二进小波与改进的形态学融合的边缘检测算法

胡志斌，邓彩霞，邵云虹，王 翠

(哈尔滨理工大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

0 引 言

图像的边缘对于人类的视觉而言具有重要的意义[1]。图像的灰度或结构等信息的突变区域称为边缘。传统的边缘检测算法有Canny算子、Sobel算子和Prewitt算子等[2-4]。这些算法应用广，易实现，但抑制图像噪声的能力差、判断一幅图像的轮廓是否是边缘的能力较弱以及处理后的图像边缘有模糊的情况发生。目前，在图像的边缘检测算法中，没有一种算法能够普遍使用于所有类型的图像，且图像的噪声和边缘信息大部分存在于图像的高频分量上，为此人们做了如下的研究。近30年来，小波分析作为一门新的数学处理工具，它是在傅里叶变换的基础上发展而来。与傅里叶变换相比，小波分析在时间域和频域内处理信号有较强的优越性，如利用伸缩和平移运算对信号的某一部分进行多尺度分析，从而得到该信号低频和高频细节，因此，在图像处理等方面有很多的应用[5]。其中，图像的边缘检测是比较常见的小波应用之一，如利用高斯小波变换的模极大值边缘检测算法检测出的图像轮廓清晰，边缘线条光滑，但当处理的图像含有(少量)噪声时，图像的边缘出现噪声，边缘线条出现断裂的情况，导致图像的整体轮廓模糊不清晰[6,7]。本文在B-样条二进小波基础上[8]，构造了一个具有对称性、紧支撑和消失矩的二进小波滤波器，由于二进小波具有以上良好的性质，所以在边缘检测过程中不仅可以抑制噪声，还可以保留一些图像的细节。基于小波变换模极大值算法中只对图像的高频分量进行处理，忽略了图像低频分量的信息，使得边缘检测的结果不完美[9]。数学形态学是以集合论、代数学等为基础形成的图像处理方法，在边缘检测算法中，由于该方法易于实现，且检测得到的边缘图像噪声少，因此，在减少图像噪声方面有很多的应用[10-12]。目前，将两种或两种以上的边缘检测算法融合是一种比较常用的方法，它不仅可以克服单一方法的不足，还可以结合多种方法的优势，使得检测结果优于单一的边缘检测算法。在选取小波变换与形态学结合的算法中，一方面，由于选取的形态学算子结构简单，使得融合算法抑制图像噪声的效果差[13]；另一方面，小波变换中小波基的性质直接影响融合算法检测的结果[14,15]。为了能够使检测结果含噪声较少，图像的边缘线条光滑且丰富，选取合适的小波基函数与具有抗噪性的形态学算子结合可以改善边缘检效果[16]。本文选取3个不同的结构元素，并改进形态学算子，得到了抗噪形态边缘检测算法，并与上述二进小波变换边缘检测算法结合，使得该融合算法可以在抑制噪声的同时显示更多连续的边缘细节。

1 二进小波变换边缘检测算法

1.1 二进小波基本概念

以下定义及引理详情请参见文献[16]。

(1)

则称ψ(t) 是一个二进小波，称式(1)为稳定性条件。

(2)

则称式(2)是f(t)的二进小波变换。

引理1 设φ(t) 是L2(R) 中的一个尺度函数，ψ(t) 是L2(R) 中与尺度函数φ(t) 对应的小波函数，存在系数{hk}k∈Z,{gk}k∈Z∈l2，使得

(3)

(4)

其等价的频域形式为

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

对偶二进小波的情况与引理1类似，由于篇幅所限，不再详述。

(9)

1.2 B-样条二进小波的实现

(10)

(11)

(12)

(13)

因此，由引理1可知，由式(10)和式(13)代入式(6)可得

通过计算可知二进小波滤波器的系数，见表1。

表1 二进小波滤波器系数

由上述表格系数可知，本文实现了一个具有对称性、紧支撑和2阶消失矩的二进小波。

1.3 基于二进小波变换的模极大值边缘检测

本文采用二维B-样条二进小波作为平滑函数，记作θ(x,y)，该函数具有良好局部化特征和平移不变性等性质，且满足以下两个条件：

对于图像f(x,y) 来说，首先，利用平滑函数与图像f(x,y) 做卷积得到平滑后的图像

(f*θ)(x,y)=f(x,y)*θ(x,y)

定义两个小波函数为

由水平和垂直方向的分量可构成梯度矢量

其次，在相同的尺度下，计算图像f(x,y) 的二进小波变换的幅角和模值为

最后，求图像的边缘点。对平滑后的图像分别计算模值以及幅角，其中，沿着幅角方向得到的模值局部极大值点就是图像的边缘点，这些边缘点的集合就是一幅图像的边缘。

2 数学形态学边缘检测算法

2.1 数学形态学基本运算

数学形态学作为一门新的图像分析处理工具，它可以极大简化图像处理中的数据，且较好的抑制噪声的干扰。其基本运算有4种，分别为灰度膨胀、灰度腐蚀、灰度开启和灰度闭合，以上4种数学形态学运算定义详情请参见文献[16]。设F(x,y) 是输入图像，B(x,y) 是结构元素，且都定义在R2或Z2上，DF和DB分别为函数F(x,y) 和B(x,y) 的定义域。其中灰度膨胀记作F⊕B，其定义为

F⊕B(x,y)=max{F(x-s,y-t)+
B(s,t)|x-s,y-t∈DF,s,t∈DB}

灰度腐蚀记作FΘB，其定义为

FΘB(x,y)=min{F(x+s,y+t)-
B(s,t)|x+s,y+t∈DF,s,t∈DB}

灰度开启记作F∘B，其定义为

F∘B=(FΘB)⊕B

灰度闭合记作F·B，其定义为

F·B=(F⊕B)ΘB

2.2 已有的抗噪形态学边缘检测算子

形态学边缘检测算法主要是利用结构元素在形态学基本运算作用下，按照设计的数学关系式对图像进行处理，得到图像的边缘。文献[13]中提出一种抗噪形态学算子，具体算子如下：

抗噪膨胀型

Yd=(((F∘B1)·B2)⊕B2)∘B2-(F∘B1)·B2

(14)

抗噪腐蚀型

Ye=(F∘B1)·B2-(((F∘B1)·B2)ΘB2)·B2

(15)

得到最终的图像边缘

Y=Yd+Ye+Emin

(16)

在式(16)中，Emin=min{Yd,Ye}，B1为半径为3的菱形结构，B2为3×3的方形结构。由实验可以看出，当噪声浓度较大时，该形态学算子在去除图像噪声的同时还会去掉图像的真实边缘，因此，检测的边缘出现模糊且边缘线条断裂的情况。为了克服这些不足，使得检测算法不仅可以去除噪声，同时保留图像的细节信息，本文对该算法进行了改进。

2.3 改进的抗噪形态学边缘检测算子

结构元素的选取直接影响着形态学边缘检测算子运算的结果。采用一种或两种结构元素会造成不同方向的边缘丢失从而导致检测的边缘不全面，为了包含各个方向的图像边缘和细节，提高算法抗噪能力，显示较多边缘细节，通过多次的实验，设计了以下3个不同的3×3结构元素B1,B2,B3

形态学边缘检测不仅依赖于结构元素的选取，且与形态学算子息息相关。形态学算子设计的好坏直接影响检测的结果，在文献[11-13]中提到的抗噪形态学边缘检测算法的基础上，利用式(14)和式(15)，本文进一步对其进行改进得到抗噪形态学算子如下

Yd=F1⊕B3∘B3-F1·B3

(17)

Ye=F1·B3-F1ΘB3·B3

(18)

Yde=Yd+Ye

(19)

其中，F1=0.5(F∘B1·B2+F·B1∘B2) 为混合滤波后的图像，由于形态学的开启运算能起到平滑图像的轮廓和去除轮廓上突出的毛刺的作用；闭合运算能起到去除区域中的小孔，填平轮廓中的缺口，同时也有平滑图像轮廓的作用，因此两者结合构成混合滤波器，不仅可以消除噪声，同时保持图像的位置和形状不发生改变。

在噪声浓度一样的条件下，由式(17)和式(18)可得到图像的边缘信息，利用式(19)可得到完整的图像边缘，但会出现一些伪边缘细节。为了进一步提高式(19)的抗噪能力且保留较多的真实边缘细节，对边缘算子Yde进行改进，得到最终的图像边缘

Y=Yde+λ(Emax-Emin)

这里Emin=min{Yd,Ye}，Emax=max{Yd,Ye}，λ为细节因子，其大小影响图像的边缘细节的丰富程度，本文通过计算边缘图像的峰值信噪比来确定λ的大小，当λ=1.8时可以保留较为丰富的边缘细节。

3 二进小波变换与抗噪形态学融合的边缘检测算法

通过融合二进小波与抗噪形态学两种算法，可以将这两种算法的优点结合，克服单一算法的不足之处，如：降低噪声的干扰、增加图像的边缘信息等。本文算法在MATLAB2012实现，具体算法步骤如下：

(1)利用文中基于二进小波变换的边缘检测算法对图像进行处理得到边缘图像；

(2)同时，利用改进的抗噪形态学边缘检测算法对图像进行边缘检测，得到相应的边缘图像;

(3)应用融合函数对两幅边缘图像进行图像融合，即首先分别对第一步与第二步中得到的两幅边缘图像进行二维小波分解，得到边缘图像的高频分量与低频分量；其次，对两幅图像的低频分量采用均值法进行处理，高频分量采用绝对值极大法进行处理；接下来将融合后的高频分量和低频分量进行小波逆变换重构得到图像的边缘；最后，为了使重构后的图像边缘线条更加清晰，利用中心为-10、其它均值为1的拉普拉斯算子对该图像进行锐化，得到最终的边缘图像。

4 仿真实验及结果分析

为了验证上述方法的有效性和准确性，本文以Lena、Peppers和House图像为例，分别采用二进小波模极大值边缘检测算法、形态学算法、小波变换与形态学融合的边缘检测算法和本文算法进行比较。上述算法分别见文献[7,13-15]，其中，无噪声的Lena、Peppers和House图像检测结果如图1～图3所示。

图1 无噪声的Lena图的边缘检测结果

图2 无噪声的Peppers图的边缘检测结果

图3 无噪声的House图的边缘检测结果

通过观察图1(b)～图3(b)可知，二进小波变换模极大值算法检测的图像边缘线条断裂且信息少；由图1(c)～图3(c)可知，形态学边缘检测算法得到的图像边缘细节模糊；由图1(d)、图1(e)～图3(d)、图3(e)可知，小波变换与形态学融合的边缘检测算法得到的图像边缘光滑但细节不连续；由图1(f)～图3(f)可知，利用本文融合的边缘检测算法得到的图像边缘连续且清晰，边缘信息丰富。

为了更加客观的对原始图像的边缘检测结果进行评价，本文采用信息熵和平均梯度作为评价指标，见表2、表3。

表2 各种边缘检测算法关于信息熵值的对比

表3 各种边缘检测算法关于平均梯度值的对比

信息熵的定义为

其中，Pi表示图像中像素灰度值为i的概率，L表示图像总的灰度级数。图像的信息熵值越大，说明图像含有的信息越多。

平均梯度的定义为

其中，Ix和Iy分别为x与y方向上的差分，M和N分别为图像的行数和列数。图像的平均梯度越大，图像清晰度越高，边缘的细节越多。

为了检测本文提出的二进小波与抗噪形态学融合的边缘检测算法的抗噪能力，图4～图6为Lena、Peppers和House图像分别加入浓度为0.01椒盐噪声后的仿真实验结果。

图4 含椒盐噪声的Lena图的边缘检测结果

图5 含椒盐噪声的Peppers图的边缘检测结果

图6 含椒盐噪声的House图的边缘检测结果

为了更加客观地检测本文给出的算法，利用峰值信噪比、均方误差、信息熵和平均梯度作为评价指标，含有噪声的Lena、Peppers和House图像客观评价见表4～表7。

峰值信噪比的表达式为

其中均方误差表达式为

表4 各种边缘检测算法关于峰值信噪比值的对比

表5 各种边缘检测算法关于均方误差值的对比

表6 各种边缘检测算法关于信息熵值的对比

表7 各种边缘检测算法关于平均梯度值的对比

这里I为原图像，K为检测后的图像。一般情况下，峰值信噪比越高图像的质量越高，相应的均方误差越小，且图像检测的数据越精确。

从图4(b)～图6(b)可以看出，二进小波模极大值测算法对噪声敏感，虽然图像的轮廓清晰，但边缘细节不连续；观察图4(c)～图6(c)可知，利用抗噪形态学得到的边缘轮廓平滑完整，噪声少，但部分细节模糊；由图4(d)、图4(e)～图6(d)、图6(e)可看出，小波变换与形态学融合的算法抑制噪声能力弱；图4(f)～图6(f)为本文算法检测结果，与上述算法相比，该算法抗噪能力进一步提升，显示更多的细节信息且边缘连续。通过表4～表7可知，本文算法的信噪比、均方误差、信息熵、平均梯度的评价结果都要优于其它几种算法。综上所述，本文算法在主观视觉和客观评价方面都表现出不错的结果，是一种有效的图像边缘检测方法。

5 结束语

本文首先在研究B-样条二进小波变换的基础上，构造了一个具有紧支撑、对称性和消失矩的二进小波滤波器。利用该二进小波滤波器代替高斯小波滤波器，进一步提高小波去噪的效果，克服模极大值边缘检测中图像细节少的缺点。其次，对抗噪形态学边缘检测算子进一步改进，在边缘的各个方向进行检测，减少细节信息丢失。最后得到二进小波与抗噪形态学融合的边缘检测算法。实验结果表明，在噪声浓度相同情况下，本文方法具有很好抑制噪声的能力，且检测的边缘图像轮廓清晰，含有丰富的细节信息。但当处理一类具有纹理信息较丰富的图像时，得到的图像边缘线条会重叠变粗；以及处理一类具有大量噪声干扰的图像时，得到的图像会掺杂噪声，这都将是下一步的研究内容。