类比教学法在数学教学中的应用

袁安锋 魏宗红

(1.北京联合大学基础与交叉科学研究所 北京 100101；2.山东省莒县陵阳街道中心初中 山东日照 276521)

数学是一门研究事物数量关系等内容的学科，是很多学科的基石，它在人类社会发展进程中发挥着不可替代的作用。数学由于具有抽象的特点，加上数学往往是从定义、定理到计算，与数学家发现定理的过程相反，导致有些学生接受起来有点困难，不明白为何而学习。因此，选择学生容易接受的方式来进行教学就非常有必要。人类对知识的认识并非一蹴而就，而是要经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性认识到理性认知的螺旋式发展过程，类比教学法则集中体现了从特殊到一般的认知规律。

一、类比教学法的定义和意义

类比教学法也称类比迁移，是指人们在遇到一个新问题的时候，首先与过去已经解决的类似的问题进行比较，用解决已有问题的方法去解决新问题。类比法是人们发现真理的一种重要方法，是一种推理方式，还是一种学习策略。数学上的类比是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知对象上的一种合情推理，它能够解决一些看似复杂困难的问题。

类比教学法在数学教学中尤为重要。首先，类比教学法可以降低数学知识的抽象性，有利于学生接受。数学中有许多抽象的数学概念，尤其是大学数学课程中，直接给出数学概念就比较突兀，而且非常抽象，学生往往不容易接受。类比就可以把这些抽象化的数学知识转化为可以理解或形象化的知识，将一些新知识转化为旧知识，这样学生能更好地理解和接受，可降低学习难度，消除学生内心的畏难情绪。其次，类比教学法还有利于培养学生的创新意识与创新能力，锻炼学生解决问题的能力。学生从数学学习中学的不仅是数学知识，还可以学会处理问题的能力和做人做事的基本道理。比较、分析、综合推理等思维过程和形式，对培养学生分析问题的意识和能力有很大帮助。

二、类比教学法的具体应用

（一）数学知识点之间的类比

在初等数学教学中，也有很多可以类比的知识。“一元二次方程”章节中，将一元一次方程与一元二次方程进行类比，首先比较这两类方程的概念及一般形式，进而找出两类方程的差别：未知数的最高次数从一次变为了二次，这样的学习方法不仅可以提高学生的学习效率，还能深化学生的理解。讲授“一元一次不等式”时，先复习一元一次方程和不等式的相关知识点，就可以体会一元一次不等式的解法，通过类比感受其中的异同点，从而得到求一元一次不等式的解题方法。

高等数学[1]中也有很多可以类比的知识点。比如，一元函数微分学和二元函数微分学就可以进行类比，二元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念和计算分别类比一元函数的极限、连续、导数、微分。教师只需要讲清楚区别就可以了。高等数学中涉及积分概念有七个：定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分。这些积分的概念大致相同，都可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”四步得到，区别就是积分区域或者积分区间不同。因此，学习后面6个概念时，就可以利用定积分的概念进行类比，学生自主总结其他6种类型的积分概念，理解积分概念的本质。

概率论与数理统计[2]课程中，离散型随机变量与连续型随机变量是两类重要的随机变量。离散型随机变量可以用分布律来描述，连续型随机变量可以用概率密度函数来描述。表面上看这两类随机变量有很大的区别，实际上，两者没有质的区别，两者的联系与区别主要在于求和与积分的联系与区别。而积分本质上是和式的极限。这样，把两者统一起来类比就容易了。

线性代数[3]中线性方程组的通解问题、高等数学中的一阶线性微分方程的通解、高阶线性微分方程的通解，这三类问题有一个共同的结论：非齐次线性方程的通解等于对应齐次线性方程的通解和本身的一个特解之和。教师在授课时可以进行类比讲授，加深学生的理解。

（二）数学知识点与生活常识类比

线性代数课程中有一个非常重要的概念：极大线性无关组，学生学习的时候感觉比较抽象。其实可以把这个向量组类比于一个小型后勤企业：假设张三可做水工和电工，李四可以做电工和木工，王五可以做水工。如果企业面临裁员，问怎么裁员才会不影响公司的正常运转（水、电、木工齐全）。显然王五的工作可以被张三代替，王五可以被裁掉，留下张三和李四，但是张三和李四不能再裁员了。当然也可以裁掉张三，留下李四和王五。这样找极大线性无关组类似于裁掉可以被他人替代的人（对于向量），当然由例子也知道极大线性无关组是不唯一的。

三、类比教学中的注意事项

最后需要强调的是，类比不是相同，学生有时会理解成相同的知识，或者学生把已学知识作为标准，负面迁移，进而陷入学习误区。针对这些可能出现的弊端，教师在教学过程中应强调知识点之间的区别和联系，正确引导学生，合理运用类比，在教学中提高学生的逻辑思维能力，培养学生的学习能力。

总之，类比教学法能起到很好的效果，尤其是数学学科，类比可以降低内容的抽象性，学生一旦养成了类比的习惯，掌握了一定的方法要领，思路就会变宽，思维就会变活跃，学生会终生受益。当然，可以类比的知识点有很多，教师要多研究多思考，加强教学设计，提高执教能力。