概念、模型、样例三位一体

卢艳娴

【摘要】乘法分配律由于其变化形式的多样，学生对其意义内涵不易理解，更难以灵活运用。本文以人教版四年级下册《乘法分配律》为例，阐述笔者通过阅读概念、建构模型、分析样例的课堂教学实践，丰富学生对乘法分配律的认识，提高应用能力。

【关键词】阅读概念;建构模型;分析样例

有人说，数学只不过是“公式化”的东西而已，但其实我们简单地把数学研究的数量关系、结构变化、空间信息等概念机械地套用公式来教学，忽视知识本身的内涵，学生脱离了问题情境，被动地接受知识，当遇到变化的题型练习时就无所适从。笔者认为，要克服这个鸿沟还是有可能的，如果知道学习对象的背景，则有可能掌握其实质。因此，在数学教学的过程中，帮助学生把抽象的数学知识模型化，化繁为简，抑制恐惧心理，从而使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，获得成功。

一、教学思考

（一）课标的指引

数学课程标准指出：“根据学生的认知结构、智力发展水平和教师业务能力素质等，用最优化的组合方法，把学科的基本原理、概念知识以及它们之间内在的本质结构关系传授给学生，培养学生的探究能力识和创新意，真正发挥学生在学习活动中的主人翁地位。”这就提醒了我们一线的数学教师在教学中，只有有效地把数学知识与数学方法整合教学，才能真正做到“授之以渔”。

思考：能否把数学的一些概念和原理在学生头脑中建构模型，帮助学生增强数感，发展模型思维，提高学生学习数学的能力？

（二）教材的启示

我们现阶段使用的修订版教材，无论从教学素材的选择还是教学内容的呈现方式上，都很好地体现了“以学生发展为本”的教学理念。怎样高效地实践数学课程标准中的理念，教材中也作出了适度的提示，很好地引领我们走进新课程。例如，修订版四年级数学下册《乘法运算定律》（如图一），教材中没有直接出示乘法分配律的概念表述，而是以小学生植树的生活情景提出问题，在解决问题的过程中通过及时的点拨，引导学生思考，然后总结特征，归纳定义。

思考：教材中创新的直观样例，是否可以让学生通过观察、思考、分析、自主探索等数学活动，促进理解，提高自己的认知水平？

（三）学生的困惑

学生学习数学的大部分知识是建立在计算的基础之上，在教学中发现，即便是优生，他们在做“计算下面各题，怎样简便就怎样算”此类题目时，往往得分率都不高;还有一些学生勤奋好学，平时大量地练习计算，但每当测试时计算题也都失分严重。长此以往，他们虽然会努力去倾听老师的讲解却难以理解其中的技巧，以致心灰意冷。以下是学生常见的部分错例（如图二）：

思考：尝试在计算教学中通过分析样例，帮助学生建构运算定律的模型，是否有助于提升学生计算的正确率？

（四）问题提出

通过上述的分析，那么究竟怎样才能使学生有效地获得数学知识？我认为可以从“数学概念”“模型教学”“样例形式”三个维度去思考：1.要注重数学概念的教学，概念所反映的对象特有的本质属性，是导出数学学科知识的逻辑基础，理解数学概念是提高学生解题能力的思维前提;2.要把数学研究的對象或问题转化为数学的结构关系，即建构数学模型，帮助学生理解其本质特征和变化规律;3.针对理解能力薄弱的学生，要以直观的样例形式呈现知识，简化认知结构，让学生内化知识，同时思维能力也得以发展。

二、建模策略

为了探索有效的构建运算定律与简便运算的策略，笔者以变化形式多，学生最难以掌握的乘法分配律教学为例，尝试围绕“阅读概念、建构模型、分析样例”三个方面谈一谈如何强化学生的简算意识，增强数感，丰富学生应用运算定律和简便运算的经验，提高计算的准确率。

（一）阅读概念——理解规律的内涵

数学的概念是学生需要掌握的基础知识，是学生解题的依据，数学概念的教学在数学教学中占据重要的地位。一些学生之所以觉得“乘法分配律”很难学懂，概念不清往往是最直接的原因。有效的数学阅读可以提高学生的审题能力、分析问题能力、发展思维能力。指导学生进行数学阅读，能够从概念中提炼出有用的文字信息，通过理解数学对象的特有本质属性，帮助学生提高解决数学问题的能力。因此在教学中，只有在学生反复研读概念，对乘法分配律的内涵有了较为理性的认识后，方能正确灵活地应用，从而进行简便运算。乘法分配律的概念表述如下：（如图三）

学生对乘法分配律的认识，是一个不断深化的过程。但相比之下，当整数乘法分配律推广到小数、分数时，教材的描述显得较为简单。（如图四）

对于中高年级的小学生来说，他们凭借着已有的知识经验，就会把这些题目看成简单的数学等式，这些学生的认知是片面的，只看到数学知识的外部联系，忽略了数学知识的本质内涵意义——概念。

因此，在教学这部分内容时，我是先让学生回顾乘法分配律的概念表述，然后用字母表示乘法分配律，接着举例说明，总结出整数乘法分配律对于小数、分数的乘法分配律同样适用。最后着重强调乘法分配律的两种应用模式：在分析“两个数的和与一个数相乘”理解分配的含义时，利用学生已有的生活经验，想象成分配实物到每个人手中，必须是每个人都拿到同样的实物;在分析“与这个数分别相乘，再相加”时，学生的理解是从每人手中收取同样的实物，让学生感受生活中也存在这样的合理性，然后再代入数字进行验证。学生通过对概念的反复阅读、口述，不仅增强了口头表达能力，而且进一步理解了乘法分配律的内涵。

（二）建构模型——理解规律的运算

乘法分配律是简便运算中不可或缺的形式之一，很多学生在运用乘法分配律进行计算时不能做到正确运算，究其原因，是学生没有真正理解运算规律，没有在心中建构相应的模型。我觉得可以多角度分析，帮助学生理解乘法分配律的算理，很好地突破这一难点。

1.从乘法的意义中感悟规律

乘法分配律的表达形式变化多端，部分学生在解题时都不会灵活处理，他们凭着头脑中模糊的印象乱套公式，只要能凑整就都认为成功了。然而教学乘法分配律不能架设空中楼阁，应注意结合学生已有的知识内容，解题经验，找到知识的联系处，经过一定的过渡，顺利地帮助学生建构新的知识结构。此时我们必须想到乘法分配律的知识结构——乘法的意义。如下图（如图五）

以乘法的意义为依据，学生不但能从形式上更好地把握乘法分配律，还能从内涵上加以理解，从而达到正确运算的效果。例如：

乘法意义的模型建构：（a±b）× c  =  a ×c ± b × c

利用乘法的意义分析算式的原理：（a±b）个 c 等于 a 个c 加上或减去 b 个 c 。学生在感性认识的基础上，通过比较、分析、综合运用乘法的意义，逐步把握乘法分配律的本质属性，思维模式更趋深入，而不是单纯地依靠记忆，只有这样才能在运算中熟练运用，减少失误。

2.从情景教学中掌握规律

信手翻阅教科书，我们可以看到的都是学生喜闻乐见的生活情景。例如修订版四年级下册的《乘法分配律》一课，教材提供了学生植树的生活情景，题中问“一共有多少名同学参加了这次植树活动？”在引导学生解决问题时，通过分析得出不同的计算方法，通过对比得出计算结果相等，通过举例验证得出乘法分配律的意义。这样的设计，力求体现“创设问题情境——建构数学模型——解释、应用与拓展规律”的模式，让学生经历探索数学知识的全过程。

乘法分配律的内涵形式是多种多样的，所以可以从不同的角度出发，创设多方面的情景反映其形式，帮助学生掌握规律。（如图六）

常见的算法有以下的两种形式：

①先算1套运动服的单价，再算60套运动服的总价：

列式：（75+45）×60

= 120 × 60

= 7200（元）

②先分别算60件上衣和60条裤子的价钱，再算运动服的总价：

列式：75×60+45×60

= 4500 + 2700

= 7200（元）

生活情景的模型建构：（75+45）×60 = 75×60+45×60

用字母表示： （a+b）×c  =  a×c+b×c

就题目本身的特点而言，学生不难理解，我们借助具体的生活情境去体会乘法分配律的形式，在教学中淡化算法技巧的讲授，着力引导学生将乘法分配律的运算规律应用于解决生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。尝试多渠道创设生活情景，从形式上把握乘法分配律的规律，勾勒出乘法分配律的模型，让学生筛选，找出最佳的计算方案，为学生正确运用乘法分配律提供保障。

3.从数形结合思想中应用规律

数形结合的思想就是根据问题提供的数学信息与规律结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使精确刻划的数量关系与直观形象的空间形式巧妙、和谐地结合在一起。几何图形的计算也应用了乘法分配律的规律，例如（图七）：

此题求“做这个画框需要多长的木条？”实际上是求长方形的周长，可以这样解题：

①（长+宽）×2   列式：（+）×2

② 长×2+宽×2   列式：×2+×2

数形思想的模型建构：（长+宽）×2 = 长×2+宽×2

（+）×2 = ×2+×2

用字母表示：（a+b）×c = a×c+b×c

根据几何图形的特征，教材展示的两种解题方法是应用了乘法分配律的表达形式。学生在运用数学知识去解决问题的过程中，数学思想和方法是隐性的，常常藏匿于一些看似浅显的数学知识里面。让学生感悟和掌握数学思想和方法，是《标准（2011版）》中提出的重要目标任务。为此，教材在内容的选择与编排上处处都让学生领略最为基本的数学思想和方法，引导学生有条理地思考，以简捷地获取探索数学知识、解决问题的基本方法，提升数学能力。

（三）分析样例——提高规律的实效

所谓“样例教学”是指让学生借助教材中提炼出的示范性材料，（下转第18版）（上接第17版）获得解决问题的规则、图式或方法的一种教学方式。数学样例是实际问题的形式化，是学生在数学学习过程中认知技能获取的有效手段。在实际教学中，经常会发现学生倾向于通过考察一个或几个有解题步骤的例题来完成练习，解决问题。然而相对于小学生所学的其他简便运算方法，乘法分配律是比较难以理解和掌握的，除了因为乘法分配律算式中含有两级运算以外，它具有的典型常规题型与非典型的变形题型，学生难以把握规律，即使是对乘法分配律的公式表达熟记于心，在应用时也难免出错。因此，在学生学习乘法分配律的典型错例中提供样例，有助于学生进一步解决练习题，并能起到规范解题格式的作用。

例如：修订版六年级上册第9页的习题：87×

六年级学生虽然已具有一定的知识经验，但对于最初接触到分数乘法分配律的他们来说，这无疑是一道难题。此时我直接引导，围绕教材中“为了计算简便，可以先约分再乘。”这句话（修订版六年级上册第5页的提示）进行引导，学生会想到从分母86入手简算。

像上题，是乘法分配律的变式题，需要将一个数拆分成两个数的和，再分别与另一个数相乘。这样的习题學生在四、五年级学习的整数与小数乘法分配律中并不少见，他们头脑中早已建构了规律的表象，在这里了又及时提供习题的样例，相信学生以后解决问题时也就得心应手。

样例2：对比习题

此类习题，学生容易发生错误，借助乘法的意义设计样例，不但可以从内涵上帮助学生进一步掌握乘法分配律的形式，也可以依据乘法的意义来纠正错误。

样例3：延伸习题

此类题中呈现的形式，体现了乘法分配律是加、减法与乘、除法之间的纽带，它并不是单一的运算关系，部分学生由于忽视对概念的理解并运用，做题时都没达到最佳的效果。给学生提供参考的样例，帮助学生理解和掌握学习内容，巩固所学知识，提高学习效率。然而，数学课程教学是“以学生的发展为本”的，因此，要为发展学生的数学思维和提升其思维品质服务。阅读概念帮助学生理解乘法分配律的本质内涵，建构模型让学生理解乘法分配律多变的表达形式，分析样例培养学生掌握带规律性知识的能力。这样从多方面的策略中让学生感悟乘法分配律的规律，真正做到“怎样简便就怎样算”。

总之，我通过“阅读概念→建构模型→分析样例”三个教学策略，帮助学生建构乘法分配律，从而更好地掌握、运用乘法分配律。

参考文献：

[1]教育部.义务教育教科书数学·四年级下册[S].北京人民教育出版社，2013（5）.

[2]教育部.义务教育教科书数学·五年级上册[S].北京人民教育出版社，2013（5）.

[3]教育部.义务教育教科书数学·六年级下册[S].北京人民教育出版社，2013（5）.

[4]教育部.义务教育教科书教师教学用书数学·六年级下册[S].北京人民教育出版社，2013（5）.

[5]华罗庚，王元.数学模型选谈[M].大连理工大学出版社，2011（5）.

[6]《普通逻辑》编写组.普通逻辑（第五版）[M].上海人民出版社，2013（6）.