex>0,是关于a的一次函数,且在上单调递增,

令。

在上单调递增,且。

∴当时,,在单调递减;当时,,单調递增,

,,

关于2018年新课标文科(III)卷的过程不再赘述。

波利亚:“观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律。” 在教学过程中,根据我们所学习的知识,通过观察,认识数学的本质特点,灵活运用所学知识和技巧进行求解,从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题,使解题顺利完成。我们能从课标出发,处理好高考题,运用好高考题,研发教学资源;结合学生学习的实际做好教学设计,努力创设一种更和谐的学习氛围,充分发挥学生学习的主动性、积极性,师生之间相互配合,共同完成教学任务,就能使学习目标高质量地完成。