多路分流齿轮传动系统的非线性振动特性研究

□ 戴日辉1 □ 王三民 □ 苏 欣3 □ 周启航

1.海军驻哈尔滨地区第三军事代表室 哈尔滨 150078 2.西北工业大学 机电学院 西安 710072 3.中国船舶重工集团公司 第703研究所 哈尔滨 150078

1 研究背景

在舰船、直升机、盾构机等装备的动力传动领域中,越来越广泛地采用多路分流齿轮传动系统,其中功率二分支齿轮传动系统是最典型的一种多路分流齿轮传动系统。在功率二分支齿轮传动系统中,第一级主动齿轮同时与两个从动齿轮啮合,实现功率的分路传递。第一级的两个从动齿轮与第二级的两个主动齿轮分别通过花键连接,第二级的两个主动齿轮同时与并车齿轮啮合,实现功率的汇流输出。由于这种传动系统全部采用定轴轮系,因此克服了行星齿轮传动系统行星轮离心力大的缺陷[1]。

虽然有关行星齿轮传动系统的动力学特性和均载特性的研究论文较多[2-7],但目前针对多路分流齿轮传动系统的动力学研究成果相对较少。1996年,Krantz等[8-9]开展了功率二分支齿轮传动系统最优均载设计的理论和试验研究。2003年,Kartik等[10]建立了功率二分支齿轮传动系统的动态传动误差分析模型,并研究了齿轮几何参数对传动系统动态传动误差的影响规律,揭示了功率分支传动系统中齿轮副的相差现象。2004年,Fussner等[11]研究了功率分支齿轮传动系统中齿轮参数和轴的偏斜运动对啮合效率的影响规律,建立了高效率功率分支齿轮传动的优化设计方法。2005年,欧卫林等[12]提出了进行复杂齿轮系统动力学分析的轴单元法,并将其应用于功率分支系统的线性振动分析。最近几年,西北工业大学多名教授及研究人员分别对功率分支齿轮系统的动态特性进行了研究,为减振降噪设计奠定了基础[13-16]。

针对功率分支齿轮传动系统已开展的振动特性研究大都采用的是线性模型,不考虑齿轮啮合侧隙和时变啮合刚度等非线性因素的影响,因此无法解释这种传动系统在实际工作过程中出现的次谐、超谐等振动特性。笔者针对功率二分支齿轮传动系统建立了传动系统的扭转振动动力学模型,引入齿侧间隙函数来描述齿轮侧隙,采用傅里叶级数来描述齿轮副啮合刚度,形成齿轮传动系统的非线性振动方程,采用数值方法求解系统的非线性响应,分析了工况参数对振动特性的影响规律。

2 非线性振动模型与方程

图1所示为船用功率二分支齿轮传动系统。

▲图1 功率二分支齿轮传动系统

图2所示为功率二分支齿轮传动系统振动动力学模型。图2中共有八个集中质量,包括六个齿轮和原动机、螺旋桨。仅考虑每个集中质量的扭转振动,因此共有八个振动自由度。这一动力学模型综合考虑了齿轮副的时变啮合刚度、每对齿轮副的齿侧间隙,以及齿轮副综合传动误差和原动机的输入转矩波动等因素。设原动机、六个齿轮、螺旋桨的扭转振动位移为φh,h=1，2，…，8,由牛顿定理可推导出系统的非线性振动微分方程为：

▲图2 功率二分支齿轮传动系统振动动力学模型

(1)

-e3,b3)=0

(2)

(3)

(4)

=0

(5)

=0

(6)

=0

(7)

(8)

f(rb2φ2-rb3φ3-e2,b2)、f(rb2φ2-rb4φ4-e3,b3)、f(rb5φ5-rb7φ7-e6,b6)和f(rb6φ6-rb7φ7-e7,b7)为齿侧间隙非线性函数,将其统一表达为f(x,b),则定义为:

(9)

(10)

3 振动方程处理

为消除系统转动的刚体位移,采用相对位移xh作为广义坐标。

x1=rs1(φ1-φ2)

(11)

x2=rb2φ2-rb3φ3-e2

(12)

x3=rs4(φ3-φ4)-e3

(13)

x4=rb4φ4-rb7φ7

(14)

x5=rb2φ2-rb5φ5

(15)

x6=rs5(φ5-φ6)-e6

(16)

x7=rb6φ6-rb7φ7-e7

(17)

x8=rs8(φ7-φ8)

(18)

式中：rsj为各传动轴的半径。

另外,振动微分方程式(1)～式(8)中各物理量的数值差别较大,这样会给求解计算带来较大误差,因此在求解计算之前应对系统振动微分方程进行无量纲化处理。

τ=tωp

(19)

(20)

式中：ωp为传动系统的一阶扭转振动固有频率。

(21)

(22)

(23)

将式(11)～式(23)代入式(1)～式(8),并经过整理，可得到系统无量纲化的非线性振动微分方程：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

=0

(29)

=F8

(30)

4 振动方程数值求解

对于非线性振动微分方程式(24)～式(30)，采用四阶变步长龙格-库塔数值法求解。首先将该二阶非线性微分方程转化为一阶状态微分方程的初值问题。

(31)

数值方法求解式(31)的基本思路是:对于给定的初始时间t0和终止时间td,取足够大的正整数N,将时间段[t0,td]离散为N段:

tk=t0+kΔt

(32)

Δt=(td-t0)/Nk=0,1,…,N

(33)

式中：tk为第k个时间点;Δt为时间步长。

在时间间隔[tk,tk+1]内对式(31)进行积分,根据积分中值定理,存在sk∈[tk,tk+1]，使：

=X(tk)+f[X(sk),sk]Δt

(34)

式中：tk+1为第k+1个时间点；sk为tk至tk+1时间段中的时间点；s为tk至tk+1时间段中的时间。

若能通过某种计算方法得到sk的近似值,则可获得X(t)在[t0,td]上的离散近似值Xk。

5 系统非线性动力学特性

功率二分支齿轮传动系统的参数见表1。

表1 功率二分支齿轮传动系统参数

取各齿轮副的齿侧间隙bl为100 μm,各齿轮副的综合传动误差elm为10 μm，时变啮合刚度表示为均值和一阶谐波分量之和的形式,即:

(35)

齿轮副的综合传动误差可表示为:

(36)

▲图3 ω—为0.75时一周期响应

由图3～图6可以看出,随着系统无量纲角频率的变化,与线性振动系统不同的是,非线性系统的振动形态会发生本质变化,即除了与无量纲角频率相同的简谐响应之外,系统还会出现超谐波、拟周期，以及混沌响应。

▲图4 ω—为0.76时三周期响应▲图5 ω—为0.77时拟周期响应

▲图6 ω—为0.80时混沌响应

6 结束语

将功率二分支齿轮传动系统简化为八个集中质量和八个自由度的扭转振动模型,采用间隙函数描述齿侧间隙,采用傅里叶级数描述齿轮时变啮合刚度,形成非线性振动微分方程。

由于齿侧间隙和时变啮合刚度的存在,功率二分支齿轮传动系统的振动响应表现出较强的非线性振动特点,即不仅存在简谐响应,而且还存在超谐响应和混沌响应。