分类讨论思想在热学解题中的应用

陈宏 曹少平

分类讨论是指在原问题包含多种情形，不能一概而论的情况下，将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一种情形的特性，最后综合这些子问题的解答，得到对整个原问题的解答。分类讨论思想实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在解题中的具体体现。下面结合实例谈谈分类讨论思想在热学解题中的应用。

一，活塞或汽缸分“动”和“不动”两种情况讨论

例1，如图1所示，长为2L的圆筒状汽缸可沿动摩擦因数为μ的水平地面滑动，在汽缸中央有一个横截面积为S的活塞（汽缸与活塞之间的摩擦不计），汽缸中封闭的理想气体温度为T0，压强等于外界大气压强P0。汽缸和活塞的总质量为m，在固定墙壁与活塞之间连有一劲度系数为k的轻弹簧（处于自然长度状态），现对气体缓慢加热（设汽缸与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求当气体体积变为原来的两倍时的温度。

解析：本题是气体性质和力学综合题，仔细分析可以发现，汽缸与地面间的动摩擦因数大小不同，会出现不同的结果。在气体受热膨胀的过程中汽缸始终静止不动是一种结果，在气体受热膨胀的过程中汽缸发生移动将是另一种结果。下面分两种情况讨论。

（2）在μmg

点评：本题中给出的已知条件不明确，即汽缸是否发生移动不明确，要求考生先补充必要的条件，再针对补充的不同条件进行求解，且不同的补充条件会产生不同的计算结果，对应不同的物理情景。求解本题的关键是要注意分析汽缸的运动过程，当温度缓慢升高时，气体的压强逐渐增大，弹簧被压缩，弹力逐渐增大，当弹簧的弹力与汽缸受到地面的最大静摩擦力相等时，汽缸开始向左移动，气体的压强不变。

二，细线分“松弛”和“张紧”两种情况讨论

例2 如图2所示，在大气中有一水平放置的固定圆筒，它由a、b和c三个粗细不同的部分连接而成的，各部分的横截面积分别为2S、1/2s和s。已知大气压强为p0，温度为T0。两活塞A和B用一根长为4l的不可伸长的轻线相连，把温度为T0的空气密封在两活塞之间，此时两活塞的位置如图所示。现对被密封气体加热，使其温度缓慢上升到T0若活塞与圆筒壁之间的摩擦可忽略不计，则此时两活塞之间气体的压强可能为多少？

点评：本题中对被密封气体加热使其温度缓慢上升到T，轻线是“松弛”还是“张紧”是不确定的，因此要分两种情况讨论。

三，水银分“溢出”和“不溢出”两种情况讨论

例3 如图3所示，有一个直立的汽缸，汽缸底到汽缸口的距离为L0 cm，用一厚度和质量不计的活塞封闭一定质量的理想气体，平衡时活塞上表面与汽缸口的距离很小（计算时可忽略不计），周围大气的压强为Ho cmHg。现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上（瓶子的质量可忽略），平衡时活塞到汽缸底的距离为L cm。若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方，这时活塞向下移，压缩气体，直到活塞不再下移。求此时活塞在汽缸内可能的位置及与之相对应的条件（题中给出量之

点评：本题中由于瓶内水银量的不同可能会出现两种情况，一种是瓶内水银量较少，当水银全部倒在活塞上方时没有水银溢出;另一种是瓶内水银量较多，当水银部分倒在活塞上方时就会有水银溢出。多数考生会因为没有注意“把盛有水银的一个瓶子放在活塞上”与“把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方”的区别，而不能根据水银量的多少分类讨论。

跟踪训练

1.如图4所示，水平放置的柱形汽缸内用活塞封闭一定质量的理想气体，初始温度t0=27℃，体积V0=100cm3，活塞横截面积S=10 cm2。开始时容器内外压强均为P0=1×10⁵ Pa，已知活塞与缸壁间的最大静摩擦力f=5 N，且等于滑动摩擦力。

（1）若将温度升高到t1=37℃时气体的体积是多少？

（2）若将温度升高到t2=127℃时气体的体积是多少？

2.如图5所示，两端开口的汽缸水平固定，A、B是两个厚度不计的活塞，可在汽缸内无摩擦地滑动，其横截面积分别为S1=20 cm2、S2=10 cm2，它们之间用一根细线连接，活塞B通过水平细线绕过光滑的定滑轮与质量M=2 kg的重物C连接，静止时汽缸中气体的温度T1 =450 K，汽缸两部分的气柱长均为L，已知大气压强p0=1×10⁵ Pa.取g=10 m/s2，缸內气体可视为理想气体。

（1）求活塞静止时汽缸内气体的压强。

（2）若缓慢降低汽缸内气体的温度，求当活塞A、B间细线的张力刚好减为零时汽缸内气体的温度。

3.如图6所示，横截面积s=0.1 m2、高H =1.0 m的竖直圆筒，其顶端装有一光滑紧密配合的活塞，活塞的质量和厚度均可忽略不计，外界大气压强P0=75 cmHg。现将一定体积的水银缓慢注入活塞上面，活塞逐渐下降，压缩气体，直到活塞不再下移。（设气体的温度不变）

（1）当水银总体积V1=4.5×10⁴ cm3时，求最终筒内空气柱的高度h1。

（2）当水银总体积V2=1.5×10² cm3时，求最终筒内空气柱的高度h2。

参考答案：

1. （l）V1=100 cm2; （2）V2=127 cm3.

2. （1）P1 =1.2×10⁵ Pa; （2） T2 =200 K。

3. （1）h1=75 cm; （2）h2 =83.3 cm。

（责任编辑 张巧）