认知结构化视角下数学复习课的教学探索*

赵庆林

虽然关于认知结构的界定有很多，但认为个体头脑中的认知结构以及知识之间的联系才是认知结构的本质特征已成为大家的共识。所谓认知结构化，便是建立在这个共识基础上，通过学生的认知结构与知识结构在有效的思维策略的支持下建立的双向互动的学习过程。而这实际上也是数学研究者关注的认知结构的动态性的具体体现。认知结构化视角下的数学复习课，需要教师以教育学、教育生态学、教育心理学为理论依据，站在系统的高度、结构的角度审视、优化数学教学，用系统的观点、结构化的思想来设计、组织课堂教学，使学生学习后能把知识与方法串成链、组成块、结成网。本文对数学复习课的现状进行分析，并尝试从认知结构化的视角出发对数学复习课进行讨论与构建，以期引发研究者的进一步思考与探索。

一、当下数学复习课中常见的问题

1.重知识练习，轻知识迁移。这种现象比较常见，主要表现为教师就知识复习知识，就知识点练习知识点，对于知识内在的逻辑与生成关注不够，特别是对于知识本身所具有的正向迁移作用研究不够，压制了知识本身具有的生长力，以至于转换情境后学生便不能有效运用知识解决类似或相关的问题。

2.重点状突破，轻结构生成。如教学苏教版五上《多边形的面积复习》一课时，有的教师引导学生就本单元学习的平行四边形、三角形、梯形的面积计算进行复习，并有针对性地对学生进行强化练习，这些做法应该说并无不妥，但对学生数学素养的培育来说是不够的。对学生结构化思维的培养来说，单个知识点的突破是必要的，但在复习课中更要注重知识之间的结构生成，如长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的演变及其之间的关系，最终实现学生对数学知识、思想与方法的结构化学习。

3.重横向整理，轻纵向联结。如教学苏教版五上《解决问题的策略复习》一课时，教师最常见的回顾与整理思路是就本册书解决问题的策略即“一一列举”进行练习与反思，虽然通过不同情境的转换加强了学生对“一一列举”策略的认识与技能提升，但如果仅仅停留于此，最多算是一种横向整理，缺乏纵向联结。所谓纵向联结，就是教师在引导学生复习“一一列举”策略时，需要关注学生学过的画图、列表等策略，并将它们充分融入当下的复习活动中。

4.重教师引导，轻学生自主。这也是数学复习课中常见的现象，教师精心设计，强力引导，但对于学生学习的自主性重视不够。其实，复习课中最大的挑战是问题来源于不同基础的学生，解决这些问题靠单一的、统一的行动步调是不现实的，这就需要充分调动学生的自主性。

二、认知结构化视角下数学复习课的内涵与特点

在认知结构化视角下的数学复习课教学中，教师要从结构主义的观点出发设计数学复习课，把零散的数学知识置于整体知识结构中，从知识产生、演变的顺序与学生的认知发展过程出发架构课堂，引领学生主动经历整理、练习、对比、辨析的过程，在复习过程中既注重知识练习又注重知识迁移，既注重点状突破又注重结构生成，既注重横向整理又注重纵向联结，既注重教师引导又注重学生自主，通过学生的认知结构与知识结构的有效联结、互动，培养学生的数学结构化思维。认知结构化视角下的数学复习课主要有如下五个特点。

1.整体性。认知结构化视角下的数学复习课不只关注单个知识点的复习，更希望通过在知识点之间建立联系来打通知识生长的路径，进而促进学生知识、能力、素养等方面的整体发展。在复习课上，教师不仅要看见由零散的知识点构成的知识网络，也要看见由经验与知识构成的学习过程，还要看见由已知和未知构成的方法路径。如此，认知结构化视角下数学复习课的整体性是一个复合性概念，它是由具有整体性的知识网络、学习过程和方法路径等构成的更大的教学整体。

2.关联性。美国教育学家布鲁纳在《教育过程》一书中指出：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”教学其实就是教授和学习学科结构。认知结构化视角下的数学复习课不是单纯地让学生掌握事实和技巧，而是帮助学生学习结构，因而它强调学习事物之间的关联性。当学生掌握了这些知识之间的联系，在某种程度上也就有了认识上的整体概念，这对于他们理解与掌握单个知识点来说又会起到很好的促进作用。

3.过程性。认知结构化视角下的数学复习课追求的是知识的联结、关系的建构以及思维的生长。它的过程性主要体现在两个方面。从教师层面来说，主动挖掘复习内容背后的思想价值，站在更高处确立复习课的主题，厘清知识之间的关系，进一步发现知识产生、演变的顺序，并遵从学生的认知发展过程组织具体的复习过程；从学生层面来说，复习就是一个主动经历知识整理、练习、对比、辨析、反思、领悟以及思维提升的过程。

4.延展性。延展性一定是从时间和空间两个维度发生的。在时间维度，是指学习的过程不局限于课堂时间之内；在空间维度，是指学习的场域、主题、内容等不局限于教室、教材等。认知结构化视角下数学复习课的延展性最终体现在学生的知识、能力、思维、素养的提升与发展方面。

5.主动性。从学习性质来说，认知结构化视角下的数学复习追求的是一种深度学习。澳大利亚墨尔本大学教授约翰·哈蒂在《可见的学习：对800 多项关于学业成就的元分析的综合报告》一书中写道：“在深度学习中，主要关注关系加工、精细加工，使知识结构化并尝试超越单一的知识，形成思维框架，这需要计划、组织、精加工和反思。与此相关的效用量高的教学策略是讨论和提问、交互式教学等。”这些效用高的教学策略都需要学生主动参与而不是被动接受。深度学习强调学生内在学习动机的激发，强调学生的深度参与。作为深度学习的一种方式，认知结构化视角下的数学复习课在教学策略的选择、课堂样态的营造等方面都离不开学生的主动参与。

三、认知结构化视角下数学复习课的教学策略

1.整体把握，由点及体。

认知结构化视角下的数学复习课不是抛弃知识点单纯追求结构的复习，而是在整体视野下引导学生将知识点扩展到知识面，再从知识面扩展到知识体。教师的走向与学生的走向应该是相反的，教师需要从知识体剖解到知识面，再从知识面剖解到知识点，在此基础上引导学生整体把握。如教学苏教版五上《多边形的面积复习》，教师可以从思想层面、方法层面和经历层面引导学生进行整体把握，学生则从具体的经历、方法中感悟数学思想。具体来说，知识点分为已知点和未知点，从学习方法的视角来看，从已知到未知是数学学习的基本方法；学习内容分为单一图形和组合图形以及规则图形和不规则图形，从学习经历的视角来看，从单一到组合、从规则到不规则是数学学习的基本路径。无论是学习方法还是学习路径，都体现了由易到难的基本思想。

由上例可以看出，认知结构化视角下数学复习课的整体把握、由点及体是一种教师与学生双向互动的建构，其中的关键因素在于教师。

2.建立关系，由表及里。

如前所述，认知结构化视角下的数学复习课倡导帮助学生建立关系、学习结构，因而学生的学习过程就是建立关系的过程。对学生来说，从初识关系到加深关系甚至是重新发现与建立关系，主要依靠复习课来完成，对这个过程形象化的理解就是由表及里。以苏教版四上《数的运算复习》的教学为例，建立关系主要从三个层面进行，首先是初步感知，呈现学生课前整理的相关知识网络图，让学生初步感知和了解知识之间的关联；其次是问题引领，主要围绕核心问题进行讨论，如“两三位数除以两位数和四则混合运算有什么关系？口算和估算、笔算、验算之间有什么关系？你还发现哪些知识之间是有关系的？有什么样的关系？”；最后是共同构建，教师带领学生共同回忆本学期学习的“数的运算”的相关知识点，形成初步的知识网络图和认知地图。

由上可知，由表及里建立关系，其一要发现相互关联的事物，发现的主体是学生，教师的作用在于推动；其二要通过建立具有层次性的关系将认识引向深入，而层次性正是良好数学认知结构的特征之一，整体是由不同层次的要素组成的，这些不同要素之间的关系构成了不同层次的认识，也构成了由表及里的基本路径。

3.学习运用，由静及动。

首先要厘清练习与运用的区别，练习往往围绕单一知识开展，运用则需要调用更多的知识与方法、策略等，主要是发现问题、提出问题和解决问题，而不是被动等待问题；其次要理解静与动的关系，认知结构化视角下的数学复习课追求的“动”是一种思维的生长，而“静”则是思维的停滞。因此，学习运用，由静及动，即在知识的运用中发展思维。以苏教版二上《表内乘法和表内除法的复习》一课的教学为例，一是围绕“平时错题”学习、运用，让学生收集自己容易出错的题目，并写出正确的做法，重点是引发全体学生对相似问题的反思和讨论。二是围绕“自主编题”学习、运用，重点是突出不同类型问题之间的关联。三是围绕“探究问题”学习、运用，学生探究问题与他们的学习经历、经验等紧密相关。探究问题主要有方法层面、知识层面、本源层面这三个层面，方法层面主要体现为学生对乘法口诀的理解与记忆；知识层面主要体现为学生对乘法口诀中规律的发现与探究；本源层面主要体现为学生对乘法口诀来源及命名的好奇。对这些探究问题的分析与解决能够强有力地驱动学生数学思维的生长。

认知结构化视角下，数学复习课的“运用”更像是一种关系的验证、发现与重新构建。这里的关系已经不局限于学校范畴，而是在学生的学习经验、生活场域中不断拓展。

4.结构思考，由此及彼。

结构思考主要体现在延伸中，会渗透一些结构性的思想，让学生进行结构性思考，在数学问题解决策略方面形成一种结构性意向。所谓由此及彼，是从碎片化思想、单一性思考不断走向结构性思想、结构性思考乃至在问题解决中形成结构性意向的过程。以上述多个复习课为例，在具体的问题解决过程中，需要引导学生从方法、策略、验证等方面建构起解决问题的结构性思维。而在反思环节，需要我们改变过去单一的或固化的教学方式，借助学生自己整理的知识网络图，结合学生复习的经历、体会和感悟，重点引导学生围绕知识与知识之间的关系展开讨论和交流，如“在复习过程中，你觉得哪些知识之间的联系比较重要？为什么？从知识和知识之间的关系方面出发，猜想一下，我们还将遇到什么样的问题？”，通过结构性思考，重要的是发现学生学习的薄弱关系而不是薄弱知识点，进而通过修复与强化知识之间的联结改善学生的学习。