探索“放缩与替换求和”在解题中的应用

栾功

[摘要]结合课本习题和高考压轴题探索“放缩与替换求和”在解题中的应用，以提高学生的解题能力.

[关键词]放缩;替换;求和;应用

[中图分类号]G633.6  [文献标识码]A  [文章编号]1674-6058（2020）02-0014-03

近年高考真题出现函数、不等式与数列求和综合的一类不等式证明问题.这类题目综合性强，容易给考生造成一定的心理压力，考生常常望而生畏.深入分析可知，这类问题源于课本且延伸到高等数学内容.笔者经研究发现，借助函数不等式“放缩”可使题目求解柳暗花明，替换求和水到渠成.

一、一道课本习题的解法分析

人教A版选修2-2第一章《1.3.3函数的最值与导数》的B组第1题（3）（4）：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数的图像直观验证：（3）;（4）.

分析一：从导数研究函数性质的通法看，可以构造函数与，利用单调性证明.

证明：设，则.x<0时;x>0时.

因此函数f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，故，所以.

记，，时，;时，.因此函数在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故，当且仅当时取等号，故时，所以当时，.

分析二：从函数图像的关系看，问题源于曲线在（0，1）处的切线和y=lnx在（1，0）处的切线.通过观察函数图像的位置关系可以得到以上结论.如图1，可得，当且仅当x=0时取等号;x-1≥lnx，当且仅当x=1时取等号.

评注：和源于课本，两者有着密切的联系.如在中以lnx代换x，可得，即.这两个不等式也称为切线不等式，其实现了指数、对数问题的放缩与转化，以此为源头可演绎出许多不同结构的试题，用以考查导数的基础知识与基本方法，考查不等式转化、对数和指数的性质、不等式求和等.

二、由课本习题引申出的高考题解法分析

[例1]（2017年新课标III卷理21）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）设m为整数，且对任意正整数n，.，求m的最小值.

解析：（1）解答过程略，f（x）≥0时，a=1.

（2）解法1：由（1）知当x>0，x≠1时，f（x）=x-1-lnx>0，即lnx

令.

，即.

所以.

所以m的最小值为3.

解法2：因为（x=0时取等号），所以，

所以.

又，所以m的最小值为3.

评注：本题当a=1时函数解析式f（x）=x-1-lnx，考生容易联系到课本习题所得切线不等式.同时第（1）问的问题再次指向了该不等式，即当x>1时.再来看第（2）问，不等式的左端n个式子结构形式一致，具有数列的特征，考生的思维容易联系到数列求和.而对数运算正好实现了积与和的转化，这就有了解法1.借助切线不等式实现放缩.观察待证不等式通项特征，可令，即有

，通过变量替换和对数运算，把n个式子求积的运算转化为n个式子求和，问题迎刃而解.当然，对于n个式子求乘积的运算，考生还会联系到指数运算律，结合本题情境使用切线不等式来放缩，可令，则有，连乘积问题通过指数运算转化为等比数列求和，问题的求解水到渠成.

[例2]（2018年广州二测文21）已知函数.

（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a>0恒成立，求k的取值范围;

（2）证明：.（其中e为自然数的底数）

解析：（1）略.

（2）证法1：由（1）知，a=1时，即（x=1时取等号）.

当时，取，则，

即，，

将以上n个式子相加得

证法2：因为（x=0时取等号），所以，

从而.，

记，由证法1知，

因此.

评注：本题的两种证法都源于切线不等式，与例1有异曲同工之妙.本题与例1的区别是在替换求和过程中出现了错位相减，进一步告诉考生这类问题的关键在于寻找切线不等式，从而实现放缩，以达到不等式求和之目的.而求和又不止于等比数列，需要考生灵活应用方法.

[例3]（2011年“华约”自主招生13）已知函数.

（1）求数列的通项公式;

（2）证明：.

解析：

（1）由，得，所以，从而，

由得，所以.

（2）要證，只需证，即.

，整理得.

证法1：由知，从而.

所以，

即，

从而.

所以

证法2：由得，

所以，.

评注：例3的第（1）问求解数列通项公式为第（2）问的求解做好了铺垫.考生遇到的难点是所证式子代进通项公式后结构形式较为复杂，不具备直接使用切线不等式放缩的结构特征，需要考生对式子等价变形，转化为，此时问题与例1、例2如出一辙.

三、提炼概括

这类不等式的一般结构形式为

解决问题的主要方法是借助切线不等式放缩，用待解问题中的通项替换切线不等式中的变量，通过指数运算、对数运算把和、积不可求的问题转化为特殊数列求和.

导数、不等式、数列求和综合的这类题目，考查函数的导数及其应用的基础知识，导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数极值和最值的方法，考查对数函数和、指数函数的性质、不等式转化与数列求和等知识，对考生的问题转化能力和推理论证能力都提出了较高要求，有一定难度，但又很有规律，都是源于函数的不等式替换求和问题，考生需将待证不等式整理为一般形式，从而便于探源寻找与数列不等式结构形式一致的函数不等式，用来放缩以便求和.解题的一般程序为：调整——放缩——替换——求和.

[参考文献]

教育部考试中心.高考理科试题分析[M].北京：高等教育出版社，2017.