R矩阵程序在共振散射实验中的应用

马少波，贾宝路，胡 钧,*

(1.中国科学院 近代物理研究所，甘肃 兰州 730000；2.中国科学院大学 核科学与技术学院，北京 100049)

反应率是核天体网络方程的重要输入量，其快慢和反应截面直接相关。由于在天体环境感兴趣的能区，反应截面受到库仑势垒的抑制，直接测量非常困难，所以只能在更高能的区间进行截面测量，然后通过R矩阵理论将数据外推至低能区域[1]。

Wigner和Eisenbud在1948年提出了R矩阵理论[2]，Lane和Thomas在1958年将其广泛运用到核反应的研究中[3]，1988年Barker和Warburton实现了该理论在β衰变上的应用[4]，1991年Barker和Kajino在理论中加入了辐射俘获的处理方法[5]，2002年Brune引入了可选择的参数化的计算方式[6]。这些工作使得R矩阵理论得到了很大发展，把理论计算和实验结果紧密地结合起来。现在的R矩阵理论已发展成一较完善的可用来解释实验核物理数据的理论体系。随着计算机编程代码的进一步开发，该理论在核反应研究中将得到更广泛的应用。

R矩阵理论在Lane和Thomas对于核反应的研究中得到了很大的推广[3]。这个理论能在核天体物理学感兴趣的能量范围内描述反应截面。在干涉增强或减弱的系统中，共振现象使得单一的共振理论公式接近无效，而R矩阵理论为这种情况提供了一强有力的解决方案。这个理论对复合核的能级性质进行参数化，从而计算反应截面[6]。

在实验物理分析过程中，对比不同理论代码之间的计算结果是一项很必要的工作，因为不同的程序代码存在一定的差异，计算方法上也有细微的不同。本文利用文献中已有的实验数据检测不同的R矩阵工具之间的一致性。

1 R矩阵程序DREAM和AZURE2

在核物理研究中，MULTI[7]和SAMMY[8]是两种基于R矩阵理论的传统工具，但操作性较复杂，入门较困难。为使R矩阵更易使用，在Microsoft Excel的框架内基于双道R矩阵理论，使用可视化Basic宏编写了DREAM[9]。而AZURE2[10]是JINA的研究人员利用C++编程语言实现多道分析并极大地改进了用户接口的R矩阵理论工具。在执行数学计算过程中AZURE2添加了很多当前最新的计算库。最重要的是，这两种工具的用户界面均很友好，便于操作。在误差分析方面，DREAM利用对角协方差矩阵计算不确定度，通过MINUIT程序包进行运算[11]。AZURE2利用MINOS程序包计算误差，该程序包可用于R矩阵形式的误差计算，有很好的普适性。需注意，在计算误差时，首先需得到1组可信任的能级参数，然后再计算这套参数下的误差。

2 数据分析

2.1 12C+p共振散射数据

12C(p,γ)13N是大质量恒星中氢燃烧阶段的关键核反应，也是低温CNO循环的触发反应[12]。而12C(p,p)12C共振散射测量得到的质子宽度Γp将有效地约束12C(p,γ)13N的反应率。

12C(p,p)12C是一典型的共振弹性散射实验。它利用质子束轰击碳靶，通过探测散射出来的质子得到12C(p,p)12C的激发函数。由于质子束和碳靶是较常见的束流和靶，因此，该散射实验的数据很多，且达到了很高的精度。本文采用的数据是Meyer等[13]在Basel 3 MV Cockroft-Walton加速器上开展的实验得到的。该实验采用薄靶技术[1]，通过改变质子束流的能量，逐点测量12C(p,p)12C的微分截面。稳定束的流强很高，测量得到的统计误差较小，通过R矩阵拟合可得到较可靠的结论。Meyer等利用自己开发的R矩阵程序对实验数据进行拟合，该程序没有公开，普适性有待验证。该程序的缺陷是无法对拟合参数进行误差分析。

在进行拟合前，首先要得到入射道的道自旋宇称。12C和p的基态自旋宇称分别为0+和1/2+，通过两个矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇称Sπ=1/2+。激发函数的拟合结果主要由入射核和靶核之间的轨道角动量以及散射角度决定。对于某特定的激发函数谱，其散射角度是确定的，因此激发函数的拟合曲线形状只与有关。通过道自旋S与轨道角动量的耦合可得到复合核激发能级的自旋，并利用π=(-1)确定其宇称。输入不同的以及Γp来尝试性地计算查看拟合曲线与实验数据的符合程度。在大致符合的情况下，再对实验数据进行拟合，得到最终的拟合共振参数。

分别利用DREAM和AZURE2两个工具拟合激发函数曲线，得到了所需的能级性质。两者的拟合结果对比示于图1。图1中标识的能级Er(MeV)和自旋宇称为Meyer等给出的实验值。从图1可看到两种工具的拟合结果基本一致，最大差别不超过5%。表1列出了数据拟合的能级信息。在误差范围内，两者符合得非常好。和Meyer等的实验参数相比，也基本一致。

2.2 21Na+p共振散射数据

21Na(p,γ)22Mg是天体物理中重要的核反应，其反应率将直接影响22Na的丰度。22Na的半衰期为2.6 a，其β衰变发射的1.275 MeV的特征γ射线是卫星探测器的重要观测对象。其观测量可用来检验各天体模型的有效性[14]。21Na(p,p)21Na共振散射测量可提供质子宽度的信息，约束21Na(p,γ)22Mg反应率。

与2.1节中的12C(p,p)12C实验不同，21Na是放射性核，没有天然存在的靶材料，只能作为束流。和稳定束相比，放射性束流的流强相对较低，进行薄靶实验较费时。因此发展了厚靶技术[15]开展放射性束的共振散射测量。采用的数据是Ruiz等[14]在TRIUMF-ISAC装置上开展的21Na+p共振散射测量得到的。Ruiz等采用厚靶方法，利用21Na束流轰击厚的(CH2)n靶，一次性得到感兴趣能区的激发函数。

表1 12C(p,p)12C实验数据的R矩阵拟合参数对比Table 1 Comparison of fit parameters to data of 12C(p, p)12C

21Na和p的基态自旋宇称分别为3/2+和1/2+，通过两个矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇称Sπ=1+、2+。和12C+p系统不一致，21Na+p系统可耦合出两个道自旋，从而使道自旋与轨道角动量耦合的可能性增大，这也就相应地增加了R矩阵分析的难度。故本文通过不同的S、耦合选出χ2最小的组合。

图2示出了利用DREAM和AZURE2对实验数据的拟合，图中标识的能级和自旋宇称为Ruiz等[14]给出的实验值。从图2可看到，两者的拟合曲线符合很好，最大差别不超过5%。表2列出了4条共振能级的拟合参数对比。由于统计误差的增大，和12C(p,p)12C实验数据相比，拟合参数的不确定度也相应变大。DREAM和AZURE2的拟合参数在误差范围内符合得非常好，但与Ruiz等的实验参数有明显差别。特别是对于第4条能级2-态的Γp，Ruiz等给出的值要大得多(至少20 keV)。由于Ruiz等使用的R矩阵程序是其课题组自己开发的，该程序未公开，普适性有待验证。从表2的拟合结果来看，2-态的Γp应在42 keV左右。

图2 DREAM和AZURE2对21Na(p,p)21Na实验数据的R矩阵拟合对比Fig.2 Comparison between DREAM and AZURE2 fits to data of 21Na(p, p)21Na

2.3 道半径R的灵敏度研究

表2 21Na(p,p)21Na实验数据的R矩阵拟合参数对比Table 2 Comparison of fit parameters to data of 21Na(p, p)21Na

图3 12C(p,p)12C数据的χ2随R0的变化Fig.3 χ2 of 12C(p, p)12C data as a function of R0

从图3可看到，DREAM和AZURE2在12C(p,p)12C数据中表现一致，χ2均随R0的增大而增大。而从表3可看到，χ2的变化并未引起能级参数太多的改变。对于12C(p,p)12C数据，道半径的灵敏度很低。而对于21Na(p,p)21Na数据，DREAM拟合的χ2表现出了明显的波动性，χ2在1.25～1.3 fm之间最低。AZURE2仍呈现的是χ2随R0的增大而增大。从表4可看到，21Na(p,p)21Na数据的Er随R0的变化不大，但对于第3条能级2+态的Γp，两种程序表现相同的趋势，随着R0的增大，Γp变小，DREAM的变化率约为2 keV/0.1 fm，AZURE2的变化率约为1.4 keV/0.1 fm。DREAM对第4条能级2+态的Γp表现不灵敏，但AZURE2的变化率却很大(～2.5 keV/0.1 fm)。

图4 21Na(p,p)21Na数据的χ2随R0的变化Fig.4 χ2 of 21Na(p, p)21Na data as a function of R0

故确定最优道半径的方法为首先任意选择R0(如1.25 fm)，对实验数据进行拟合，当得到最佳拟合后，通过改变R0计算χ2。在原子核普适的R0范围(1.1～1.5 fm)内寻找χ2的最小值。最小χ2对应的R0即为最优道半径。原则上，做最终拟合前需找到R0的最佳值。

表3 不同R0对应的12C(p,p)12C实验数据共振能级参数Table 3 Resonance parameter of 12C(p, p)12C data with different R0

表4 不同R0对应的21Na(p,p)21Na实验数据共振能级参数Table 4 Resonance parameter of 21Na(p, p)21Na with different R0

3 结论

R矩阵理论能很好地搭建实验数据和理论计算之间的桥梁，且将实验数据外推到核天体物理感兴趣的区域。本文提到的两种基于R矩阵理论的工具，在经过对稳定束实验12C(p,p)12C和放射性束实验21Na(p,p)21Na共振弹性散射的数据进行拟合后，得到了理想的拟合结果。DREAM和AZURE2两种工具表现出了很好的一致性。在道半径的灵敏度研究中，两种工具表现出了一定的差异，反映各自内核的不同，从而可搭建相互验证的平台。本文的工作证明了这两种常用的R矩阵工具在核天体物理研究中具有广泛的一致性。