《导数的概念》教学案例

王梦玮

一、案例背景

1、指导思想

把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及教学过程中的“悟”为三大部分，组成的含有多要素的和谐整体。以问题为核心，通过对导数概念的发生、发展和运用过程的演绎、探究和揭示，组织和推动教学。在这个过程中，教师主要起的是引导作用，启发诱导学生分析问题，引导学生从两个具体引例提炼归纳出导数的概念，引导学生用函数的思想去认识导数从具体点向开区间拓展的过程;学生通过合作，探究和解决问题。通过教师的“导”和学生的“学”，最终“悟”出导数的本质。

2、教学内容

“导数的概念”是选自华中科技大学出版社出版的《高等数学及应用》中的第三章第一节的内容，是全章的核心。一方面是函數知识的深化、极限知识的发展，是一种特殊的极限，另一方面是后续知识——导数的几何意义及应用的基础，具有承前启后的作用。本节课的主要教学内容包括导数概念的两层意义，一个是在某一个具体点上，一个是在开区间上。

3、教学目标

基于教学内容的难易程度和学生的学习基础，确定了以下教学目标。在知识方面，正确认识导数的概念，应用导数定义求简单函数的导数，掌握求导数的步骤;在能力方面，培养学生运用导数的知识解决实际问题的能力，培养学生的自学、归纳、抽象和概括的能力;在情感方面，通过导数概念的建构过程，使学生掌握从具体到抽象、特殊到一般的思维方法。

4、教学重、难点

重点：导数的概念的形成过程。

难点：对导数概念的实质理解。

5、学情分析

在学习基础方面，大部分学生都有高中的学习经历，高中数学中对导数已有简单的介绍，并且刚学完极限的知识，所以对于新知教学有较好的基础。在能力方面，求知欲望强烈，喜欢参与性学习，具有积极的学习态度，倾向于生动、形象的信息化教学。但也存在不足之处，部分学员抽象思维能力不够强，而本节课的教学内容超过了学生的直观经验，所以理解起来，具有一定的难度。针对于这种学期，决定采用两种直观的方法，一个是建立表格，进行数值逼近，一个是画几何图像，动态展示，最终让学生突出重点，突破难点。

二、案例叙述

传统的课堂教学一直都是老师单向灌输、学生被动接受的局面，这样不仅会使课堂氛围枯燥乏味，更会使得作为认知主体的学生在整个教学过程中一直被动地接受知识，学生学习的主动性会被忽略，会被压抑。所以如何在数学课堂上，注重学生的主体地位，引导学生主动性学习成为了课堂的关键。

笔者将此次课堂教学内容分为以下五个环节：

（一）新课导入

我们这学期的数学课主要学极限和微积分的两部分内容。极限部分，我们在上节课已经学完了，它是微积分的基础。从这节课开始，我们将开始微积分的学习之旅。微积分又分为两部分，一个是微分，一个是积分，积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，而微分的概念直至十七世纪才应运而生，那么微分是在什么时代背景下产生的呢？十七世纪的欧洲，当时文艺复兴带来了人们思想的觉醒，神学的教条权威和繁琐的哲学逐步被摧毁，封建社会开始解体，取而代之的是资本主义社会，生产力大大解放，促进了航海业、机械制造业和军事的迅猛发展，迫切需要解决以下两类数学问题：一是，在航海以及力学等领域中涉及到的变速直线运动的瞬时速度问题;二是，在光学等领域中涉及到求平面曲线某一点的切线斜率问题。这两类问题利用当时的数学工具是解决不了的，在这样的历史背景下，著名的物理学家牛顿从物理角度出发，解决了第一类问题，而德国的数学家萊布尼兹则是从几何角度出发，解决了第二类问题。巧合的是，他们对于这两类问题的解答思路竟然惊人的相似。

（二）引例分析

1.引例：求变速直线运动的瞬时速度

以现实生活中的汽车在高速公路行驶，遇到定点测速的指示牌为例，引出求汽车在某一时刻 下的瞬时速度，假设这个汽车的路程和时间的关系为 。

针对瞬时速度这个新概念创设学生比较熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型出发，体验感受直观背景和概念之间的关系，为学生主动建构新知提供自然地生长点。

建立表格，当时刻 附近的时间区间 变得越来越小时，观察平均速度 的变化趋势。通过对数值变化趋势的分析，使学生自己发现、解决问题，得到瞬时速度是平均速度的极限的结论。

以上是从物理角度出发，接下来引导学生从数学角度出发，再分析一下这个问题。首先是对于这个结论的数学结构，是函数增量与自变量增量之比的极限;然后是解决这个问题时，所用到的数学思想，取一个时间区间 ，先分割，让 变得越来越小，然后用每个区间上的平均速度近似代替瞬时速度，最后取极限，得到精确值。通过回顾解决过程，引导学生自己总结出所蕴含的数学思想是分割、近似、取极限。

2.引例：求曲线在某一点上的切线斜率

借助多媒体，先向学生展示高中所学的圆的切线的定义，发现这个定义并不适用于一般曲线，从而引出问题，一般曲线的切线是如何定义的？曲线上的某一点的切线斜率又如何求呢？

因为两个引例所面对的问题是相似的，一个是速度不断改变的问题，一个是斜率不断改变的问题，而且两位伟人在解决这两类问题的时候思路又是相似的，所以可以采用与引例1中相同的方法解决第二类问题。

（三）讲授定义

上述两类问题只是当时的现实需求，从这两类问题也可以拓展到其他领域，比如加速度，速度的增量与时间增量之比的极限;还有角速度，是转过的角度与时间增量之比的极限。这些问题的结论都是一种特殊的极限。这种特殊的极限形式，在数学上，我们称之为导数，从而引出导数的概念。

引导学生舍弃问题的具体含义，抽象出导数的定义，由浅入深，由易到难，由特殊到一般，帮助学生实现思维上的飞跃。

（四）练习反馈

例：计算函数 的导数。引导学生结合导数的定义式解决。先让学生自己思考，老师进行巡回指导，发现问题，纠正问题，最后给出规范的解题过程。由 、 ，给学生留了一个课后思考题，思考一下， 的导数等于多少呢？

采用多层次、多角度的练习题，由易到难，不仅能够满足不同水平的学生的知识需求，还能帮助学生从知觉水平的应用到思维水平应用的自然过渡。

（五）小结

小结整理，建立体系化知识。通过对方法、思想和应用三方面进行总结，提炼计算方法，总结数学思想，增强学生的应用意识。

三、教学反思

在课堂上，要学会转变，一个是以传授知识为主要目标的继承性教育转变为以培养能力为主要目标的创新性教育;另外一个是以教师为中心的注入式教育，转变为教师主导与学生主体作用相结合的探究式教育。