奥林匹克数学的“误区”“价值”“局限”与“思考”

张丽玉，牛伟强，熊 斌

奥林匹克数学的“误区”“价值”“局限”与“思考”

张丽玉1，2，牛伟强3，熊 斌1，2

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241；3．郑州师范学院 数学与统计学院，河南 郑州 450044）

奥林匹克数学是一门特殊的数学教育课程．人们对奥数的理解存在一些误区，并非每一个学生都适合学习奥数，学习奥数的目的也不是为了获奖，奥数优胜者更不一定会成为数学家．奥数是数学资优生教育的重要方式，也是选拔科学研究人才的有效手段．尽管奥数有不菲的教育价值，但是奥数也有一定的教育局限．奥数教育的对象、内容、时间都不可过度，奥数教育应充分重视数学思维能力的培养，数学资优生的教育不应仅限于奥数，大学数学预科课程也应成为资优生的重要选择，奥数优胜选手的高等教育一定要因材施教．

奥林匹克数学；奥数的认识误区；奥数的教育价值；奥数的教育局限

1 问题提出

2018年5月3日《人物》杂志发表了对两届国际数学奥林匹克金牌得主付云皓的访谈文章——“奥数天才坠落之后”，文中发出了一种“伤仲永”式的感慨，哀叹“天才坠落”．不久，受访人做出回应，在知乎网站发表了“在脚踏实地处，付云皓自白书”．随后大量的报刊媒体和公众相继就这一事件发表评论．有人哀叹“奥数天才坠落”，有人表示“脚踏实地地奋斗为何被惋惜”，也有人怀疑“奥数天才当老师是‘坠落’吗”，还有人质疑“是奥数天才的坠落，还是媒体的堕落”，等等．这两篇文章的出现引发了人们关于奥林匹克数学的价值以及数学资优生职业发展的激烈争论．原因在于，一方面许多报刊媒体对奥数获奖者称赞有加，甚至冠以“数学天才”，期望很高；另一方面人们发现不少奥数获奖者工作之后并没有取得人们期望的成就．这一矛盾引发了人们对奥数以及奥数获奖者职业发展的大量疑问和困惑．研究者认为，奥林匹克数学是数学教育特别是资优生教育的一个重要研究领域，面对公众的疑问和困惑，数学教育界有必要也有义务澄清人们对奥林匹克数学的认识，给公众一个满意的解释和答复．

2 奥林匹克数学的认识误区

奥林匹克数学简称为奥数，又叫做竞赛数学，它是一门面向中小学生的数学竞赛教育课程．而“数学奥林匹克”这一叫法最初来源于苏联数学界类比古希腊体育竞赛称呼当时的中学生数学竞赛，1959年第一届国际数学奥林匹克在罗马尼亚举行，是为国际中学生数学竞赛的开端[1]．尽管中国早在20世纪50年代末部分城市就已经开始举办中学生数学竞赛，并且“中国数学奥林匹克”“全国高中数学联合竞赛”等竞赛活动早已声名远播国内外，但是社会媒体以及广大家长对奥数的认识仍比较肤浅和片面，甚至还存有很多错误的认识和理解．

2.1 每个学生都适合学习奥林匹克数学

随着奥数影响的扩大，特别是媒体关于奥数冠军的大力宣传，每个家长多多少少都会对奥数有些初步的认识．然而，大多数家长对奥数缺乏足够的了解，只是看到别人家的孩子在学习奥数，于是盲目地送自己的孩子学习奥数，却根本不考虑自己的孩子是否适合学习奥数．这些盲目的做法导致了奥数特别是小学奥数学习对象过度扩大化，也是导致奥数遭到质疑和批评的主要原因．目前已有一些学者在实证研究的基础上分析小学生大面积参与奥数学习的根源，并提出了一些较有针对性的建议[2]．事实上，奥数从本质上来说是一种英才教育，是面向少数数学学有余力的资优生的教育．对于这个认识，相关专家甚至明确表示大约只有5%的学生适合学习奥数[3]．可见，奥数是一种小众性的教育，远非每一个学生都适合学习奥数．如果一个学生连学校基本的数学都没有掌握，那么就根本没有必要学习奥数．如果学校的数学课程学有余力且数学兴趣浓厚，希望进一步提高自己的数学能力，那么不妨尝试一下学习奥数．

2.2 学习奥林匹克数学的目的就是获奖

数学是中小学公认的一门较为困难的科目，对大多数学生来说数学学习也并不是一件容易的事情，奥数的学习更是如此．尽管中国每年都有大批学生参加奥数学习，然而能够学有所成并且最终脱颖而出的学生并不多，特别是能够进入国家队参加国际数学奥林匹克的学生更是极为有限．原因在于每年一届的国际数学奥林匹克每个国家参赛的队员都不会超过6人，而能够获奖的学生更是少之又少．因此，奥数学习的目的不能仅仅是为了获奖，奥数学习更多的是对学生数学思维能力的发展，特别是对大多数不会获奖的学习者来说，其目的更应该是发展学生的数学思维能力．因此，数学思维能力的发展应该引起奥数教育的重视．事实上，中国著名心理学家林崇德教授早已指出数学思维品质与数学能力密切相关，通过培养学生的数学思维品质能够有效地提高学生的数学能力[4]．那种认为学习奥数目的就是为了获奖的想法是十分功利的，也是极为狭隘不可取的．

2.3 奥数优胜者应成为数学家

尽管奥数优胜者尤其是奥数冠军在数学方面通常具有一定的天赋和才能，但是能够在奥数中获得好成绩不一定意味着能够在数学研究中取得成功．原因在于数学竞赛需要的能力与数学研究需要的能力存在很大的差异，数学竞赛所需的能力只是数学研究能力的一小部分[5]．再说，奥数优胜者甚至奥数冠军只是中学数学竞赛获奖者，他们读大学时有很多专业可以选择，并不一定会选择读数学，更不一定走数学研究的道路，从而成为数学家．例如，在一份关于1985—2003年中国奥数参赛选手职业情况的调查中，发现大约只有49%的奥数参赛者的职业与数学研究和教学有关[6]．事实上，即使大学生数学竞赛获奖者未来也不一定会成为数学家．例如，调查发现世界上最知名的大学生数学竞赛——普特南数学竞赛的获奖者中成为数学家的比例也仅有60%左右[7]．可见，那种认为奥数优胜者就应该成为数学家否则就是坠落的想法是十分荒唐的．奥数优胜者为何不可以成为一名普通的数学教师？奥数优胜者对基础数学教育的理解可能更为深刻，从事基础数学教育培养未来的中小学数学教师其意义并不亚于数学研究．

3 奥林匹克数学的教育价值

关于奥数的教育价值，已有不少学者[8-11]进行了研究，论述了奥数对青少年发展的积极作用，如：激发数学学习兴趣，促进数学能力发展，提高学生的素质，等等．然而，也有学者[12]对奥数的教育价值提出了不同的看法甚至质疑．这一事实表明数学教育界对奥数教育价值的认识并不一致．因此，有必要进一步深入探讨奥数的教育价值．分析已有研究，发现大多学者都是从个人的角度论述奥数的教育价值，阐述奥数对学生个人发展的促进作用．然而，分析还发现从社会的角度论述奥数教育价值的研究相对较少，并且阐述奥数对社会发展价值的研究也不够充分．研究者试图从社会的角度进一步论述奥数的教育价值，阐述数学竞赛在资优生教育和人才识别方面的价值，作为对已有研究的补充．

3.1 数学竞赛是数学资优生教育的重要方式

数学资优生是国家宝贵的人才资源，是国家重要的潜在科学研究人才，他们的教育和发展应该引起国家和教育界的充分重视．事实上，资优教育特别是数学资优教育是国际资优教育研究的一个热点领域．然而，中国的资优教育特别是数学资优教育并未引起人们足够的重视．数学资优教育研究无论是理论还是实践研究成果都很缺乏，对指导数学资优教育的实践严重滞后．著名数学家和数学教育家波利亚指出：“将未来的数学家发掘出来是一件最重要的事情，假如他们选择了一项错误的职业，那么他们的才能将遭到浪费．”[13]那么怎样才能避免人才的浪费，特别是科学研究人才的浪费呢？研究者认为这需要制定因材施教的教育策略，给数学资优生充分的发展空间．普通的数学课程对资优生来说是远远不够的，资优生没有足够的发展数学才能的机会和空间．因此，资优生必须要补充额外的数学教育．奥数在世界各国都是中小学数学教育的重要内容之一，对学有余力的中小学生也是一项发展自己数学才能的机会．这一事实表明奥数完全可以作为数学资优生教育的一种方式，供学有余力的学生额外学习，加速发展．

3.2 数学竞赛是选拔科学研究人才的有效手段

现代数学竞赛源于1894年的匈牙利，匈牙利数学竞赛的优胜者后来涌现出与其人口和面积不成比例的世界一流的数学家和科学家，数学竞赛由此引起了欧美各国的重视，随后在世界各地开始流行开来[1]．改革开放后，中国开始参与跨国数学竞赛活动，特别是国际数学奥林匹克．国际数学奥林匹克是当今世界上最著名的中学生数学竞赛，它的题目极具挑战性，在世界各国数学教育界都有很大的影响力．国际数学奥林匹克的获奖选手通常在数学方面具有特别的天赋和才能，在职业发展上不少获奖选手后来选择了数学研究，很多人最后成为了数学家，不少人已经在数学研究中取得了杰出的成绩，甚至获得了数学界的最高奖——菲尔兹奖．尽管中国的奥数获奖选手尚未有人拿到数学界的最高奖，但是已经有不少人在国内外知名高校或科研院所拿到了教授或研究员职位．另外，一项实证研究发现作为世界上最知名的大学生数学竞赛，普特南数学竞赛的获奖者——普特南会员成为数学家和科学家的比例高达77%，涌现出杰出科学家的比例更是超过10%[7]．这些事实充分表明数学竞赛是识别和选拔科学研究人才的有效手段．

4 奥林匹克数学的教育局限

尽管奥林匹克数学在资优生教育以及科学研究人才识别方面极具教育价值，但是奥数作为一种竞赛教育也存在一定的教育局限．因此，应该辩证地看待奥数的价值，既不能抹杀奥数的教育价值也不能忽视奥数的教育局限．

4.1 奥林匹克数学问题的局限

奥数中的问题基本上都是初等数学的内容，特别是代数和几何，由于内容较为初等，很少涉及微积分等高等数学的思想和方法．因此，奥数中的问题往往技巧性较强，这就导致了奥数培训的过程中师生过于重视解题技巧．然而，从本质上说数学玩的是概念而不是技巧[14]．可见，奥数问题与数学研究问题存在一定的差别．那么什么样的问题才是“好的”数学研究问题呢？著名数学家陈省身认为“好的”数学问题是需要长时间思考的，需要几天、几个月甚至数年才能解决，而几个小时就能解决的问题通常不会是好的数学研究问题[15]．这是因为数学研究中最重要的是思想方法，而只有通过长时间的思考才有可能创造出新的数学思想或数学方法．因此，奥数问题的局限需要引起人们足够的重视，不可过度沉迷于奥数问题，以免耽误今后数学研究事业的发展．事实上，数学问题的选择对学生的学习极为重要，而不合适的问题有可能误导学生，甚至给学生带来错误的认识，影响学生今后的发展．

4.2 奥林匹克数学对象的局限

奥数与普通的学校数学有很大的区别．普通的学校数学教育的对象是全体在校学生，它面向的是每一位学生，这是因为每一个学生都需要获得基本的数学知识，但是奥数教育的对象却是少数数学资优生，至少是学校数学学有余力的优秀学生．这意味着奥数比学校数学的教育对象狭窄得多，其对象具有十足的小众性．奥数从本质上来说是一种精英教育，它仅仅适合少数有数学天赋且数学兴趣浓厚的优秀生．对于这个认识，已经有学者指了出来．例如，游安军指出：“数学竞赛不是基础教育，更不能搞成普及教育，数学竞赛应该是针对少数数学英才学生的一种英才教育．”[16]可见，奥数的对象具有一定局限性．奥数原是一种面向中学生的课外活动，但是由于升学等各种因素的影响，中国奥数教育的对象扩展到了小学生．在小学阶段可能大部分学生还有能力和兴趣学习奥数，但是到了高中阶段参加奥数学习的学生就仅占很小一部分了，大部分学生则基本没有能力也没有必要学习高中奥数．

4.3 奥林匹克数学目标的局限

国际数学奥林匹克的目标是“激发青年人的数学才能，引起青年对数学的兴趣，发现科技人才的后备军，促进各国数学教育的交流与发展”[17]．奥数教育原本的目标十分美好，但在中国的现实却离目标有一定的差距，中国中小学生参加奥数教育不乏有一些功利性．调查发现中国小学生学习奥数的人数众多，有些学生学习奥数的目的与获奖或升学有一定的关系．然而，数学竞赛中能够获奖的仅仅是一小部分极为优秀的学生，对大多数学生来说学习奥数不可能获奖．事实上，小学奥数教育的过度功利性也正是引起社会媒体批评的一个主要原因．此外，奥数对中小学生数学能力的发展也有一定的局限．北京大学数学教授许晨阳认为数学研究中需要许多不同的数学能力，数学竞赛培养的能力只是其中的一部分，尽管适度的训练可以在某种程度上发展学生的数学能力，但是过度的训练却有可能阻碍学生数学研究所需能力的发展[5]．因此，奥数优胜选手很有必要认识到奥数存在的不足，并且能够跳出奥数的圈子，尽快进入并适应高等数学的学习和研究．

5 奥林匹克数学的实践反思

奥林匹克数学一方面具有重要的教育价值，另一方面也有自身的教育局限．那么奥林匹克数学怎样才能既发挥应有的教育价值又克服自身的教育局限呢？根据对奥林匹克数学教育的实践与反思，研究者认为奥林匹克数学教育应该特别注意以下几个方面，从而更好地促进数学资优生的成长与发展．

5.1 奥林匹克数学教育的对象及内容和时间都不可过度

首先，奥数是针对中小学生的一种特殊的数学教育，它可以作为有数学天赋和数学兴趣的优秀学生的课外数学教育．因此，奥数教育的对象需要注意不要随意扩大化．其次，奥数的教育内容主要是竞赛需要的知识和方法，这些题目具有一定的局限性，沉迷于奥数题目有可能阻碍日后数学的进一步学习，不利于学生数学研究能力的发展．再次，参加数学竞赛需要付出极大的精力进行备考，这对于中小学特别是高中正常的教学秩序肯定会产生不小的甚至是不可忽视的影响．因此，奥数学习的时间需要把控好．最后，学生是否有必要多次参加国际数学奥林匹克是一个值得讨论的问题．虽然从为国争光的角度来说值得一试，但是从奥数选手个人职业发展角度来说存在不小的风险．对于这个认识，北京大学数学科学学院的许晨阳教授曾对自己从事奥数的学习经历做过深刻的反思，他认为如果学生已经无法从奥数学习中获益，那么最好是中断奥数学习，这样或许对今后学生职业的发展更为有利[5]．

5.2 数学思维能力培养应成为奥林匹克数学教育的目标

一般来说，奥数教育不能把获奖作为教育的目标，这是因为能够得奖的毕竟只是少数优秀的学生，对大多数学生来说很难在奥数比赛中获奖．奥数教育应该注意培养学生的数学兴趣，防止过度的训练磨灭学生的数学兴趣，不利于奥数学习者特别是优胜选手今后数学事业的发展．因此，奥数教育的目的应该是为了进一步发展学生的数学思维能力而不是在竞赛中获奖．数学思维能力特别是数学创造性思维能力的培养应成为奥数教育的主要目标．中国著名心理学家林崇德认为数学思维能力的发展是提高学生数学能力的有效手段，他指出可以通过培养学生数学思维的灵活性、数学思维的批判性、数学思维的独创性、数学思维的深刻性以及数学思维的敏捷性来提高学生的数学思维品质，从而提高学生的数学能力[4]．事实上，奥数中很多题目非常适合用于训练资优生的数学思维品质，对发展资优生的数学思维能力极为有利．学校数学通常是一类常规的数学问题，奥数作为一类非常规问题对发展学生的数学思维能力可以发挥不可替代的作用．

5.3 大学数学预科课程和奥林匹克数学教育应互为补充

数学资优生的教育方式应该是多样化的，不应该局限于奥数教育．大学预科课程、数学竞赛教育以及专家个别辅导都是数学资优教育的方式．可见，奥数仅仅是数学资优生数学教育的一种方式，数学资优生还应该有其它的数学教育方式．数学学有余力的学生特别是数学资优生如果学习兴趣不在奥数，那么也可以开设一些其它的数学拓展课程．例如，目前欧美一些国家知名中学广泛开设的大学数学预科课程可以作为奥数教育的额外选择．事实上，数学资优生应该尽快走到科学的前沿，而不是仅仅局限在初等数学的范围，原地打转．美国一些顶尖的数学与科学中学为资优生开设了丰富的大学先修课程，这些课程的开设符合资优人才的教育需求，取得了良好的教育效果[18]．近年来，大学先修课程逐渐引起国内学者的注意，已有学者呼吁大学数学先修课程应该成为高中优秀学生的重要选择[19]．数学资优生的教育不仅要重视数学教育还要重视物理、计算机等相关学科的学习，这对数学资优生全面发展，预防学习偏科等问题有重要意义．

5.4 奥林匹克数学优胜选手的高等教育一定要因材施教

奥数优胜选手是一类特殊的人才，这些人才通常在数学和科学方面具有特别的天赋和才能，极有可能在未来成为数学家或科学家．因此，为了更好地促进奥数优胜选手的发展，这些特殊人才的培养有必要施以特殊的教育．奥数优胜选手的高等教育很有必要根据相应人才的特点因材施教，只有这样才能减少低成就资优生的数量，减少乃至杜绝“伤仲永”现象．奥数优胜选手可以通过特殊的途径升入大学，希望大学对这些学生施以恰当的教育，促进这些特殊人才的发展．事实上，不少研究表明低成就资优生产生的一个重要原因就是没有得到适当的教育．然而，不幸的是中国关于低成就资优生的研究相当匮乏，关于奥数优胜选手长期的跟踪研究更是罕见．因此，因材施教应该引起中国数学资优教育工作者的充分重视，特别是关于低成就资优生的研究亟待加强．最后，评价奥数优胜者的职业成就应该等到奥数优胜者充分发展，甚至达到职业的顶峰，然后才可以通过长期的纵向研究，从而更好地评判奥数的价值以及奥数优胜者的职业成就．

6 结语

奥数是面向资优生的一种特殊的数学教育．尽管奥数教育在中国发展的过程中出现了一些不尽如人意的现象，但是这并不能成为批评甚至否认奥数教育价值的原因．那种一刀切，禁绝奥数的想法并不能解决奥数教育中出现的问题．研究者认为目前亟需做的不是批评奥数，而是深入研究奥数，探索奥数教育的规律，使奥数真正回归到资优生教育的轨道上来．事实上，已有学者指出奥数教育的关键在于优秀的教师．一个优秀的教师能够判断一个学生是否适合学习奥数，并且能够为学生提供合适的奥数教育．目前，奥数教育中出现的诸多乱象根源主要有两个，一是奥数培训机构、家长甚至学生功利性太强[20–21]，另一个是合格的奥数教师严重匮乏[21]．这两个原因导致了大量不合适的学生在学习奥数或者少数合适的学生却没有得到相应的奥数教育．因此，如何解决这两个问题，特别是培养大批合格乃至优秀的奥数教师应该引起数学教育界的重视和思考．

[1] 朱华伟．从数学竞赛到竞赛数学[M]．北京：科学出版社，2009：6–7，43–51．

[2] 周一妍，蔡怡文．为何只有5%的中国学生适合学奥数[EB/OL]．（2017–04–06）[2018–06–10]．http://www.sohu. com/a/132252441_639570．

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[5] 许晨阳．数学竞赛有何意义？数学竞赛对我数学研究的影响[EB/OL]．（2017–02–08）[2018–06–10]．http://blog.sina. com.cn/s/blog_4ee63ce90102xg7z.html.

[6] 何伟．“奥数天才”付云皓们，都去哪儿了[EB/OL]．（2018–05–15）[2018–06–10]．https://www.thepaper.cn/newsDetail_ forward_2122996．

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[8] 沈文选．奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育[J]．数学教育学报，2002，11（3）：21–25．

[9] 张维忠．数学“奥赛”：价值、问题与对策[J]．全球教育展望，2004，33（5）：73–76．

[10] 朱华伟．试论数学奥林匹克的教育价值[J]．数学教育学报，2007，16（2）：12–15．

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[14] 李邦河．数的概念的发展[J]．数学通报，2009，48（8）：1–3．

[15] 张孝达，陈宏伯，李琳选．数学大师论数学教育[M]．杭州：浙江教育出版社，2007：55–57．

[16] 游安军．也论中国数学竞赛的教育性质——与罗增儒先生商榷[J]．数学教育学报，2009，18（1）：48–51．

[17] 熊斌．奥数无奈被“绑”被“异化”[J]．湖南教育（C版），2009（7）：27–28．

[18] 程红兵．误读美国教育：中国英才教育批判——访美国托马斯·杰弗逊科技高中[J]．人民教育，2011（17）：17–20．

[19] 王尚志，胡凤娟．大学数学先修课与优秀高中学生的发展[J]．数学教育学报，2017，26（3）：5–9，14．

[20] 倪明．问题出在“太功利”上[J]．湖南教育（C版），2009（7）：26–27．

[21] 付云皓．从首个IMO季军谈起[EB/OL]．（2018–04–15）[2018–06–10]．http://www.sohu.com/a/228329770_ 100131496．

On the Myths, Values, Limitations, and Reflections of Mathematical Olympiads

ZHANG Li-yu1, 2, NIU Wei-qiang3, XIONG Bin1, 2

(1. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China;3. School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Henan Zhengzhou 450044, China)

Mathematical Olympiads entail a special kind of mathematics education curriculum. There are some myths with respect to Mathematical Olympiads. For example, not every student needs or is suited to Mathematical Olympiads. The goal of Mathematical Olympiads is not necessarily winning prizes. High performers in Mathematical Olympiads are not necessarily going to become research mathematicians. Mathematical Olympiads are an important approach to nurture mathematically talented students, but they also serve as an effective means to identify those with potential and talent in scientific research. Although Mathematical Olympiads have important educational value, they also have limitations. The content and the time dedicated to preparing for Mathematical Olympiads should not be excessive. Instead, the focus of preparing for Mathematical Olympiads should be on the students’ development of mathematical thinking. In addition, mathematically gifted students should not be limited to just learning mathematics for Mathematical Olympiads. Instead, some college-level mathematics courses should also be an important option for mathematically gifted students. In addition, the higher performers in Mathematical Olympiads should be placed into appropriate college-level mathematics courses based on their prior mathematics knowledge and thinking when they enter college.

Mathematical Olympiads; myths about Mathematical Olympiads; value of Mathematical Olympiads; limitations of Mathematical Olympiads

G421

A

1004–9894（2020）03–0099–04

2020–03–01

上海市核心数学与实践重点实验室课题——数学实践（18dz2271000）

张丽玉（1974—），男，江西南昌人，华东师范大学博士生，主要从事数学方法论与数学教育研究．

张丽玉，牛伟强，熊斌．奥林匹克数学的“误区”“价值”“局限”与“思考”[J]．数学教育学报，2020，29（3）：99102．

[责任编校：周学智、陈隽]