不确定参数系统性能分析方法综述

王 营， 吴进军， 夏 青， 赵 曦， 文 武

（中机生产力促进中心， 北京 100044）

0 引言

很多复杂系统（例如工程系统、环境系统、生物系统等）可以用代数方程、微分方程、微分代数方程以及各种控制方程组描述。在求解数学模型之前，一般先要通过实验或计算等方法获得数学模型中的输入参数值， 并通常认为是其真实值。实际上，获取的参数值只是名义值而不是真实值，由于各种不确定因素的影响，使得真实值在名义值附近波动， 这种现象通常被称为参数的不确定性，复杂系统中的输入参数都存在或多或少的不确定性。

有些不确定性可以忽略，但有些不确定性必须加以考虑， 例如， 在设计零件时会给定尺寸公差带以便于加工；在加工机械零部件时由于加工材料的不均匀性，可能导致许多力学参数的不确定， 包括材料密度不均匀引起的质量和转动惯量的不确定、 弹性模量变化导致的刚度不确定、系统载荷变化导致的系统响应的不确定、加工及装配误差引起的几何不确定、 温度和湿度等环境因素及磨损和疲劳等因素导致的参数不确定等等。

在许多复杂系统中，特别是在强非线性系统中，即使输入参数的微小变化也可能导致系统响应的大变化，因此， 探索行之有效的不确定性系统数学模型建模方法和数值计算技术， 根据系统输入参数的不确定性给出系统输出（系统响应）的不确定性，对于提高复杂系统性能的预测精度是非常值得研究的基础性问题。

目前， 研究不确定性问题主要有三种方法： 概率方法、模糊方法和区间分析方法。

1 概率和模糊分析方法

近几十年来， 研究者对概率方法和模糊方法的研究较为深入，概率方法是将不确定参数看作随机变量或随机过程并且假设满足某种概率分布，参数的不确定信息都用相应的概率密度函数表示。 若不确定参数有统计特性并且能通过实验等手段获得参数的大量统计信息，则概率模型是描述参数不确定性的常用方法，并建立了比较完善的随机有限元理论[1-2]。

然而，实际问题中的不确定参数是否真正满足某一种概率分布假设一般很难验证或验证的成本较高。 再者， 有些问题很难甚至无法获取参数的概率分布信息，例如火箭、核电站、空间站等大型结构，由于它们的生产件数很少而无法获取参数的概率分布信息。 Kuntzevich[3]指出，“至少在以下两种情况下使用随机模型描述不确定性问题是不能接受的：（1）有关不确定性参数的实验数据太少， 以致不能得到有效的统计特性；（2）有些情况下可预先断定其不确定性不存在统计机理 （例如，单件生产的大型运载火箭、空间站等参数的不确定性）。 ”

模糊方法是用隶属度函数表征参数的不确定信息[4-5]，但程耿东院士[4]指出，在模糊分析中仍存在模糊统计误差或不确定性。 因此，概率和模糊方法的这些缺陷在很大程度上阻碍了它们的工程应用。

2 区间分析方法

区间分析方法是从20 世纪60 年代发展起来的计算数学的一个分支[6-7]，它使用区间数（由两个实数构成的有界闭区间）来描述那些有上、下界限的不确定量。区间方法的最大优点是不需要获取不确定参数的很多信息，只需确定不确定参数变化的上、下界限，获取参数变化的上、下界限的难度通常不大，因此区间方法更容易被应用。

近年来， 区间分析方法已被较多地应用于工程技术问题[6-15]，例如，Rao 等[10]探讨了计算简单线性结构静态响应变化范围的区间截断方法；Dimarogonas[11]讨论了不确定性振动系统的区间分析问题；Papegay 等[12]运用区间分析方法对车辆悬架系统进行了运动学分析；Wu等[13，14]用区间分析方法对机器人操纵臂的误差和可靠性进行了不确定性分析。 国内学者：北京航空航天大学的邱志平等[15]基于矩阵摄动法对简单力学结构进行了动态响应的区间分析。 在公开发表的文献中，绝大多数是针对桁架、 梁结构等简单结构及区间参数变化范围比较小的情况，采用Taylor 级数展开法、区间截断法[10]、摄动法[15]等方法进行区间参数系统的静、动态响应的区间分析。

区间方法的主要缺点是由计算误差导致的 “包裹效应”， 即计算得到的系统响应的变化区间包含了系统响应的真实变化区间，这使得预测结果过于保守而失去了实际意义。 因此，提出有效控制区间方法“包裹效应”的高精度计算方法 （尤其是不确定参数变化区间较大时）是区间方法用于解决实际问题的难点之一。

3 证据理论方法

近年来， 有学者应用证据理论研究不确定系统的建模问题[16-17]，证据理论是古典概率论的延伸，其中概率边界被用来反映对所有可能结果的集合力的置信程度。 证据理论符合人类的思维习惯，能够合理地描述和处理各种不完整的信息、不确定的信息、不可靠的信息甚至冲突信息，因而被应用于多个领域。 但是基于证据理论的结构可靠性分析和系统稳健性分析在整体上仍处于初步阶段。 在证据理论中，变量信息的不确定性和不完整性使其无法使用类似于概率密度函数或模糊隶属度函数等连续函数进行描述，而只能使用一系列不连续的集合表示，从而造成多维问题可靠性和稳健性分析中的组合爆炸，最终导致大规模计算问题。

4 随机-模糊-区间混合分析方法

复杂系统中往往同时含有不同类型的不确定参数（例如同时含有随机参数、模糊参数和区间参数）。 针对同时含有随机参数、模糊参数、区间参数的复杂系统进行分析的文献很少，然而该类复杂系统在现实中是大量存在的。 根据参数不确定信息获取的难易程度，提出含有多种类不确定参数的耦合数学计算模型，探索复杂系统性能预测及性能稳健性分析的普适方法具有重要的基础理论研究意义和工程实用价值。

目前， 国内外已有学者对同时含有不同类型的不确定系统进行了混合模型的初步研究，并运用于结构的可靠性分析。 例如，文献[18]中提出了一种处理区间和概率混合情况下的可靠性优化方法；文献[19]中提出了概率和非概率混合模型的结构鲁棒性设计方法。

总之， 关于概率与非概率混合模型的研究仍处于初步阶段， 现有方法在求解效率和精度方面还存在一系列技术难点需要解决。 尤其是混合模型可靠性分析或稳健性分析通常涉及多层嵌套优化， 其计算效率对于较复杂的工程问题已构成主要瓶颈。 如何建立含有不同类型不确定参数并且具有较高计算精度和计算效率的系统静、动态特性的不确定性分析模型，进而应用于系统可靠性或稳健性分析， 是推广不确定性问题分析方法应用于实际工程问题中需要解决的关键基础问题之一。

5 结束语

不确定参数系统的建模及性能分析得到了越来越多的重视，文中较为全面的阐述和分析了不确定参数系统的研究现状、主要研究方法及研究难点。 对不确定参数系统的不确定数学建模、性能数值计算、试验验证等有较为重要的理论指导意义。