覆冰导线三相短路条件下电动力作用瞬态稳定分析

冯文斌，虢 韬，杨 阳，毕家启，魏培权，王 璐

(1.贵州电网有限责任公司输电运行检修分公司，贵阳 550002；2.东北电力大学，吉林 吉林 132012)

我国电力输送距离远、容量大，输电线路的架构也越来越复杂，电压等级越来越高，使输电线路运行情况越来越复杂，输电线路短路故障伴随覆冰导线振动的情况也时有发生。

针对输电线路短路故障伴随覆冰导线振动的情况，国内外学者进行了大量研究。文献[1]提出导线垂直自激振动理论，不考虑扭转振动的单自由度模型。文献[2]提出了扭转舞动机理，当横向垂直振动频率与架空线固有扭转频率重合时，产生双自由度的舞动。在此基础上，文献[3]提出了偏心惯性耦合失稳机理，输电线路在垂直和水平振动下具有偏心惯性而引起扭转，两者耦合而激发横向运动为主、扭转同步的自激振动。文献[4]提出了低阻尼系统共振机理，该理论考虑了输电线路其他组成单元在风力作用下产生的系统共振现象，但此机理仍有待验证。文献[5]计算了新月形覆冰导线在横向振动下的气动力系数, 分析了舞动幅值、频率和扭转振动对动态气动力的影响。文献[6]基于特征值摄动法提出覆冰分裂导线竖向-水平-扭转三自由度耦合的舞动稳定性判断条件式，解释了无法用邓哈托(Den Hartog)或内格(Nigol)单自由度稳定性判断条件式说明的舞动现象，并得到试验结果的验证。文献[7]采用一般的推导方法及ω(t)时刻分析计算法对电动力进行计算，对输电线路的设计、运行有一定的指导作用。文献[8]通过三维磁场对其绕组电感矩阵进行计算以获取短路电流,之后采用绕组电路与变压器三维磁场进行耦合分析，运用分层切片剖分，计算出变压器绕组短路时轴向和辐向的电动力，校核了该电动力对绕组的破坏强度影响，但是这种方法并没有应用到输电线路中。文献[9]对比了截面形状为扇形和新月形的覆冰导线在静态和动态呈现的不同特性；文献[10]针对不同多边形截面进行了风洞实验，且通过提取的特性系数建立了简单的二维结构的舞动模型；文献[11]建立覆冰单导线的有限元模型来分析舞动问题；文献[12]用有限元软件研究三分裂导线的舞动，建立三维非线性梁单元模拟导线，近来也出现了双分裂导线以及四分裂导线的舞动模型。

本文综合考虑了输电导线的结构特性、气动力特性以及电动力特性，结合输电线路的振动形式，得到输电线路舞动的动力学方程，并通过Matlab编程求解方程, 作为构造基于导线舞动曲线的完整数据模型的理论依据，便于线路巡检人员提前做好防范措施。

1 三相短路覆冰导线静动态力学模型

输电线路发生三相短路故障舞动时导线受偏心覆冰的影响，导线竖直向和水平向运动均与扭转运动存在显著的结构、气动力和电动力耦合效应，所以此时输电线路舞动时主要受电动力、气动升力，气动阻力和扭转力矩的影响。覆冰导线在平面内的运动可由竖直、水平和扭转这三个自由度描述，从结构方面来看，水平竖直和扭转运动模态刚度较小；从气动方面来看，竖直运动相当于附加了攻角，扭转运动本身就是攻角的变化，这两个自由度带来的气动荷载远大于水平自由度附加的气动荷载，而静态沉浮并不引起附加气动力。从电动力方面来看，相当于在竖向与扭转运动增强了气动力的变化，导线舞动过程中的静态及动态位置分别见图1的a和b。

图1 覆冰导线的静态和动态位置示意图

图1中，x、y分别为平行于导线横截面的平面内的水平及竖直方向;v为水平静风速；γ为初始凝冰角(静态攻角)；θ为扭转角；o1为无覆冰导线中心位置；o2为覆冰后导线重心位置；e为覆冰重心离导线中心的偏心距。

输电线路在发生短路故障时，导线电流激增，其值远远大于额定电流。具体受力分析见图2。

图2 覆冰导线受力分析图

图2中，F(x)、F(y)、M(θ)分别为水平、垂直和扭转三自由度上的惯性力、阻尼力、刚性力的合力；FV(x,θ)、FV(y,θ)和MV(θ)分别为水平、垂直和扭转三自由度上气动力；Fd(x,θ)、Fd(y,θ)、和Qd(θ)分别为水平、垂直和扭转三自由度电动力；m为单位长度导线的质量；mi为单位长度导线覆冰的质量；θ0为初始扭转角。

2 三相短路覆冰导线电动特性分析

2.1 三相短路电流非周期分量特性分析

在此电路中，供电电源的内阻抗小于短路回路总阻抗的10%，故假设电源电压幅值和频率均为恒定。三相电路短路示意图见图3，其中，ua、ub、uc分别为三相电压;ia、ib、ic为三相电流；Um为电压有效值;ω为电压角频率;α为短路时初始相位角；Rf1、Lf1分别为f点短路时的电阻与电感;R′、L′分别为短路回路外的电阻与电感。

图3 三相电路短路示意图

若f点突然发生三相短路，这个电路即被分成两个独立的回路。在与电源相连的短路回路中，每相阻抗由原来的(R+R′)+jω(L+L′)减小为R+jωL，其稳态电流值必将增大。短路暂态过程的分析与计算就是针对这一回路的。

假设短路在t=0 s时发生，由于电路仍为对称，可以只研究其中的一相，例如c相，c相短路的电流ic表达式为:

ic=Imsin(ωt+α-φ)+Ke-t/TC

(1)

线路发生短路时的短路电流非周期分量I02为：

I02=[Im|0|sin(α-φ|0|)-Imsin(α-φ)]e-t/TC

(2)

式中：φ|0|为未短路时初始相位角;Im|0|为短路电流有效值。

2.2 三相短路覆冰导线电动力计算

设三相导线成水平排列，三相导线的长度为L，三相导线通过的电流是对称的，则两平行导线间的电动力是相吸还是相斥，由两导线流过的电流来决定，同方向时相吸，异方向时相斥。选取b、c两相导线，对其短路后周围磁场进行分析(见图4、图5)。

图4 b、c两相导线磁感线方向图

图5 b、c两相导线磁感应强度分布云图

由图4、图5可知：导线距离越近，磁感线越密集，磁感应强度B越大，导线所受电磁力越大。

因此，根据各导线短路非周期电流，计算出各导线间的电动力Fd计算表达式：

Fd=BIL

(3)

式中I为短路非周期电流。

I=[Im|0|sin(α-φ|0|)-Imsin(α-120°)]e-t/TC

(4)

将式(4)代入式(3)得：

Fd=BL[Im|0|sin(α-φ|0|)-Imsin(α-120°)]e-t/TC

(5)

式中，φ=4π×10-7H/m。

导线磁场叠加示意图见图6。

图6 磁场叠加示意图

磁感应强度B表达式：

(6)

式中：μ为真空磁导率；r为圆环半径。

空间中任意一点P处的合成磁感应强度B为式(7)-式(9)：

(7)

(8)

(9)

式中：xs、ys分别为向上的点横向和纵向位移；xx、yx分别为向下的点横向和纵向位移。

3 覆冰导线升力、阻力和力矩线性形态

根据导线动态位移和静态空气动力的升力、阻力和力矩的测量结果可导出上述各力的表达式。

3.1 惯性力

垂直、水平和扭转方向的惯性力：

(10)

3.2 刚性力

Vx=kxx;Vy=kyy;Vθ=kθθ

(11)

式中：Vx、Vy、Vθ分别为水平、垂直和扭转方向刚性力；kx、ky、kθ分别为水平、垂直和扭转方向刚度系数。

3.3 阻尼力

假定垂直、水平和扭转模中的机械阻尼是粘性的并且上述各式中阻尼力完全不耦合。

(12)

3.4 空气动力诸力

动态条件下，作用在覆冰导线上的空气动力计算分析，需要综合考虑静态情况下空气动力中的升力、阻力和力矩，并且要确实确定准稳态方法的有效性。任一瞬时的攻角由式(13)给出：

(13)

式中β为动态攻角。

作用在导线上的升力L(α)、阻力D(α)和力矩M(α)的线性形态见式(14)-(15)：

(14)

(15)

(16)

式中：CD、CL、CM分别为气动阻力系数、气动升力系数、气动力矩系数；CLα、CDα、CMα分别为短路初始相位角α时的气动阻力系数、气动升力系数、气动力矩系数；vr为水平相对风速。

4 建立覆冰导线振动方程

覆冰导线舞动过程中质点的振动，体现在竖直、水平和扭转三个自由度上，各自对应的动位移分别表示为：u(t)、v(t)和q(t)。质点动位移在满足分离变量假设的条件下，可以用质点振动模态和系统广义坐标乘积的形式来表示：

(17)

式中：φ1(x)、φ2(x)、φ3(x)分别为三个自由度振动模态;q1(t)、q2(t)、q3(t)分别为三个自由度的广义位移。

最终的微分方程组矩阵表达式为：

(18)

式中：m、C、k分别对应舞动系统的单位长度质量、系统阻尼和刚度矩阵；f(t)为风激励和电磁激励；x为三自由度位移向量。

5 三相短路条件下覆冰导线电动力求解

在给定初始位移和初始速度的情况下，利用符号运算符求解结构动力方程，采用表1中各气动力参数数值，绘制三自由度位移随时间变化的函数图像。

表1 覆冰导线(D型)气动力参数表

5.1 计算方法正确性验证

为验证理论计算方法的正确性，对记录的试验模型结构进行数值理论计算，并与测量数据进行比较。导线电压等级为220 kV，覆冰断面为D形，模型节段长约为2.95 m，导线直径为35 mm，覆冰后D形断面偏心距为22.5 mm，D形截面覆冰图见图7。空气密度取值为1.29 kg/m3，初始风偏角为15°，风速7 m/s，计算风攻角为90°时导线舞动位移时程(见图8)。

图7 D形截面覆冰图

图8 导线舞动位移时程曲线及舞动轨迹(90°)

由图8可知，由于初始凝冰角及覆冰导线自身重力作用，导线在初始状态产生一定大小位移，且随着时间增加，导线在水平、竖向及扭转三个方向都有不同程度位移发生。其中，水平位移幅值约为0.145 m，竖向位移幅值约为0.12 m，转角位移达1.25°，模拟计算结果与试验结果一致，验证了导线舞动横扭耦合动力方程的正确性。

5.2 实际输电线路舞动模拟

输电线路导线结构参数见表2，覆冰导线(新月形)气动力参数见表3。以实际试验基地输电线路参数构建模型，对风速为7 m/s，风攻角为90°，冰形为新月形，覆冰厚度为21 mm气象条件下的导线进行舞动理论数值求解分析。其中，气动力系数采用风洞试验数据，导线单位长度转动惯量大小为3.97×10-4kg·m，扭转刚度为1 056 N·m2/rad。Matlab计算导线舞动动力时程响应及运动轨迹见图9。

表2 输电线路导线JLHA1/G1A-400/95结构参数

表3 覆冰导线(新月形)气动力参数表

图9 Matlab计算导线舞动动力时程响应及运动轨迹图

由图9中Matlab计算结果可知，风速为7 m/s，覆冰厚度为21 mm气象条件下导线中点竖直方向舞动最大位移值为2.8 m，水平方向稳定状态值为1.7 m，扭转位移角度为0.38°。

6 结论

该文首先对三相短路时覆冰导线进行受力分析，综合考虑线路自身结构、气动力、电动力特性然后结合输电线路的振动形式，建立了覆冰导线在自身结构、空气动力及电动力耦合作用下的动力学方程。通过Matlab编程对上述耦合动力学方程求解，得到D形覆冰导线、新月形覆冰导线振动的位移时程图，二者在电动力、气动力耦合作用下的运动轨迹相似。