高中数学解题中分类讨论思想的应用

陈达

【摘  要】数学是高中科目中公认难度较大的科目，许多数学思想在其中占据了重要位置。随着课程改革的不断深入，越来越多的数学理念应用于高中数学教学中，其中分类讨论的思想对解决数学问题十分有利。本文就高中数学解题中分类讨论思想的应用展开分析，以期有所借鉴。

【关键词】高中;数学;解题过程;分类讨论;应用

随着社会的不断发展，社会对人才的综合素质提出了更多要求，主要体现在思维能力的提升，因此数学作为思维能力集中体现的科目，在高考中的重要性也在逐步凸顯，而分类讨论对于发展学生思维能力以及提升学生综合能力具有重要作用。因此分析高中数学解题中分类讨论思想的应用具有十分重要的意义。

一、含有参数变量函数中的应用

高中数学是逻辑性较强的科目，对学生逻辑思维能力的提升具有重要作用，其中含参数变量的函数是高中数学较为重要的一类题型。含有参数变量的函数问题，主要是题目中所含的参数值对函数结果有着关键作用，但是这类问题所含参数的范围往往需要学生发散思维加以讨论，这样一方面可以简化函数问题，方便学生整理思路，使解题过程的条理更加清楚明白，提高解题准确度，另一方面有利于促进学生全面思考问题，进而养成严谨的逻辑思维习惯，为培养创新型人才打下良好基础。

如教师在讲解一次函数“ y=（m+3）x（2m+1）+4x-5（x ≠ 0），已知该函数为一次函数的情况下求解 m 的值”时，教师可以引导学生分析其中的参数，然后对其所有可能的取值情况进行分析，最终得出正确答案。经过分析学生容易得出参数所在部分“（m+3）（2m+1）”的取值情况可能为零、非零常数项或一次项的结论，之后教师应引导学生明白该题目需要利用分类讨论思想进行求解：第一种情况，即（m+3）（2m+1）取值为零时又有两种可能的情况m+3=0或者2m+1=0，可以得出m=-3或者m=1/2，经过简单验证两种条件下已知函数均为一次函数y=4x-5，符合题目要求;第二种情况，即2m+1=1 且 m+3+4 ≠ 0，此时m=0，经过简单验证该条件下已知函数为一次函数y=7x-5，符合题目要求;综上所述当m=0或者m=-3或者m=1/2时，已知函数为一次函数。

二、在几何问题中的应用

在各种数学思维中，空间逻辑思维占据了重要位置，而需要较强空间思维能力的几何问题是高考中的重点问题，这对于即将面对高考的高考生十分重要。几何问题往往需要在复杂的题目信息中提取出关键信息，并按照一定的分类标准将问题逐层细分，把烦琐的综合问题划分为多个基础问题，然后针对各个基础问题进行讨论、解决，最后“化零为整”解决最终问题。几何中应用分类讨论思想，一定要从题设条件着手，把各种情况考虑全面再进行划分，避免出错，保证解题结果的准确性。

如动点问题，是高中数学平面几何中常见的题型，点的运动方向和运动位置不确定，难度较大，很多学生由于没有掌握分类讨论的方法以及解题思路而直接放弃。教师在讲解时，首先要引导学生查看题目信息，由于点的方向和位置不确定，可以列出所有可能的情况进行讨论即运用分类讨论的思想;然后教师可以引导学生根据具体的题目信息对不同情况展开讨论，得出最终结果。此外，这类题目往往过程相比结果占据更重要的位置，在高考试题解答中占据更高的分值，因此解题过程即思维方式十分重要，所以让学生掌握分类讨论思想并熟悉解题过程有助于学生尽快找到解决几何问题的入手点，进而正确解决数学问题。

三、在含参数变量不等式中的应用

含参不等式是高中数学较为重要的知识，对于高考在即的高中生而言是不容忽视的，而涉及含参问题一般都需要借助分类讨论的思想进行解决。这类问题首先要确定何时分类，分类的最好时机就是出现“歧义”时，如果过早或过晚分类都会导致计算出现错误;其次要做到不重不漏，不重复是避免之后的计算出现矛盾，不漏是保证计算完善，进一步保证计算正确;此外，还要注意部分多次分类问题，在解决该类问题时要抛弃“一劳永逸”的错误思想，在一次分类讨论后多加注意，保证结果的完善。

如“a*x^2+x>c，a为参数”类的题目，这类问题所给信息较少，难以把握切入点，很多学生在刚看到这类题目时潜意识里不愿深入思考而直接放弃，这是十分错误的思想，如果学生在学习过程中注意把握分类讨论的思想，在看到这类题目时就不会感到无从下手。由题目可知a所有可能的取值情况：a为正数，a为0，a为负数，之后根据各个情况下题目所给条件解出答案。面对这一类问题时，教师应把分类思想讲解透彻，让学生不畏惧问题，能尽快找到正确思路，从而正确解决问题。此外，教师应在日常教学活动中加强学生分类思想的培养，加强相关题目的训练，让学生面对相关题目时尽快找到解题思路，不至于感到无从下手。

总而言之，分类讨论思想作为占据高中阶段重要位置的思想方法，在含参变量的函数、几何问题以及含参数变量的不等式等问题中有重要应用，对于解题过程和结果的正确性有着至关重要的作用，因此学生在学习过程中要不断加强分类讨论思想，保证解题的正确性和速度，从而提升高中数学的教学效果和高中生的学习效果。