运用几何直观视求极限与导数

翟小懿

著名教育家夸美紐斯（Comenius）和裴斯塔洛奇（Pestalozzi）都提倡直观性思想. 在数学研究领域，著名数学家菲利克斯. 克莱因（Felix Christian Klein）曾提出“数学的直观就是对概念、证明的直接把握. ”希尔伯特（David Hilbert）更在其著作《直观几何》中指出“图形可以帮助我们描述要研究的问题，寻求解题思路.”

运用几何直观研究微积分中的问题，能将抽象复杂的概念直观呈现.在数学课程的教学过程中，教师借助几何画板、Matlab等数学工具将问题图形化，通过观察研究，直观的理解分析问题.

一、定义

1.几何直观

几何直观指的是用具体的几何图形将抽象的数学问题形象化、直观化，以便思考分析，有助于探索解决问题的思路，预测结果[2]. 几何直观可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观这四种表现形式[3].

2.微积分

微积分学包括微分学和积分学两个部分. 微分和积分的思想自古有之，早期微积分常用于处理力学、天文、几何等方面的计算问题，后来微积分演变成为一门应用极限分析等方法解决计算问题的分析学. 到十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨创立微积分学，从此微积分学正式诞生[4].

微积分是微分和积分的总称，其中“无限细分”是微分，“无限求和”是积分[5]. 微积分是近代数学的重要组成内容，是近代数学发展的基础，不仅推动了数学自身的发展，而且推动了其它学科及人类文明的发展[6]. 大学数学专业课程、理工科高等数学课程和文科数学等都是以微积分为基础的，不掌握微积分就无法学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术. 微积分的运用相当广泛，经济学、海洋学、医学、气象学等众多专业领域都在用某种方式使用微积分[7].

3.几何直观下的微积分

形成微积分理论的主要数学思想是变换思想和极限思想[8]. 无论是“无限细分”还是“无限求和”，都强调“无限”. 另外微积分引入了变量，很多概念和过程都蕴含了运动变化思想[9]，需要对图像的变化趋势进行分析. 种种因素导致微积分的相关问题抽象复杂、不易理解.

在以往微积分的教学方法上，过于偏重符号演算和解题技巧的训练，忽视从直观（主要来自应用和美感）和问题背景方面的引导. 往往走的是一条只讲推理不讲道理的“最捷”路线 [10]，不够直观，使得初学者存在理解困难. 课堂吸收率不高，错过学习的最佳时机，甚至产生学习障碍. 重视微积分中相关内容的几何意义，通过构造图像将微积分问题的“极限状态”、“变化趋势”等合理、直观地呈现出来，从几何直观角度加以分析，讲明道理后再结合符号演算给出推理，将这种研究视角称为几何直观下的微积分. 对于改善微积分教学，提高微积分学习效率极为有益.

针对微积分中的一些不易理解的概念及定理，如：极限、导数、偏导数、牛顿-莱布尼茨公式、变限积分等，利用几何直观思想进行研究分析. 通过几何画板、Matlab等软件构造出直观图像，辅助理解，进而将复杂问题具体化. 将几何直观应用于数学领域中，可以实现以图促思，从而减轻认知负荷，提高学习效率. 在此过程中，构造恰当的图像才真正有助于理解抽象问题，如果构造的图像不恰当，不仅对理解无益，还可能误入歧途.