何春兰
【摘 要】 构造函数是解决不等式问题的基本方法,根据题目的条件,相应地构造出辅助函数。
【关键词】 变换自变量;构造函数;解答思考
在利用导数解决函数问题中,我们经常会用到构造函数的思想。构造函数是解决不等式问题的基本方法,根据题目的条件,相应地构造出辅助函数。对于含参不等式就可以通过构造不同变量的函数进行运算,通过进一步研究辅助函数的有关性质,给予巧妙的解答。
本文从一道高考试题出发,追根溯源,研究并寻求更简捷的运算方法。
例题:(2016年新课标文科卷3)设函数。
(1)讨论的单调性;
(2)证明当时,;
(3)设,证明当时,。
这里只研究第(3)问。
解:由题设,构造关于的函数,设,
则,令,解得。
当时,,单调递增;当时,,单调递减。
由(2)知,,故,
又,故当时,。
所以当时,。
这种证明方法对学生来说,难点在于如何能将与第(2)问的不等式相结合。但是换个角度考虑,打破常规,如果将着手点放在c>1,将待证的不等式移项,构造关于c的函数,则可有如下证明过程:
,
。
又。
在上单调递增,。
。
我们习惯构造关于自变量是x的函数,但是像这样,通过变换自变量,使得构造的函数形式相对简捷,从而可以简化运算,达到目的。将此方法可以推广应用,如下:
例1:恒成立,求x的取值范围。
分析:本题要求,都有恒成立,这里可以将看为自变量,看为参数,问题等价于,函数g(a)=a(3-x)+3x3-50恒成立。
解,设,
恒成立等价于恒成立,而g(a)为关于a的常函数或者一次函数,max=max。
恒成立,即,解得。
故x的取值范围是。
例2:已知a>ln2-1,求证:x>0时,。
证明:令f(x)=ex-x2+2ax-1,可设。
,是关于a的一次函数,为增函数。
在(ln2-1,+∞)单调递增,ln2-1)。
,既。
令,,
,令ln2
当单调递减;
当单调递增。
,∴在(0,+∞)单调递增,∴h(x)>h(0)=2>0。
。
也可以将这个方法应用到2018年新课标文科(I)卷和(III)中,具体过程如下:
(2018年新课标文I)已知f(x)=aex-lnx-1。(1)略;(2)当时,f(x)0。
证明:。
∵ex>0,是关于a的一次函数,且在上单调递增,
。
令。
在上单调递增,且。
∴当时,,在单调递减;当时,,单調递增,
,,
。
关于2018年新课标文科(III)卷的过程不再赘述。
波利亚:“观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律。” 在教学过程中,根据我们所学习的知识,通过观察,认识数学的本质特点,灵活运用所学知识和技巧进行求解,从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题,使解题顺利完成。我们能从课标出发,处理好高考题,运用好高考题,研发教学资源;结合学生学习的实际做好教学设计,努力创设一种更和谐的学习氛围,充分发挥学生学习的主动性、积极性,师生之间相互配合,共同完成教学任务,就能使学习目标高质量地完成。