代数体函数与其k 阶导数的唯一性

朱新瑶， 刘晓俊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

本文涉及的代数体函数值分布论的相关概念和记号参见文献[1-2]。

对于具有公共值的亚纯函数的唯一性问题国内外众多专家学者进行了广泛研究，得到了许多结果[3-11]，其中一个有意义的方向是与其导数具有公共分担值的亚纯函数的唯一性问题。

1983 年，Gundersen[2]证明了定理A。

定理A设 f(z)为 非常数的亚纯函数， a,b为两个互异的有限复数，若 f(z)和 f′(z)C M 分担 a,b，则f(z)= f′(z)。

1986 年，Frank 等[12]证明了定理B。

定理B设 f(z)为 非常数亚纯函数， a,b为两个互异的有限复数，若 f(z)和 f(k)(z)C M 分担 a,b，则有f(z)= f(k)(z)。

自然地，我们会考虑如何将上述结果推广到代数体函数。代数体函数是一种比亚纯函数更为广泛的多值函数，它由不可约方程

来确定，其中 Av(z),···,A0(z)是复平面上一组没有公共零点的解析函数。特别地，当Av(z),···,A0(z)都为多项式时，W (z) 为 代数函数。本文假设Av(z),···,A0(z)中 至少有一个是超越整函数。当 v ≥2时，W(z) 为 多值函数；当 v=1时 ， W(z)就是亚纯函数。显然， v值代数体函数是亚纯函数的自然推广。在本文中代数体函数 W(z) 的 一阶导数记作 W′(z) ， k阶导数记作 W(k)(z),它 们都为 v值代数体函数。

关于代数体函数的唯一性问题，刘慧芳[13]将定理A 推广到代数体函数，得到了定理C。

定理C设 W(z) 为 v(v≥2)值 代数体函数，a1,a2,···,a2v为 2v 个互 异 的有 限复 数，若 W(z) 与 W′(z)CM 分担 a1,a2,···,a2v且 IM 分担 ∞， 则 W(z)=W′(z)。

当 v=1时，定理C 即为定理A。

参照文献[13]中的定义方法，现给出如下记号： W(z) 和 M(z)为 v 值 代数体函数， a为任意复数，且 W(z) 和 M(z)分 担 值a。若 z0是 W(z)−a 的 u重零点时，也是 M(z)−a的 至少 u重零点，则记为：W(z)=a →M(z)=a。 特别地，W(z)=∞→M(z)=∞则 表 示 W(z) 的 u重 极 点 是 M(z)重 数 至 少 为 u的极点。

本文考虑将定理B 推广到代数体函数，得到定理1。

定理1设W (z) 为 v (v ≥2)值 代数体函数，a1,a2,···,a2v为 2 v 个非零互异有限复数。若W(z)=ai→W(k)(z)=ai(i=1,2,···,2v)， 且IM 分担 ∞， 则 W (z)=W(k)(z)。

由此，可得推论。

推论设 W(z) 为 v(v ≥2)值 代数体函数，a1,a2,···a2v为 2v 个 互异 的 有 限复 数，若 W(z) 与 W(k)(z) CM 分担a1,a2,···,a2v且 IM 分担 ∞， 则 W (z)=W(k)(z)。

此外，通过对定理C 证明过程的分析可以看出，当v ≥3时 ，定理中分担值的个数可以减为(2v−1)个，即得到定理2。

定 理2设 W(z) 为 v(v ≥3)值 代 数 体 函 数，若W(z) 与 W′(z) C M 分担包括0 在内的 2v−1个有限复数且IM 分担 ∞， 则 W (z)=W′(z)。

2 相关引理及其证明

引理1设 W(z)为 v 值 代数体函数，若 W(z)与W(k)(z) IM 分担 ∞，则有：

证明设

所以

若W(z)与W(k)(z)IM分担∞，则有

所以

因此，结论a 成立。

因此，结论b 成立。

引理2[14]设 W (z) 为 v 值代数体函数，则

引 理3[14]设 W(z) 为 v 值 代 数 体 函 数，且a1,a2,···,aq为 扩充复平面上 q个互异复数，则

其中， N1(r,W)是 W (z) 重 值点的密指量， τ重值点计算 τ −1重。

引理4[15]设 W(z) 为 v 值 代数体函数，且a1,a2,···,aq为 q个互异复数，则

引 理5设 W(z) 为 v 值 代 数 体 函 数，且a1,a2,···,a2v为复平面上 2v个互异非零有限复数。若W(z)=ai→W(k)(z)=ai,i=1,2,···,2v，则有

证 明) 设 2v 个 非(零 有 限 复 数)为 a1,a2,···,a2v，

则

k次求导后有

设

由引理5 条件可得

由以上讨论可得

因此有

所以

证毕。

3 定理证明

3.1 定理1 的证明

证明设 2v 个 非零有限复数为 a1,a2,···,a2v。反证法，倘若 W(z)≠W(k)(z) ， 令 q=2v+1,a2v+1=∞，则由引理3 可得

又由引理2 可得

所以，式 (1)可整理为

由定理1 条件可得

由式（2）可得S(r,W(k))=S(r,W)。

又

由引理1 的结论a，式（3）可整理为

又W(z)=ai→W(k)(z)=ai,i=1,2,···,2v，由引理5 可得

由引理4 可得

结合式（4）和式（5）可得

结合式（6）和式（7）可得

3.2 定理2 的证明

证 明倘 若 W(z)≠W′(z)， 设 W(z) 与 W′(z) CM 分担a1,a2,···,a2v−1， 且不妨设 a2v−1=0,a2v=∞。因为W(z) 与 W′(z) CM 分 担0，则0 为 W(z) 与 W′(z)的Picard 例外值，则有所以

由参考文献[4]中的引理2.3 将式（9）整理为

与定理1 的证明类似，由 W(z) 与 W′(z) CM 分担a1,a2,···,a2v−1，可得

又

结合式（10）和式（11）可得

由引理3 和分担条件可得

结合式（12）和式（13）可得

整理式（14）可得(2v−5)T(r,W′)≤S(r,W),v ≥3，矛盾。证毕。