直流电路中星形到三角形电路的等效转换

李海旺 云南省民族中等专业学校

一、等效转换的必要性

对更为复杂的电阻并联或串联组合形式，无法采用我们熟知的欧姆定律直接计算电阻大小的情况。所以，必须利用到数学的思路，再根据欧姆定律进行剖析解决。

最具代表性的电阻连接方式是像Y结构和△结构的电阻连接方式。本文选取这两种电路的等效转换来举例子，利用以上提到的原理，推理出能够满足这种等效转换的数学表达式。

二、星形转换为三角形电路的过程

最先，我们可以将这两个不同的电路图都当成两个一样的黑匣子，只保留①，②，③三个端口，原理是，保证电路电阻和流入以及流出的电流都是一样的，给出相应的等效条件是：①，②，③处节点对用的电流和电压是一样的，即为：I1=I1’、I2=I2’、I3=I3’、U12=U12’、U23=U23’、U31=U31’

此时，我们可以先对Δ形电路深入分析，先分析1号端口电流的具体情况，由于I1作为干路电流在通过节点的时候，主干电流出现分流，流到2号端口和流到3号端口，结合串联电路的电流的规律和特点，可以得到，干路电流的大小等于各支路电流相加，并且，结合欧姆定律，我们能够分析得出电阻：I=U/R。所以，我们能够分析得出以下几个式子：I1'=U12'/R12'－U31'/R31’、I2’=U23’/R23-U12’/R12、I3=U31’/R31-U23’/R23

然而，这些式子同样适用于其他两个端口，同理，我们也可以推导出相应的式子，从而得出一个总的式子：上面，就是分析Δ形电路中各个电阻之间存在的关系得出来的式子，接着，我们采取同样的方式来分析Y形电路的特点，再结合前面的先决条件来探究两电路之间等效转换的方法。对于Y形电路来说，起初我们可以假设在这个电路的正中间存在一个节点，通过图我们能够观察到，三个不同端口的电流汇聚在正中心的节点上，结合实际生活常识，我们能够知道，电流是不可能一直无限增加的。因此，我们可以得出一个式子：I1+I2+I3=0（1）

此时，我们需要逐个分析1、2这两个端口，结合欧姆定律，并用U12来表示1、2号端口的总电压，由欧姆定律可以得到：I=U/R，U12=I1*R1－ I2*R2（2）

接着，我们先不管1号端口，来分析2、3号两个端口，用同样的方式推导，用U23表示2、3号两个端口的总电压，我们可以得到一个式子：U23=I2*R2－I3*R3（3）

同理，我们还可以得到最后一个式子：U31=I3*R3－I1*R1（4）

接着联立上面四个式子，然后进行简化，可以发现各个干路电流与各支路电阻的关系：

I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1I2=R1U23/R1R2+R2R3+R3R1-R3U12/R1R2+R2R3+R3R1

I3=R2U31/R1R2+R2R3+R3R1-R1U23/R1R2+R2R3+R3R1

上面提到的就是我们深入Y形电路之后得到的结果，我们也可以利用电阻与电压的关系表示出电流，接下来，我们开始进一步转化。

因为文章开始我们给出了一个先决条件电压与电流是相等的。

I1’=U12’/R12-U31’/R31I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1

因此，联立两个式子，就可以化简得出电阻的表达式：R12=R1+R2+R1R2/R3

我们很容易观察到，R12与R1、R2、R3之间存在的关联，通过同样的方式，我们可以将这个式子应用到其他两个端口，化简整理之后，我们可以得出：

R12=R1+R2+R1R2/R3R23=R2+R3+R2R3/R1R31=R3+R1+R3R1/R2

通过对该式子进行变形可以得到：

R1=R12R31/R12+R23+R31R2=R23R12/R12+R23+R31R3=R31R23/R12+R23+R31

通过这种方法，我们就找到了的电阻之间的相互转化的方法，此时，假如我们想象一种情况：R12=R23=R31=R△与R1=R2=R3=RY，与此同时，就是我们常见的对称三端电阻网络，我们把上述条件带入分析得出的式子当中，可以得到对称三端网络的转化关系：

RΔ=3RYRY=1/3RΔ

我们验证之后的结果与我们猜测的结果是一致的，可以初步判断我们的方法是正确的，所以，我们能够得到Y形电路—Δ形电路的一般式子：

Δ电导=Y相邻电导之积/Y电导之和 Y电阻=Δ相邻电导之积/Δ电导之和

因此，我们将验证得出的这个式子结合到我们生活中的实际问题中，来进一步检验我们的猜测是否准确。关于这个问题，我们将4、5、6这三个电阻当成一组(1号组)，将1、2、3当成一组(2号组)，很容易发现，一号组电路的构成实际上就是一个Δ形电路，而二号组电路构成实际实际上就是一个Y形电路。

如图所示：在电路中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，不计电源内阻，试求，流过电源的电流大小。关于这个问题，我们首先将2号组，Y形电路等效转换成一个Δ形电路，来进一步使电路构成简单化。转化成Δ形电路之后，通过观察我们很容易找到，两个Δ形电路中的三个电阻，两两组合成了并联关系，所以，我们可以结合欧姆定律再次简化之后，得到一个Δ形的电路。此时，我们就把这个复杂的问题转化成了简单的串并联电路，进而解决这个问题，得出答案。

推理过程：把电阻分成两个组，1、2、3作为一组(二号组)，4、5、6作为一组(一号组)。

结合Y形电路—Δ形电路的转化方式，将二号组转化为Δ形电路。

根据串并联之间的关系，可以得到，R12、R4的并联电阻=11*12/(11+12)

采取同样的方式可以得到，R23、R5的并联电阻=33*15/(33+15)

R31、R6的并联电阻=16.5*18/(16.5+18)

最终，得到一个Δ形电路，将这个Δ形电路，等效为一个电阻与另外两个电阻的并联电路。计算出电阻约为：5.3255Ω

根据上面的方法我们也可以得到电流的大小，

I总=U总/R总≈0.5633A，进而得出答案。

三、结语

本文就Y形—Δ形电路的等效转换，结合欧姆定律进行深入探究，总而言之，其原理就是因为从其中一个端口向电阻网络看进去，都适用于符合欧姆定律的等效原则，从而不会对电路其他部分造成影响，在推理Y结构和△结构的等效转换的基础上，验证等效转换之后的数值没有对结果造成影响，本文采取的验证方法相对来说比较简单，有利于让专业知识不是很到位的人也能够清楚理解整个验证的逻辑思维。